简谐运动公式

简谐运动公式

付锋-重走青春

2023年2月18日发(作者：安琪儿幼儿园)

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第1节简谐运动

知识点一机械振动与简谐振动

1．机械振动

(1)机械振动：

物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，简称振动。

(2)平衡位置：

物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置)。

2．简谐运动

(1)回复力：

①概念：当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。

②效果：总是要把振动物体拉回至平衡位置。

(2)简谐运动：

①定义：如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位

置，则物体所做的运动叫做简谐运动。

②公式描述：F＝－kx(其中F表示回复力，x表示相对平衡位置的位移，k为比例系数，

“－”号表示F与x方向相反)。

[总结拓展]

1．弹簧振子应满足的条件

(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上。

(2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点。

(3)阻力：在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力。

(4)弹性限度：振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。

2．简谐运动的位移

(1)定义：振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡

位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

(2)位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方

向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

3．简谐运动的回复力

(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与

位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。

(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，

系数k由振动系统自身决定。

4．简谐运动的速度

(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴

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(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相

反。

(2)特点：如图1－1－1所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点

速度为零。

图1－1－1

5．简谐运动的加速度

(1)计算方法：a＝－

kx

m

，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位

置的位移。

(2)特点：加速度大小随位移呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变。

6、在简谐运动中，位移、加速度（回复力）以及速度的变化关系如下表

知识点二振幅、周期和频率

1．振幅(A)

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。

(2)物理意义：表示振动强弱，是标量。

2．全振动

简谐运动的物体完成一个完整的振动过程。

3．周期(T)和频率(f)

内容周期频率

定义

做简谐运动的物体完成一次全振动所需

要的时间

单位时间内完成全振动的次数

单位秒(s)赫兹(Hz)

物理含义都是表示振动快慢的物理量

联系T＝

1

f

[总结拓展]

1．对全振动的理解

(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次

全振动。

(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。

①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．振幅与振动中几个常见量的关系

(1)振幅与位移的关系：

振动中的位移是矢量，振幅是标量；在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等；

同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(2)振幅与路程的关系：

振动中的路程是标量，是随时间不断增加的。其中常用的定量关系是：

①一个周期内的路程为振幅的4倍；

②半个周期内的路程为振幅的2倍；

③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，

1

4

周期内的路程等于振幅；

④若从一般位置开始计时，

1

4

周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等

于或小于振幅。

(3)振幅与周期(或频率)的关系：

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

知识点三简谐运动的能量

1．弹簧振子振动过程中的能量转化

如图1－1－2所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则

图1－1－2

在从B到O过程中，动能增加，弹性势能减小，当运动到O时，动能最大，弹性势能为

零。

2．简谐运动的能量

简谐运动的能量是指振动系统的机械能，振动的过程就是动能和势能相互转化的过程，

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒。

[总结拓展]

1．若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能

之和不变，即机械能守恒。

2．简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。在简谐运动中，振动

的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它

将永不停息地振动下去。

3．在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化。经过平衡位置时动能最大，

势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小。

振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。

【预习自测】

1

2、下列说法正确的是()

A．弹簧振子的运动是简谐运动

B．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种

C．做简谐运动的物体每次经过同一位置时，其速度、位移都相同

D．做简谐运动的物体在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向

解析：选A弹簧振子是简谐运动中的一个理想模型，其运动是简谐运动，选项A正

确；机械运动中最基本、最简单的运动形式是匀速直线运动，选项B错误；根据简谐运动中

位移的概念，物体每次经过同一位置时，位移都相同，但在同一位置，既可能向平衡位置运

动，也可能远离平衡位置，因此速度方向不确定，选项C错误；同理，在平衡位置两侧对称

的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，选项D错误。

3．关于振幅的概念，下列叙述中正确的是()

A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量

B．振幅是表示振动强弱的物理量

C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率是固定的，与振幅无关

解析：选BD振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，振幅越大，表明

物体振动越强。周期与振幅无关。

4、物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体()

A．在A点和A′点的位移相同

B．在两点处的速度可能相同

C．在两点处的加速度可能相同

D．在两点处的动能一定相同

解析：选BD根据简谐运动的特点可知关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相

等，但方向相反，选项A错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项

B正确；物体的加速度大小相等方向相反，选项C错误；由于速度大小相等，动能自然相

同，选项D正确。

考点一、对简谐运动的理解

[典题例析]

1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是()

A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

[思路点拨]

(1)振子加速度的方向与速度方向、位移方向有什么关系？

提示：加速度的方向始终与位移方向相反，与速度的方向可能相同，也可能相反。

(2)振子由最大位移处向平衡位置运动时，做什么运动？

提示：加速度逐渐减小的变加速运动。

解析：如图所示。

设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正。在振子由O向A运行

过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A错。振子通过平衡位置时，加速度

为零，速度最大，故B错。当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可

能向右，但加速度相同，故C错，D正确。

答案：D

[探规寻律]

简谐运动中各物理量动态变化的判断方法：

(1)方向：位移x⇔

F＝－kx

相反

回复力F⇔

F＝ma

相同

加速度a(由回复力产生)；速度方向为振动物体运动方

向，与以上各量无必然联系，“＋”“－”与正方向选取有关。

(2)大小：远离平衡位置⇔位移x↑⇔回复力F↑⇔加速度a(由回复力产生)↑⇔速度

v↓；反之：靠近平衡位置⇔位移x↓⇔回复力F↓⇔加速度a(由回复力产生的)↓⇔速度

v↑。

说明：以上为判断主线，用符号“⇔”表示各物理量间可以进行互判，而不要理解为相

互的决定关系。

[及时演练]

1、如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运

动，关于振子下列说法正确的是()

图1－1－3

A．在a点时加速度最大，速度最大

B．在O点时速度最大，位移最大

C．在b点时位移最大，速度最小

D．在b点时加速度最大，速度最大

解析：选CO为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B错

误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正

确。

2．关于简谐运动的频率，下列说法正确的是()

A．频率越高，振动质点运动的速度越大

B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多

C．频率是50Hz时，1s内振动物体速度方向改变100次

D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关

解析：选BC简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速

度，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。振动的越快和运动得

越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越

高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧

振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量振子的质量m

和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。

3、一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把

弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为()

A．1∶11∶1B．1∶11∶2

C．1∶41∶4D．1∶21∶2

解析：选B弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故

振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，

则周期之比为1∶1。

考点二、简谐运动的对称性

(1)速度、加速度、位移、动能、势能的对称特点：

①振子经过关于平衡位置O对称(OP＝OP′，如图1－1－5所示)的两点P、P′时，速度

的大小、加速度的大小、位移的大小、动能、势能相等。

图1－1－5

②振子在对称点速度的方向可以相同，也可以相反，加速度的方向一定相反。

(2)时间的对称：

①振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间；振子往复过程中通过同一段路程(如OP

段)所用时间相等。

②相隔

T

2

或

2n＋1T

2

(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速

度、加速度大小相等，方向相反。

[典题例析]如图1－1－4所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm

的A、B两点，历时0.5s，过B点后再经过t＝0.5s，质点以大小相等、方向相反的速度再

次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)()

图1－1－4

A．0.5sB．1.0s

C．2.0sD．4.0s

[思路点拨]

以同样的速度通过A、B―――――→

速度对称性

O为A、B中点，

即平衡位置

―――――→

时间对称性

tAO＝tOB，tBD＝tDB

tOB＝tBO

―→tOD＝tOB＋tBD

解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点为平衡位置，A、B两点对称分布在O

点两侧，质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB＝

1

2

×0.5s＝0.25s。质点从B

点向右到达右方极端位置(D点)的时间tBD＝

1

2

×0.5s＝0.25s。所以质点从离开O点到再次

回到O点的时间t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)s＝1.0s，故正确选项为B。

答案：B

[及时演练]

1、一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，

那么，下列说法正确的是()

A．振子在M、N两点受力相同

B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

解析：选C建立弹簧振子模型如图所示。因位移、速度、加速

度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N

两点关于O点对称，振子受力应大小相等、方向相反，振子位移也是

大小相等，方向相反。由此可知，A、B选项错误。振子在M、N两点的加速度虽然方向相

反，但大小相等，故C选项正确。振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做

加速运动，但不是匀加速运动。振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减

速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误。

考点三、对简谐运动的判定

简谐运动的判定方法：

【及时演练】

考点四、简谐运动的临界问题

【例题4】如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量为M的薄板，板上放一木块，木

块质量为m．现使整个装置在竖直方向上做简谐运动，振幅为A．

（1）若要求在整个过程中小木块m恰好不脱离薄板，则弹簧的劲度系数k应为多

少？

（2）求出木块和薄板在弹簧最短时，木块对薄板的压力

及时演练；

1．如图所示，两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静

摩擦力为Fm，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子，

为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则()

A．它们的振幅不能大于

M＋m

kM

FmB．它们的振幅不能大于

M＋m

km

Fm

C．它们的最大加速度不能大于

Fm

M

D．它们的最大加速度不能大于

Fm

m

【高考题模拟题精选】

本节高考解读：

从历年高考来看，对本节内容的考察比较基础，在考试题型上多以选择题出现，主要考

察简谐运动的运动规律和对各物理量的变化分析，尤其是对周期性和对称性的分析。

1、(2016·乐山二模)一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位

置第一次运动到x＝

A

2

处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝

A

2

处所用

的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是()

A．t1＝t2B．t1＜t2

C．t1＞t2D．无法判断

解析：选B根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大可知，振子

第一次从平衡位置运动到x＝

1

2

A处的平均速度大于第一次从最大正位移处运动到x＝

1

2

A处的

平均速度，而路程相等，说明t1＜t2。故A、C、D错误，B正确。

2．(2013·上海高考)做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是

()

A．位移B．速度

C．加速度D．回复力

解析：选B做简谐振动的物体，经过同一位置时，相对平衡位置的位移x相同，回复

力(F＝－kx)相同，由牛顿第二定律(F＝ma)知加速度a相同，物体可能以方向相反的速度经

过同一位置，故B正确。

[课下综合检测]

1．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是()

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析：选B平衡位置是物体原来静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范

围的中心位置无关，如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的平

衡位置在球台面上，A错误；振动位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，

振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的振动位移最大，所以B正确，

C、D错误。

2.弹簧振子沿直线做简谐运动，当振子连续两次经过相同位置时()

A．加速度相同B．位移相同C．动能相同D．速度相同

3．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是()

A．重力、支持力、弹簧的弹力

B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C．重力、支持力、回复力、摩擦力

D．重力、支持力、摩擦力

解析：选A回复力是振子沿振动方向的合力，是效果力而不是物体实际受到的力，

B、C错误；弹簧振子做简谐运动，不受摩擦力，D错误。

4．水平弹簧振子做简谐运动，轨迹上有A、B两点，已知振子位于A、B两点的动能EA

且A、B两点的位移方向相同．关于振子通过A、B两点的加速度aA、aB和速度vA、vB一定

有()

A．aA>aB，且方向相同B．aA

C．vA>vB，且方向相同D．vA

5．如图2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1

cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，

则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为()

图2

A．0.2sB．0.4s

C．0.1sD.0.3s

解析：选A简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子

第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的

1

4

，它们相等。

6、如图3所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的

运动时间是1s，则下列说法中正确的是()

图3

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1s，振幅是10cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm

解析：选D振子从B→O→C仅完成了半个全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A

＝BO＝5cm，振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过的路程

为40cm。从B开始经过3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm。

7．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是()

A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等

B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功

C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供

D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒

解析：选CD振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位

置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹

簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受

合力提供且运动过程中机械能守恒，故C、D对。

8、如图4所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的

质量为M，弹簧的劲度系数为k。当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直

方向上做简谐运动，则A振动的振幅为()

A.

Mg

k

B.

mg

k

C.

M＋mg

k

D.

M＋mg

2k

解析：选A在物体A振动的平衡位置处，弹簧弹力和A物体重力相等。物体B将A拉

至平衡位置以下最大位移Δx＝

Mg

k

处，故物体A振动的振幅为

Mg

k

，A正确。

9、

10、如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重

力均为mg，物B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位

置处于平衡状态。现对物块A施以大小为F=mg的力将其下压一段距离x

保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x

时()

A.压力传感器的读数是零

B.压力传感器的读数是mg/2

C.压力传感器的读数是2mg

D.压力传感器的读数是mg

11、如图4所示，试证明光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段

距离后释放，小球的运动是简谐运动。

图4

解析：小球静止时弹簧的伸长量为x0＝

mgsinθ

k

，再住下拉后弹簧相对于静止位置伸长

x时，物体的回复力F＝－k(x0＋x)＋mgsinθ＝－kx。由此可判定物体是做简谐运动。

答案：见解析

12．如图5所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20

cm，当振子经过B点时开始计时，经过0.5s，振子首次到达C点。求：

图5

(1)振子的振幅和频率；

(2)振子在5s内通过的路程。

解析：(1)B、C关于O点对称，B、C之间的距离为2A，由于2A＝20cm，故振幅A＝10

cm。振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×0.5s＝1s，频率f＝

1

T

＝1Hz。

(2)振子在一次全振动中通过的路程为4A＝40cm,5s内完成5次全振动，故振子在5s

内通过的路程为5×40cm＝200cm。

答案：(1)10cm1Hz(2)200cm

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