南京市第一中学
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2023年2月15日发(作者：)2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
U
＝
{1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6}
，
A
＝
{2
，
4}
，
B
＝
{3
，
4}
，则
()()
UU
AB
＝（）
A
．
{3
，
5
，
6}B
．
{1
，
5
，
6}C
．
{2
，
3
，
4}D
．
{1
，
2
，
3
，
5
，
6}
2．已知函数
()yfx
在R上可导且()()fxfx恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）
A
．3(3)(0)fef、2018(2018)(0)fef
B
．3(3)(0)fef、2018(2018)(0)fef
C
．3(3)(0)fef、2018(2018)(0)fef
D
．3(3)(0)fef、2018(2018)(0)fef
3．已知直线
xyt
与圆2222xytttR
有公共点，则4tt
的最大值为（）
A
．
4B
．
28
9
C
．
32
9
D
．
32
7
4．已知
、
,
22
，
，则下列是等式
sinsin2
成立的必要不充分条件的是（）
A
．
sinsin
B
．
sinsin
C
．
coscos
D
．
coscos
5．将函数
()sin(3)
6
fxx
的图像向右平移
(0)mm
个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的
6
倍（纵
坐标不变），得到函数
()gx
的图像，若
()gx
为奇函数，则
m
的最小值为（）
A
．
9
B
．
2
9
C
．
18
D
．
24
6．关于函数
11
()4sin4cos
2323
fxxx
，有下述三个结论：
①函数
()fx
的一个周期为
2
；
②函数
()fx
在
42
3
,
上单调递增；
③函数
()fx
的值域为[4,42].
其中所有正确结论的编号是（）
A
．①②
B
．②
C
．②③
D
．③
7．如图，在直三棱柱
111
ABCABC
中，1ABAC，
1
2BCAA，点
,EO
分别是线段
1
,CCBC
的中点，
11
1
3
AFAA
，分别记二面角
1
FOBE
，
1
FOEB
，
1
FEBO
的平面角为
,,
，则下列结论正确的是
（）
A
．
B
．
C
．
D
．
8．在平面直角坐标系
xOy
中，已知角的顶点与原点O重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在直线
2yx
上，
则
3
sin2
2
（）
A
．
4
5
B
．
4
5
C
．
3
5
D
．
3
5
9．已知集合2{|1}Axx,
2
{|log1}Bxx
，则
A
．
{|02}ABxx
B
．
{|2}ABxx
C
．
{|2}ABxx
D
．
{|12}ABxx
10．在直角梯形ABCD中，0ABAD，
30B
，
23AB
，2BC，点E为BC上一点，且AExAByAD，
当
xy
的值最大时，||AE()
A
．5B
．
2C
．
30
2
D
．23
11．给出下列四个命题：①若
“
p
且
q
”
为假命题，则
p
﹑
q
均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③若命题
0
:pxR，2
0
0x
，则命题
:pxR
，20x；④设集合1Axx
，2Bxx
，则
“xA”
是
“xB”
的必要条件；其中正确命题的个数是（）
A
．1B
．2C
．3D
．4
12．若双曲线
22
2
:1
4
xy
C
m
的焦距为45，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）
A
．2B
．4C
．19D
．219
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量
服从正态分布23,N
，若604P．
，则0P
_________.
14．已知
12
,FF
为椭圆
22
:1
43
xy
C的左、右焦点，点P在椭圆C上移动时，
12
PFF
的内心I的轨迹方程为
__________
．
15．已知
的终边过点
(3,2)m
，若
1
tan
3
，则
m
__________
．
16．若
1
2
x
且0x时，不等式22axxax
恒成立，则实数
a
的取值范围为
________
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且点,
n
nS*nN
在函数122xy的图像上；
（
1
）求数列
n
a
的通项公式；
（
2
）设数列
n
b
满足：
1
0b
，
1nnn
bba
，求
n
b
的通项公式；
（
3
）在第（
2
）问的条件下，若对于任意的*nN，不等式
1nn
bb
恒成立，求实数的取值范围；
18．（12分）已知数列
{}
n
a
，其前
n
项和为
n
S，满足
1
2a
，
1nnn
Snaa
，其中
2n
，nN，，
R
.
⑴若0，
4
，
+1
2
nnn
baa
（nN），求证：数列
{}
n
b
是等比数列；
⑵若数列
{}
n
a
是等比数列，求，
的值；
⑶若
2
3a
，且
3
2
，求证：数列
{}
n
a
是等差数列
.
19．（12分）某校共有学生
2000
人，其中男生
900
人，女生
1100
人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采
用分层抽样的方法收集该校
100
名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）
.
（
1
）应抽查男生与女生各多少人？
（
2
）根据收集
100
人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
时间（小时）
[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]
频率
0.050.200.300.250.150.05
若在样本数据中有
38
名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过
2
小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，
并判断是否有
95%
的把握认为
“
该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关
”
？
男
生
女
生
总
计
每周平均体育锻炼时间不超过
2
小时
每周平均体育锻炼时间超过
2
小时
总计
附：
K2
2()nadbc
abcdacbd
.
P
（
K2≥
k
0）
0.1000.0500.0100.005
0
k
2.7063.8416.6357.879
20．（12分）在直角坐标系
xOy
中，已知曲线C的参数方程为
cos,
3sin
x
y
（
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
sincos6
.
（
1
）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（
2
）若射线
m
的极坐标方程为
3
（
0
）
.
设
m
与C相交于点M，
m
与l相交于点N，求
||MN
.
21．（12分）ABC的内角A，
B
，C的对边分别为
a
，b,
c
已知2222acacb，5sincos0AB.
（
1
）求cosC；
（
2
）若ABC的面积
5
2
S
，求b.
22．（10分）如图，在四棱锥
SABCD
中，平面SAD平面
ABCD
，1SD，
5
cos
5
ASD，底面
ABCD
是边
长为
2
的菱形，点
E
，
F
分别为棱
DC
，
BC
的中点，点
G
是棱
SC
靠近点
C
的四等分点
.
求证：（
1
）直线
SA
平面
EFG
；
（
2
）直线AC平面
SDB
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、
B
【解析】
按补集、交集定义，即可求解
.
【详解】
U
A
＝
{1
，
3
，
5
，
6}
，
U
B
＝
{1
，
2
，
5
，
6}
，
所以
()()
UU
AB
＝
{1
，
5
，
6}.
故选：
B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题
.
2、
A
【解析】
设
()
x
fx
gx
e
，利用导数和题设条件，得到0gx
，得出函数gx
在
R
上单调递增，
得到0(3)(2018)ggg
，进而变形即可求解
.
【详解】
由题意，设
()
x
fx
gx
e
，则
2
()()()()()xx
xx
fxefxefxfx
gx
ee
，
又由()()fxfx，所以
()()
0
x
fxfx
gx
e
，即函数gx
在
R
上单调递增，
则0(3)(2018)ggg
，即
032018
(0)(3)(2018)
(0)
fff
f
eee
，
变形可得32018(3)(0),(2018)(0)feffef.
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函
数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题
.
3、
C
【解析】
根据2222xytttR
表示圆和直线
xyt
与圆2222xytttR
有公共点，得到
4
0
3
t
，再利用
二次函数的性质求解
.
【详解】
因为2222xytttR
表示圆，
所以220tt，解得02t，
因为直线
xyt
与圆2222xytttR
有公共点，
所以圆心到直线的距离dr，
即22
2
t
tt，
解得
4
0
3
t
，
此时
4
0
3
t
，
因为2
24424ftttttt，在
4
0,
3
递增，
所以4tt
的最大值
34
3
2
9
f
.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
.
4、
D
【解析】
构造函数sinhxxx
，sin2fxxx
，利用导数分析出这两个函数在区间
,
22
上均为减函数，由
sinsin2
得出
sinsin2
，分0、
0
2
、
0
2
三种情况讨论，利用放缩
法结合函数yhx
的单调性推导出
0
2
或
0
2
，再利用余弦函数的单调性可得出结论
.
【详解】
构造函数sinhxxx
，sin2fxxx
，
则cos10hxx
，cos20fxx
，
所以，函数yfx
、yhx
在区间
,
22
上均为减函数，
当
0
2
x
时，则00hxh
，00fxf
；当
0
2
x
时，0hx
，0fx
.
由
sinsin2
得
sinsin2
.
①若0，则
sin20
，即00f
，不合乎题意；
②若
0
2
，则
0
2
，则sinsin2sinhh
，
此时，
0
2
，
由于函数
cosyx
在区间
,0
2
上单调递增，函数
sinyx
在区间
,0
2
上单调递增，则
sinsin
，
coscos
；
③若
0
2
，则0
2
，则sinsin2sinhh
，
此时
0
2
，
由于函数
cosyx
在区间
0,
2
上单调递减，函数
sinyx
在区间
0,
2
上单调递增，则
sinsin
，
coscos
.
综上所述，
coscos
.
故选：
D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对
的取值范围进行分类讨论，考查推理能
力，属于中等题
.
5、
C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出
()gx
，根据
()gx
是奇函数，可得
m
的取值，再求其最小值
.
【详解】
解：由题意知，将函数
()sin(3)
6
fxx
的图像向右平移
(0)mm
个单位长度，得sin3
6
yxm
，再将
sin33
6
yxm
图像上各点的横坐标伸长到原来的
6
倍（纵坐标不变），得到函数
()gx
的图像，
1
()sin(3)
26
gxxm
，
因为
()gx
是奇函数，
所以
3,
6
mkkZ
，解得,
183
k
mkZ
，
因为0m，所以
m
的最小值为
18
.
故选：C
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题
.
6、
C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当
3
,
42
x
时，
1717
,
231224
x
，
1
()42sin
212
fxx
，再利用单调性
判断
.③根据平移变换，函数
11
()4sin4cos
2323
fxxx
的值域等价于函数
11
()4sin4cos
22
gxxx
的值域，而
()()gxgx
，当
[0,]x
时，
1
()42sin
23
gxx
再求值域
.
【详解】
因为
171711
4sin4cos4cos4sin()
22
fxxxxxfx
，故①错误；
当
3
,
42
x
时，
1717
,
231224
x
，所以
111
()4sin4cos42sin
2323212
fxxxx
，
111
,
212324
x
所以
()fx
在
42
3
,
上单调递增，故②正确；
函数
11
()4sin4cos
2323
fxxx
的值域等价于函数
11
()4sin4cos
22
gxxx
的值域，易知
()()gxgx
，故当
[0,]x
时，
1
()42sin[4,42]
23
gxx
，故③正确
.
故选：
C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题
.
7、
D
【解析】
过点C作
//CyAB
，以C为原点，CA为
x
轴，
Cy
为
y
轴，
1
CC
为
z
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面
角的余弦值得答案．
【详解】
解：因为1ABAC，
1
2BCAA，所以222ABACBC，即ABAC
过点C作
//CyAB
，以C为原点，CA为
x
轴，
Cy
为
y
轴，
1
CC
为
z
轴，建立空间直角坐标系，
则
(1F
，
0
，
22
)
3
，
1
(
2
O
，
1
2
，
0)
，
(0E
，
0
，
2
)
2
，
1
(1B
，
1
，2)，
1
11
(,,2)
22
OB
，
112
(,,)
222
OE
，
1122
(,,)
223
OF
，
1
2
(1,1,)
2
EB
，
2
(1,0,)
6
EF
，
设平面
1
OBE
的法向量,,mxyz，
则
1
11
·20
22
112
·0
222
mOBxyz
mOExyz
，取1x，得1,1,0m
，
同理可求平面
1
OBF
的法向量(52,2,3)n，
平面OEF的法向量
272
(,,3)
22
p
，平面
1
EFB
的法向量
2
(,2,3)
2
q
．
461
cos
61
||||
mn
mn
，
434
cos
34
||||
mp
mp
，
46
cos
46
||||
mq
mq
．
．
故选：
D
．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中
档题．
8、
C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将
3
sin2
2
化简为关于tan的形式，结合终边所在的直线可知tan的值，从
而可求
3
sin2
2
的值
.
【详解】
因为
222
22
222
3sincostan1
sin2cos2sincos
2sincostan1
，且tan2，
所以
3413
sin2
2415
.
故选：
C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般
.
求解
22sincosmn值的两种方法：（
1
）分别求解出
sin,cos
的值，再求出结果；（
2
）将22sincosmn变形为
222
222
sincostan
sincostan1
mnmn
，利用tan的值求出结果
.
9、
D
【解析】
因为2{|1}{|11}Axxxx
,
2
{|log1}{|02}Bxxxx
,
所以
{|01}ABxx
,
{|12}ABxx
,
故选
D
．
10、
B
【解析】
由题，可求出1,3ADCD，所以
2ABDC
，根据共线定理，设(01)BEBC，利用向量三角形法则求
出
1
2
AEABAD
，结合题给AExAByAD，得出
1,
2
xy
，进而得出
1
2
xy
，最后
利用二次函数求出
xy
的最大值，即可求出||AE.
【详解】
由题意，直角梯形ABCD中，0ABAD，
30B
，
23AB
，2BC，
可求得1,3ADCD，所以
2ABDC
·
∵点E在线段BC上，设(01)BEBC，
则()AEABBEABBCABBAADDC
(1)1
2
ABADDCABAD
，
即
1
2
AEABAD
，
又因为AExAByAD
所以
1,
2
xy
，
所以
22
1111
1(1)1(1)
22222
xy
，
当1时，等号成立
.
所以
1
||||2
2
AEABAD.
故选：
B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力
.
11、
B
【解析】
①利用
p
q
真假表来判断，②考虑内角为90，③利用特称命题的否定是全称命题判断，
④利用集合间的包含关系判断.
【详解】
若
“
p
且
q
”
为假命题，则
p
﹑
q
中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；
由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为
BA
，所以xB
xA，所以
“xA”
是
“xB”
的必要条件，
故④正确
.
故选：
B.
【点睛】
本题考查命题真假的问题，涉及到
“
且
”
命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题
.
12、
B
【解析】
根据焦距即可求得参数
m
，再根据点到直线的距离公式即可求得结果
.
【详解】
因为双曲线
22
2
:1
4
xy
C
m
的焦距为45，
故可得2
2425m，解得216m，不妨取4m；
又焦点25,0F
，其中一条渐近线为
2yx
，
由点到直线的距离公式即可求的
45
4
5
d.
故选：
B.
【点睛】
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题
.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
0.4
【解析】
因为随机变量
ζ
服从正态分布23N，,
利用正态曲线的对称性，即得解
.
【详解】
因为随机变量
ζ
服从正态分布23N，
所以正态曲线关于3x对称，
所
(0)(6)04PP．
.
【点睛】
本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础
题
.
14、2231(0)xyy
【解析】
考查更为一般的问题：设
P
为椭圆
C
:22
22
10,0
xy
ab
ab
上的动点，
12
,FF为椭圆的两个焦点，I为
△
PF
1
F
2的
内心，求点
I
的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆
I
与
F
1
F
2的切点为
H
，半径为
r
，且
F
1
H
=
y
，
F
2
H
=
z
，
PF
1
=
x
+
y
，
PF
2
=
x
+
z
，22cab
，则
2
22
yzc
xyza
.
直线
IF
1与
IF
2的斜率之积：
12
22
12
IFIF
IHr
kk
FHFHyz
，
而根据海伦公式，有
△
PF
1
F
2的面积为xyzrxyzxyz
因此有
12
IFIF
xac
kk
xyzac
.
再根据椭圆的斜率积定义，可得
I
点的轨迹是以
F
1
F
2为长轴，
离心率
e
满足21
ac
e
ac
的椭圆，
其标准方程为
22
2
2
10
xy
y
ac
c
c
ac
.
解法二：令
(cos,sin)Pab
，则sin0．三角形
PF
1
F
2的面积：
11
2sin22
22
Scbcar
，
其中
r
为内切圆的半径，解得
sin
I
bc
ry
ac
.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
12
(cos)(cos),
II
cxxcPFPFacac
从而有
cos
I
xc
．消去
θ
得到点
I
的轨迹方程为：
22
2
2
10
xy
y
ac
c
c
ac
.
本题中：
2,1ac
，代入上式可得轨迹方程为：22310xyy.
15、2
【解析】
】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得
m
的值．
【详解】
∵
的终边过点3,2m
，若
1
tan
3
，
21
tan,2.
33
tanm
m
．
即答案为
-2.
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题
.
16、
,22,
【解析】
将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对
a
的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间
11
,00,
22
上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出
a
的取值范围
.
【详解】
因为22axxax
，所以2
2
22axxax
，所以2
2
22axxax
，
所以22220axxaxaxxax
，所以
2
2
30
0
axxa
axxa
或
2
2
30
0
axxa
axxa
，
当0a时，
2xx
对
1
2
x
且0x不成立，
当0a时，取
1
2
x
，
2
2
30
0
axxa
axxa
显然不满足，所以
2
2
30
0
axxa
axxa
，
所以
13
0
42
13
0
42
11
0
42
11
0
42
aa
aa
aa
aa
，解得2a；
当
0a
时，取
1
2
x
，
2
2
30
0
axxa
axxa
显然不满足，所以
2
2
30
0
axxa
axxa
，
所以
13
0
42
13
0
42
11
0
42
11
0
42
aa
aa
aa
aa
，解得2a，
综上可得
a
的取值范围是：
,22,
.
故答案为：
,22,
.
【点睛】
本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难
.
根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（
1
）分类讨论
法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（
2
）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关
系求解出参数范围
.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（
1
）*2n
n
anN
（
2
）当
n
为偶数时，
22
33
n
n
b；当
n
为奇数时，
22
33
n
n
b.
（
3
）
(1,)
【解析】
（
1
）根据
1nnn
aSS
,
讨论1n与2n两种情况
,
即可求得数列
n
a
的通项公式
;
（
2
）由（
1
）利用递推公式及累加法
,
即可求得当
n
为奇数或偶数时
n
b
的通项公式
.
也可利用数学归纳法
,
先猜想出通
项公式
,
再用数学归纳法证明
.
（
3
）分类讨论
,
当
n
为奇数或偶数时
,
分别求得
1
n
n
b
b
的最大值
,
即可求得的取值范围
.
【详解】
（
1
）由题意可知
,122n
n
S
.
当2n时
,
1nnn
aSS
12222nn
2n,
当1n时
,11
11
22aS
2也满足上式
.
所以*2n
n
anN
.
（
2
）解法一：由（
1
）可知
1
2n
nn
bb
*nN
,
即
1
2k
kk
bb
*kN
.
当1k时
,1
21
2bb
,①
当2k时
,2
32
2bb
,
所以2
32
2bb
,②
当3k时
,3
43
2bb
,③
当4k时
,4
54
2bb
,
所以4
54
2bb
,④
……
当1kn时
,
n
为偶数1
1
2n
nn
bb
当kn时
,
n
为偶数所以1
1
2n
nn
bb
以上1n个式子相加
,
得
2341
1
22222n
n
bb
121(2)
1(2)
n
22
33
n
.
又
1
0b
,
所以当
n
为偶数时
,
22
33
n
n
b.
同理
,
当
n
为奇数时
,
2341
1
22222n
n
bb
121(2)
1(2)
n
22
3
n
,
所以
,
当
n
为奇数时
,
22
33
n
n
b.
解法二：
猜测：当
n
为奇数时
,
1222222nn
n
b
1
1
1
21
2
1
1
2
n
n
22
33
n
.
猜测：当
n
为偶数时
,
1222222nn
n
b
1
1
1
21
2
1
1
2
n
n
22
33
n
.
以下用数学归纳法证明：
1n,
命题成立；
假设当nk时
,
命题成立；
当
n
为奇数时
,1222222kk
k
b
,
当1nk时
,
n
为偶数
,
由
1
2k
kk
bb
*kN
得
122
1
222222kkkk
kk
bb
故
,1nk时
,
命题也成立
.
综上可知
,
当
n
为奇数时
22
33
n
n
b
同理
,
当
n
为偶数时
,
命题仍成立
.
（
3
）由（
2
）可知
22
33
22
33
n
n
n
n
b
n
为偶数
为奇数
.
①当
n
为偶数时
,
1
1
22
33
22
33
n
n
n
n
b
b
1
22
22
n
n
1
13
222n
,
所以
1
n
n
b
b
随
n
的增大而减小从而当
n
为偶数时
,
1
n
n
b
b
的最大值是
2
3
1
b
b
.
②当
n
为奇数时
,
1
1
22
33
22
33
n
n
n
n
b
b
1
22
22
n
n
1
13
222n
,
所以
1
n
n
b
b
随
n
的增大而增大
,
且
1
1
131
1
2222
n
n
n
b
b
.
综上
,
1
n
n
b
b
的最大值是
1.
因此
,
若对于任意的*nN,
不等式
1nn
bb
恒成立
,
只需
1,
故实数的取值范围是
(1,)
.
【点睛】
本题考查了累加法求数列通项公式的应用
,
分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法
,
数学归纳法证明数列的应用
,
数列的
单调性及参数的取值范围
,
属于难题
.
18、（
1
）见解析（
2
）
10，
（
3
）见解析
【解析】
试题分析：（
1
）
1
4
nn
Sa
(2n),
所以
1
2
nn
bb
，故数列
n
b
是等比数列；（
2
）利用特殊值法，得
1,1q
，
故
10，
；（
3
）得
1
1
2
，
，所以
12nnn
n
Saa
，得
11
1220
nnn
nanaa
，可证数列
n
a
是等差数列
.
试题解析：
（
1
）证明：若
0,4
，则当
1
4
nn
Sa
(2n),
所以
111
4
nnnnn
aSSaa
，
即
11
222
nnnn
aaaa
，
所以
1
2
nn
bb
，
又由
1
2a
，
121
4aaa
，
得
21
36aa
，
21
220aa
，即
0
n
b
，
所以
1
2n
n
b
b
，
故数列
n
b
是等比数列．
（
2
）若
n
a
是等比数列，设其公比为
q
（
0q
），
当2n时，
221
2Saa，即
1221
2aaaa，得
12qq
，
①
当3n时，
332
3Saa
，即
12332
3aaaaa
，得
2213qqqq，
②
当4n时，
443
4Saa
，即
123443
4aaaaaa
，得
23321+4qqqqq，
③
②
①
q
，得21q，
③
②
q
，得31q，
解得
1,1q
．
代入①式，得
0
．
此时
nn
Sna
(2n)
，
所以
1
2
n
aa
，
n
a
是公比为１的等比数列，
故
10，
．
（
3
）证明：若
2
3a
，由
1221
2aaaa
，得
562
，
又
3
2
，解得
1
1
2
，
．
由
1
2a
，
2
3a
，
1
2
，
1
，代入
1nnn
Snaa
得
3
4a
，
所以
1
a
，
2
a
，
3
a
成等差数列，
由
12nnn
n
Saa
，得
11
1
2nnn
n
Saa
，
两式相减得：
111
1
22nnnnn
nn
aaaaa
即
11
1220
nnn
nanaa
所以
21
120
nnn
nanaa
相减得：
211
212220
nnnnn
nananaaa
所以
2111
2220
nnnnnn
naaaaaa
所以
2
21111-2
22
222
1nnnnnnnnn
aaaaaaaaa
nnn
1
321
2
2
12
n
aaa
nn
，
因为
123
20aaa
，所以
21
20
nnn
aaa
，
即数列
n
a
是等差数列
.
19、（
1
）男生人数为45人，女生人数
55
人
.
（
2
）列联表答案见解析，有
95%
的把握认为
“
该校学生的每周平均体育锻
炼时间与性别有关
.
【解析】
（
1
）求出男女比例，按比例分配即可；
（
2
）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合2K公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（
1
）因为男生人数：女生人数＝
900
：
1100
＝
9
：
11
，
所以男生人数为
9
10045
20
人
，女生人数
100
﹣
45
＝
55
人，
（
2
）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过
2
小时的人数为：（
1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05
）
×100
＝
75
人，
每周平均体育锻炼时间超过
2
小时的女生人数为
37
人，
联表如下：
男
生
女
生
总
计
每周平均体育锻炼时间不超过
2
小时
71825
每周平均体育锻炼时间超过
2
小时
383775
总计
4555100
因为
2
2
100(1838737)
45552575
K
3.892
＞
3.841
，
所以有
95%
的把握认为
“
该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关
.
【点睛】
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题
.
20、（
1
）曲线C的普通方程为
2
21
9
y
x；直线l的直角坐标方程为
60xy
（
2
）||536MN
【解析】
（
1
）利用消去参数
，将曲线C的参数方程化成普通方程，利用互化公式
cos
sin
x
y
，
将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（
2
）根据（
1
）求出曲线C的极坐标方程，分别联立射线
m
与曲线C以及射线
m
与直线l的极坐标方程，求出
1
和
2
，
即可求出
||MN
.
【详解】
解：（
1
）因为
cos,
3sin
x
y
（
为参数），所以消去参数
，得
2
21
9
y
x，
所以曲线C的普通方程为
2
21
9
y
x.
因为
cos,
sin,
x
y
所以直线l的直角坐标方程为
60xy
.
（
2
）曲线C的极坐标方程为
22
22
sin
cos1
9
.
设
,MN
的极径分别为
1
和
2
，
将
3
（
0
）代入
22
22
sin
cos1
9
，解得
1
3，
将
3
（
0
）代入
sincos6
，解得
2
636.
故
12
||536MN.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式
cos
sin
x
y
将极坐标方程化为直角坐标方程，还考
查极径的运用和两点间距离，属于中档题
.
21、（
1
）
31025
cos,cos
105
AC；（
2
）5b
【解析】
试题分析：（
1
）根据余弦定理求出
B,
带入条件求出sinA，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理
即可求出；（
2
）根据（
1
）及面积公式可得
ac
，利用正弦定理即可求出
.
试题解析：（
1
）由2222acacb，得2222acbac，
∴
22222
cos
222
acbac
B
acac
.
∵0B，∴
3
4
B
.
由5sincos0AB，得
55210
sincos
55210
AB
，
∴
2
2
10310
1sin1
1010
cosAA
.
∴
22
coscoscossin
422
CAAA
231021025
2102105
.
（
2
）由（
1
），得
2
2
255
sin1cos1
55
CC
.
由
1
sin
2
SacB
及题设条件，得
135
sin
242
ac
，∴52ac.
由
sinsinsin
abc
ABC
，得1025
1025
abc
，
∴2
5252
5225
22
bac，
∴5b.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角
中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求
角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小
.
22、（
1
）见解析（
2
）见解析
【解析】
(1)
连接
AC
、
BD
交于点
O
,
交
EF
于点
H
,
连接
GH
,
再证明SAGH∥即可
.
(2)
证明ACBD与SDAC即可
.
【详解】
（
1
）连接
AC
、
BD
交于点
O
,
交
EF
于点
H
,
连接
GH
,
所以
O
为
AC
的中点
,
H
为
OC
的中点
,
由
E
、
F
为
DC
、
BC
的中点
,
再由题意可得
1
4
CGCH
CSCA
,
所以在三角形
CAS
中SAGH∥,SA平面
EFG
,GH平面
EFG
,
所以直线
SA
平面
EFG
.
（
2
）在ASD中
,1SD,2AD,
5
cos
5
ASD,
由余弦定理得
,222ADSASD
2cosSASDASD,
即
222
5
2121
5
SASA,
解得5SA,
由勾股定理逆定理可知SDDA,
因为侧面SAD底面
ABCD
,
由面面
垂直的性质定理可知SD平面
ABCD
,
所以SDAC,
因为底面
ABCD
是菱形
,
所以ACBD,
因为
SDBDD,
所以AC平面
SDB
.
【点睛】
本题考查线面平行与垂直的证明
.
需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明
.
属于中档题
.