基本不等式教案
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2023年2月18日发(作者：喻小广)高中数学必修5《基本不等式√ab≤(a+b)/2》教案
教学目标
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问
题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力
以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题剖析归纳证明几何解释应用(最值的求法、
实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养
学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探
索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用
数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重难点
1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教学过程
一、创设情景，提出问题;
设计意图：数学教育必须基于学生的数学现实，现实情境问题是数学教学的平台，数学
教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设
置如下情境:
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦
图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
三、理解升华：
1、文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小
关系?
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：
4、探究基本不等式证明方法：
[问]如何证明基本不等式?
(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升
华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质
直接推导这个不等式。)
方法一：作差比较或由
展开证明。
方法二：分析法(完成课本填空)
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的
文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、
动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读数学书。
点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
5、探究基本不等式的几何意义：
借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生
几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，
直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
四、探究归纳
下列命题中正确的是
结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;
若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。
简记为：一正、二定、三相等。
五、领悟练习：
公式应用之二：(最优化问题)
设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生
的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：
数学就在我们身边的生活中
(1)在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，
学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多
少?
(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少?
六、反思总结，整合新知：
通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要
请教?
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高
认知水平.
老师根据情况完善如下：
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：一正二定三相等