高一集合知识点
查配件-中节
2023年2月19日发(作者：京都律师)高一数学集合知识点总结
一.知识归纳：
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象
叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出
的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，
b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是
它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：n，z，q，r，n*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈a都有x∈b，则ab(或ab);
2)真子集：ab且存在x0∈b但x0a;记为ab(或，且)
3)交集：a∩b={x|x∈a且x∈b}
4)并集：a∪b={x|x∈a或x∈b}
5)补集：cua={x|xa但x∈u}
注意：①?a，若a≠?，则?a;
②若，，则;
③若且，则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要
注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;
④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩?=?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪?=a，a∪b=b∪a;
③cu(a∪b)=cua∩cub，cu(a∩b)=cua∪cub;
6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1
个非空子集，2n-2个非空真子集。
二.例题讲解：
【例1】已知集合m={x|x=m+,m∈z},n={x|x=,n∈z},p={x|x=,p∈z}，
则m,n,p满足关系
a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{x|x=,m∈z};对于集合n：{x|x=,n∈z}
对于集合p：{x|x=,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的
数，而6m+1表示被6除余1的数，所以mn=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…，，…}，n={…，,,，…}，p={…，,，…}，这时不要
急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
=∈n，∈n，∴mn，又=m，∴mn，
=p，∴np又∈n，∴pn，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，
因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合，，则(b)
a.m=.
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
【例2】定义集合a*b={x|x∈a且xb}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b
的子集个数为
a)1b)2c)3d)4
分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公
式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a*b={x|x∈a且xb}，∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集
共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m{1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合
m的个数为
a)5个b)6个c)7个d)8个
变式2：已知{a,b}a{a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.
【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且
a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1}∴1∈b∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵a∪b={?2,1,3},?2b,∴?2∈a
∵a∩b={1}∴1∈a∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且
a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2}∴1∈b∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵a∪b=b∴
又∵a∩b={2}∴a={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，
且a∩b={x|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，
哪些元素不属于b。
解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1]b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}
变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，
a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作
出数轴来解之。
变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条
件的a的集合。
解答：m={-1,3},∵m∩n=n,∴nm
①当时，ax-1=0无解，∴a=0②
综①②得：所求集合为{-1，0，}
【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，
求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离
求解。
解答：(1)若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问
题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数
(a)4(b)5(c)6(d)7
2.集合{1，2，3}的真子集共有
(a)5个(b)6个(c)7个(d)8个
3.集合a={x}b={}c={}又则有
(a)(a+b)a(b)(a+b)b(c)(a+b)c(d)(a+b)a、b、c任一个
4.设a、b是全集u的两个子集，且ab，则下列式子成立的是
(a)cuacub(b)cuacub=u
(c)acub=(d)cuab=
5.已知集合a={}，b={}则a=
(a)r(b){}
(c){}(d){}
6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1，2，3组成的集合可表示
为
{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，
1，2};(4)集合{}是有限集，正确的是
(a)只有(1)和(4)(b)只有(2)和(3)
(c)只有(2)(d)以上语句都不对
7.设s、t是两个非空集合，且st，ts，令x=s那么s∪x=
(a)x(b)t(c)φ(d)s
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a(a)r(b)(c){}(d){}
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,x},b={1,x2}且ab=b，则x=
11.若a={x}b={x},全集u=r，则a=
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
13设集合a={},b={x},且ab，则实数k的取值范围是。
14.设全集u={x为小于20的非负奇数}，若a(cub)={3，7，15}，(cua)
b={13，17，19}，又(cua)(cub)=，则ab=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1},若ab={-3}，求实
数a。
16(12分)设a=，b=，
其中xr,如果ab=b，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
12345678
ccbcbcdd
填空题
9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又ab=b，所以ba
(ⅰ)b=时，4(a+1)2-4(a2-1)(ⅱ)b={0}或b={-4}时，0得a=-1
(ⅲ)b={0，-4}，解得a=1
综上所述实数a=1或a-1
2019高一数学知识点总结集合
XX高一数学集合知识点总结
一.知识归纳：
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象
叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出
的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，
b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是
它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：n，z，q，r，n*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈a都有x∈b，则ab(或ab);
2)真子集：ab且存在x0∈b但x0a;记为ab(或，且)
3)交集：a∩b={x|x∈a且x∈b}
4)并集：a∪b={x|x∈a或x∈b}
5)补集：cua={x|xa但x∈u}
注意：①?a，若a≠?，则?a;
②若，，则;
③若且，则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要
注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;
④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩?=?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪?=a，a∪b=b∪a;
③cu(a∪b)=cua∩cub，cu(a∩b)=cua∪cub;
6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1
个非空子集，2n-2个非空真子集。
二.例题讲解：
【例1】已知集合m={x|x=m+,m∈z},n={x|x=,n∈z},p={x|x=,p∈z}，
则m,n,p满足关系
a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{x|x=,m∈z};对于集合n：{x|x=,n∈z}
对于集合p：{x|x=,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的
数，而6m+1表示被6除余1的数，所以mn=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…，，…}，n={…，,,，…}，p={…，,，…}，这时不要
急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
=∈n，∈n，∴mn，又=m，∴mn，
=p，∴np又∈n，∴pn，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，
因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合，，则(b)
a.m=.
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
【例2】定义集合a*b={x|x∈a且xb}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b
的子集个数为
a)1b)2c)3d)4
分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公
式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a*b={x|x∈a且xb}，∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集
共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m{1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合
m的个数为
a)5个b)6个c)7个d)8个
变式2：已知{a,b}a{a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.
【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且
a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1}∴1∈b∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵a∪b={?2,1,3},?2b,∴?2∈a
∵a∩b={1}∴1∈a∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且
a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2}∴1∈b∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵a∪b=b∴
又∵a∩b={2}∴a={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，
且a∩b={x|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，
哪些元素不属于b。
解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1]b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}
变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，
a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作
出数轴来解之。
变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条
件的a的集合。
解答：m={-1,3},∵m∩n=n,∴nm
①当时，ax-1=0无解，∴a=0②
综①②得：所求集合为{-1，0，}
【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，
求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离
求解。
解答：(1)若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问
题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
高一英语各单元知识点总结及重难点解析
unit1-2
☆重点句型☆
ouldafriendbelike?询问对方的看法
he/sheshouldbe…表示个人观点的词语
reading/i'mfondofsinging/ilikeplayingcomputer
games.等表示喜好的词语
sonaflightwhensuddenlyhisplanecrashes.
“when"作并列连词的用法
/who/when/whereisitthat...?强调句的
特殊疑问句结构
manypeoplecommunicatinginenglisheveryday,
...“with+宾语+宾补”的结构做状语
tellmehowtopronounce...?带连接副词
(或代词)的不定式做宾补的用法
☆重点词汇☆
allyv.特别地
ev.想像
dv./adj.单独，孤独的
stn.兴趣
ayadj.每天的，日常的
edadj.抛弃的
.搜寻
.分享
.在乎，关心
.总数
tyn.大多数
ev.生存，活下来
uren.冒险
adj.吓坏的
.承认
onj.但是，而
adj.令人厌烦的
prep.除……之外
yn.质量
iteadj.最喜爱的
☆重点短语☆
of爱好
…as…把……看作为……
iendswith与……交朋友
/oversth.与某人争论某事
r寻找
rto为了
…with与……分享
n引进;赚钱
/goodmany许多…
fficulty(in)doing做……有困难
ith以……结束
for除……之外
out发生
(a)fire生火
urselfathome别拘束
orityof大多数
给某人写短信
firsttime第一次
根本;竟然
(good)knowledgeof…精通……
☆交际用语☆
…
ilike/love/hate...
ienjoy...
myinterestsare...
haveagoodflight?
youmustbeverytired.
justmakeyourselfathome.
ibegyourpardon?
canyoutellmehowtopronounce...?
getit.
☆单词聚焦☆
.的用法
▲构词：argumentn.1.[c]争论2.[u]讨论.辩论3.[c]论据
▲搭配：
①arguewith//on/aboutsth.与某人争论某事
②arguefor/againststh.辩论赞成/反对某事
③arguethat...主张，认为，争辩说
④arguesbinto/outofdoingsth.说服某人做/不做某事
▲友情提示：“说服某人做/不做某事”还可表达为：talk/persuade/
/outofdoingsth.
⑤settletheargument解决争端
▲友情提示：anargumentwithsbabout/oversth.为某事和某人而发
生的争执
【考例】whatlaughing____wehadaboutthesociallyrespectable
methodformovingspaghetti(意大利式细面条)fromplatetomouth.(XX
全国卷i)
nts
[考查目标]argue名词形式的词义。
[答案与解析]dargument的词义是“争辩，辩论”。
ev.的用法
▲构词：comparisonn.比较
▲搭配：①compare...to...比拟;比作②compare...with/to...将……
和……相比较③comparenotes对笔记;交换意见
【考例】____withthesizeofthewholeearth,thebiggestoceandoes
notseembigatall.(XX湖北)
mparing
mpared
[考查目标]compare的用法。
[答案与解析]d本句compare用在句首作状语，并有“被比较”的意思。
erv.的用法
▲构词：considerationn.考虑，思考;体谅，顾及
▲搭配：①considerdoingsth.考虑做某事②considersb(tobe/
as)...认为/觉得某人……③considerthat-clause认为……④takesthinto
consideration考虑⑤underconsideration在考虑中
【考例】charlesbabbageisgenerallyconsidered____the
firstcomputer.(nmet1993)
ing
invented
[考查目标]consider的几种常见用法。
[答案与解析]cconsider本身是被动语态时，后接不定式的各种结构。如
果表示已经发生的事情.用不定式的完成形式。
edadj.空无一人的;被遗弃的;被抛弃的
(1)空无一人的adesertedstreet/area空无一人的街道，地区;theoffice
wasquitedeserted.办公室里空无一人。
(2)被遗弃的adesertedchild被遗弃的孩子
(3)desert['dezot]n.沙漠
desert[di'zo:t]vt.丢弃;遗弃
hedesertedhiswifeandchildrenafterbecomingrich.
ultyn.
(1)difficulty(通常作复数)难事，难点，难题shemetwithmany
difficultieswhentravelling.
(2)在以下句型中，difficulty是不可数名词，不能用复数形式。
have(some)difficulty(in)doingsth.
干某事有困难
thereis(some)difficulty(in)doingsth.
have(some)difficultywithsth.
在某事上有困难
thereis(some)difficultywithsth.
fficulty/withoutdifficulty困难地/轻而易举地做某事
wehadalotofdifficultyinfindingyourhouse.
doyouhaveanydifficultywithyourenglish?
初中数学知识点总结
第一章图形的变换
考点一、平移(3~5分)
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形
的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质
(1)平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了
移动
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
考点二、轴对称(3~5分)
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说
这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交
点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于
这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么
这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
考点三、旋转(3~8分)
1、定义
把一个图形绕某一点o转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中o叫做旋
转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
考点四、中心对称(3分)
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形
互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中
心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两
个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互
相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征(3分)
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点p(x，y)关于原点的
对称点为p’(-x，-y)
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点p(x，
y)关于x轴的对称点为p’(x，-y)
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点p(x，
y)关于y轴的对称点为p’(-x，y)
第二章图形的相似
考点一、比例线段(3分)
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说
这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例
的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，
b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫
做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
(1)基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
(2)更比性质(交换比例的内项或外项)
(交换内项)
(交换外项)
(同时交换内项和外项)
(3)反比性质(交换比的前项、后项)：
(4)合比性质：
(5)等比性质：
3、黄金分割
把线段ab分成两条线段ac，bc(ac>bc)，并且使ac是ab和bc的比例中
项，叫做把线段ab黄金分割，点c叫做线段ab的黄金分割点，其中
ac=ab0.618ab
考点二、平行线分线段成比例定理(3~5分)
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线
段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成
比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原
三角形的三边对应成比例。
考点三、相似三角形(3~8分)
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”
来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：
∵de∥bc，∴△ade∽△abc
相似三角形的等价关系：
(1)反身性：对于任一△abc，都有△abc∽△abc;
(2)对称性：若△abc∽△a’b’c’，则△a’b’c’∽△abc
(3)传递性：若△abc∽△a’b’c’，并且△a’b’c’∽△a’’b’’c’’，
则△abc∽△a’’b’’c’’。
3、三角形相似的判定
(1)三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所
构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相
等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相
等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角
相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成
比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
(2)直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相
似。
4、相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似
比
(3)相似三角形周长的比等于相似比
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个
多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)
(2)相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，
那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做
位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之
比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把
一个图形放大或缩小。