平面汇交力系

平面汇交力系

冷的反义词-协议英文

2023年2月18日发(作者：软件版本号)

工程力学

1

第2章平面汇交力系

教学提示：本章主要介绍平面汇交力系的基本内容，包括平面汇交力系的基

本概念以及平面汇交力系平衡与合成的几何法和解析法。

教学要求：本章让学生理解平面汇交力系的基本概念，掌握平面汇交力系平

衡与合成的几何法和解析法。

平面汇交力系是平面任意力系的特殊情况，主要研究以下2个问题：

(1)平面汇交力系平衡与合成的几何法。

(2)平面汇交力系平衡与合成的解析法。

2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

1.概念

汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。

平面汇交力系：汇交力系中各力的作用线位于同一平面内的力系，否则称为空间

汇交力系。

2.平面汇交力系合成的几何法

（1）两个汇交力的合成。

如图2.1所示，设在物体上作用有汇交于

O

点的两个力F

1

和F

2

，根据力的平

行四边形法则，可知合力R的大小和方向以两力F

1

和F

2

为邻边的平行四边形的对

角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点

O

。也可以取平行四边形的

一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。

图2.1

（2）多个力汇交力的合成。

设作用于物体上

O

点的力F

1

、F

2

、F

3

、F

4

组成平面汇交力系，现求其合力，如

图2.2a所示。应用力的三角形法则，首先将F

1

与F

2

合成得R

1

，然后把R

1

与F

3

合

成得R

2

，最后将R

2

与F

4

合成得R，力R就是原汇交力系F

1

、F

2

、F

3

、F

4

的合力，图

2.2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为

R=F

1

F

2

F

3

F

4

（2—1）

实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R

1

和R

2

，只要按照一定

的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图

工程力学

2

2.2c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如

图2.2d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力

多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合

力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点指向终点，合力的作用

线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。

从图2.2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的

形状，但不会影响合成的最后结果。

图2.2

将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得出如下结论：平面汇

交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量

和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式

为：

R=F

1

F

2

F

3

……

F

n

=∑F

i

（2—1b）

或简写为：

R=∑F（矢量和）（2—1c）

若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变

成一条直线，合力为：

R=∑F（代数和）（2—2）

需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求

力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用

线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力

系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。

对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、

快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力

的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。

3.平面汇交力系平衡的几何条件

如图2.3所示，设作用在刚体上的力组成

),,(

21n

FFF

v

L

vv

平面汇交力系，若力

工程力学

3

系平衡，则

1

0

n

i

i

F





1

F



2

F



i

F



2n

F



1n

F

n

F



图2.3

在用几何法求解力系的合力中，合力为0，意味着力多边形自行封闭。

结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的矢量和为零或

力多边形自行封闭。

例1．已知：简支梁AB，在中点作用力F



，

2

1

tg，方向如图，求反力。

F



A

BC45

F



A

F



B

F



A

B

C45

F



A

F

B

F





解：

1．取研究对象AB梁

2．受力分析如图

3．作自行封闭的力三角形如图

4．求解

)45sin(45sin)90sin(





BA

FF

F

cos

45sinF

F

A







cos

)45sin(



F

F

B

例2．已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用kNP20，

不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。

工程力学

4

A

B

C

P

30

C30

AC

F



BC

F



P



30

AC

F



BC

F



P



解：

1．取研究对象销钉C

2．受力分析

3．作自行封闭的力多边形。

4．解三角形

60sin90sin30sin

BCAC

FF

P



从以上例题可以得出,几何法解题步骤：

①选择研究对象；

②作出受力图；

③选择适当的比例尺作力多边形；

④求出未知量。

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标

轴上的投影为基础建立方程的。

1.力在平面直角坐标轴上的投影

设力F用矢量AB表示如图2.4所示。取直角坐标系oxy，使力F在oxy平面

内。过力矢量AB的两端点A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a/、b/，

带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影，记作F

x

、F

y

。并

规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影

取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，

力的投影取负值。

力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F与x轴的夹角为α，则从图

2.4可知





sin

cos

FF

FF

y

x





（2—3）

一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为α、β，则该力在x、

y轴上的投影分别为

工程力学

5





cos

cos

FF

FF

y

x





（2—4）

即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。

当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大

小。

图2.4图2.5

反过来，若已知力F在坐标轴上的投影F

x

、F

y

，亦可求出该力的大小和方向

角：

x

y

yx

F

F

FFF





tan

22

（2—5）

式中α为力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由F

x

、F

y

的正负号来确定。

在图2—3中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力F

x

和F

y

。应当注意，力

的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的

分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐

标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力

的标量进行计算，即

F=F

x

+F

y

=

jFF

yx

i

（2—6）

式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。

力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练

掌握。

例2.1如图2.5所示，已知NFNFNFNF400,300,200,100

4321

，各

工程力学

6

力的方向如图，试分别求各力在x轴和y轴上的投影。

解：根据公式（2—3）或（2—4），列表计算如下

力力在x轴上的投影（

cosF

）力在y轴上的投影（

sinF

）

F

1N1000cos10000sin100

F

2N10060cos200N310060sin200

F

3N15060cos300N315060sin300

F

4N220045cos400N220045sin400

2.合力投影定理

为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标

轴上投影的关系。

图2.6

如图2.6所示，设有一平面汇交力系F

1

、F

2

、F

3

作用在物体的

O

点，如图2.6

所示。从任一点A作力多边形ABCD，如图2.6b所示。则矢量AB就表示该力系的

合力R的大小和方向。取任一轴x如图示，把各力都投影在x轴上，并且令F

X1

、

F

X2、

F

X3

和R

x

分别表示各分力F

1

、F

2

、F

3

和合力R在x轴上的投影，由图2.6b可见

F

x1

=ab，F

x2

=bc，cdF

x



3

，R

x

=ad

而ad=ab+bc-cd

因此可得

R

x

=F

x1

+F

x2

+F

x3

这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即

R

x

=F

x1

+F

x2

+……F

xn

=∑F

x

（2—6）

由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

这就是合力投影定理。

工程力学

7

3.用解析法求解平面汇交力系的合力

当平面汇交力系为已知时，如图2.7所示，我们可选直角坐标系，先求出力

系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的

投影R

x

、R

y

，从图2.7中的几何关系，可见合力R的大小和方向由下式确定：















x

y

x

y

yxyx

F

F

R

R

FFRRR

tan

22

22

（2—7）

式中：α为合力R与x轴所夹的锐角，R在哪个象限由∑Fx和∑Fy的正负号

来确定，具体详见图2.8所示。合力的作用线通过力系的汇交点

O

。

图2.7图2.8

例2.2如同2.9所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知

,10

1

kNF

,25,20

32

kNFkNF三力均通过圆心

O

。试求此力系合力的大小和方

向。

解：

（1）几何法

取比例尺为：1cm代表10kN，画力多边形如图2.9b所示，其中

ab=

321

,,FcdFbcF。从起点a向终点d作矢量ad，即得合力R。由图上量

得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器

量得α=22。

工程力学

8

图2.9

（2）解析法

取如图2.9所示的直角坐标系

Oxy

，则合力的投影分别为：

kNFFR

kNFFFR

y

x

65.1660sin30sin

16.4160cos30cos

31

321









则合力R的大小为：

kNRRR

yx

40.4465.1616.412222

合力R的方向为：

79.21

16.41

65.16

arctanarctan

16.41

65.16

tan





x

y

x

y

R

R

R

R





由于x

R

＞0，y

R

＞0，故α在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的

汇交点

O

。

例2.3如图2.10所示，一平面汇交力系作用于

O

点。已知

,200

1

NF

,300

2

NF

各力方向如图。若此力系的合力R与F2沿同一直线，求F3与合力R

的大小。

解：

（1）几何法

取比例尺如图所示。取任一点a开始作力多边形，

,100

1

NFab

由b点作

,300

2

NFbc

得折线abc，再从折线上的c点和a点分别作F3和R的平行线，

工程力学

9

它们相交于一点d。多边形abcd即为力多边形。根据比例尺量得R=573N，F3=141N，

合力R的作用线通过汇交点

O

。

图2.10

（2）解析法

取如图2.10所示的坐标系。由题可知R沿x轴正向，则：

0,

yx

RRR

又因为：



yy

FR

则得：

045sin30sin

31

FF

即045sin

2

1

200

3

F

得NF4.141

2

200

3



又由RFR

xx



得

RFFF45cos30cos

321

即

NR2.573

2

2

4.141300

2

3

200

4.平面汇交力系平衡的解析法

由公式（2—7）可知

工程力学

10



22

22

yxyx

FFRRR

要使R=0，必须R=0，即



22

22

yxyx

FFRRR

=0

上面式中2x

F和2y

F恒为正值，所以要使R=0，必须且只须：

0

0









y

x

F

F

（2—9）

因此，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中各力在两个不

平行的坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零。

式（2—9）称为平面汇交力系的平衡方程。它们相互独立，应用这两个独立

的平衡方程可求解两个未知量。

利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，

若计算结果为正值，表示假设的力的指向就是实际的指向；反过来，若计算结果

为负值，表示假设的力的指向与实际指向相反。在实际计算中，适当地选取投影

轴，可使计算简化。用几何法求解时，未知力的实际指向由力多边形的封闭边来

确定。力多边形中所有力都环绕力多边形的同一方向且首尾相接，利用这一条件

即可确定未知力的指向。

例2.4一物体重为30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于如图2.11a所

示的平衡位置，设柔索的重量不计，AB与铅垂线的夹角30，BC水平。求柔

索AB和BC的拉力。

解：

（1）受力分析：取重物为研究对象，画受力图如图2.11b所示。根据约束特

点，绳索必受拉力。

（2）先用几何法求解

作力多边形，求解未知力。选取比例尺1cm代表15kN，任取一点a，作ac

平行于W，且kNWac40，过c点作T

BC

的平行线，过a点作T

AB

的平行线，两

线相交于b点。于是得到封闭的力三角形abc。

从图中按比例量得T

AB

=34kNT

BC

=17kN

工程力学

11

图2.11

（3）用解析法求解

建立直角坐标系Oxy，如图2—10b所示，根据平衡方程建立方程求解









kNTTTF

kNTWTF

BCBABCx

BABAy

32.17,030sin,0

64.34,030cos,0





例2.5简易起重机如图2.12所示。B、C为铰链支座。钢丝绳的一端缠绕在

卷扬机D上，另一端绕过滑轮A将重为W=20kN的重物匀速吊起。杆件AB、AC及

钢丝绳的自重不计，各处的摩擦不计。试求杆件AB、AC所受的力。

解：

（1）取滑轮A为研究对象进行受力分析：杆件AB及杆件AC仅在其两端受力

且处于平衡，因此都是二力杆，设都为受拉；由于不计摩擦，钢丝绳两端的拉力

应相等，都等于物体的重量W。如果不考虑滑轮的尺寸，则滑轮的受力图如图2

—11b所示。

（2）用几何法求解

作力多边形，求未知力。取比例尺1cm表示10kN，再任选取一点a，作ab

平行于T

1

，且ab=W；过b点作bc平行于T

2

，且bc=W；然后再从a点与c点分别

作直线平行于力R

AC

和R

AB

，此两直线相交于d点。于是得到封闭的力四边形abcd，

如图2.12c所示。根据力多边形首尾相接的矢量规则，即可确定出力R

AB

和R

AC

的

指向。从图中按比例尺量得

R

AB

=7.3kN，R

AC

=27kN

由于力多边形上各力的指向表示其实际的受力方向，所以在受力分析中R

AC

的指向假定错了，即杆件AC为受压力；而R

AB

的指向假定正确，即AB杆确实是受

拉力。

工程力学

12

图2.12

（3）用解析法求解

取坐标轴Axy如图2—12b所示，利用平衡方程，得

030cos60cos,0

21

TTRF

ACx

由于T

1

=T

2

=W=20kN，代入上式即得

R

AC

=kN32.27

R

AC

为负值，说明AC杆受压力。

060sin30sin,0

12

TTRF

ABy

解得R

AB

=7.321kN

R

AB

为正值，说明AB杆受拉力。

从上面计算过程可以看出，用几何法求解的特点是简单、直观，但不如用解

析法计算精确。

本章小结

本章研究了平面汇交力系的合成和平衡问题：

1)平面汇交力系的合成和平衡问题应用两种方法：

（1）几何法，平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。

（2）解析法，应用解析法解决平面汇交力系的合成和和平衡问题是本章的

重点。合成时分别求解x

R

=1

X

+2

X

+…+n

X

=





n

i

i

x

F

1，





n

i

i

yny

FYYYR

1

21

...

。然

后利用





n

i

n

i

i

y

i

xyx

FFRRR

11

2222)()(

进行合成。其平衡方程是















0

0

y

x

F

F

工程力学

13

2)应用平面汇交力系平衡方程时要注意：

（1）所选择的研究对象应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力；

（2）先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以

受力较为复杂的物体作为研究对象。

（3）进行受力分析时需将研究对象从其周围物体中隔离出来。画出受力图。

（4）选取坐标系应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，使力的投影简便且平衡方程中包

括最少的数目的未知量，避免解联立方程。

习题

2.1平面刚架在B处受一水平力F作用，如图所示，刚架自重不计，设F=20kN，L=8m，h=4m，

则求A、D处的约束反力。

题图2.1

2.2铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。NF100

1

，沿铅直方向；

NF50

3

，沿水平方向，并通过A；NF50

2

，力的作用线也通过点A。求此力系的合力。

题图2.2

2.3如图所示，平面汇交力系由

321

FFF、、三个力组成，其中

1

F沿水平方向作用，大小为

20kN，

2

F和

3

F大小相等且互相垂直。设三力的合力

R

F竖直向下，大小为15kN，试求

32

FF、

工程力学

14

的大小和方向。

题图2.3

2.4图示液压夹紧机构中，

D

为固定铰链，

ECB、、

为活动铰链。已知力

F

，机构平衡时

角度如图，求此时工件

H

所受的压紧力。

题图2.4

2.5如图，平面吊环上作用有四个力

4321

FFFF、、、，它们汇交于圆环的中心。其中

kNF10

1

，kNF15

2

；kNF8

3

；kNF10

4

，试用解析法求其合力

R

F。

题图2.5

2.6构件ABCD受重力W=1kN。其中构件AB与CD在D处铰接，B、C两点均为固定铰链

支座。如不计构件自重，试求构件CD所受的力与支座B处的约束反力。

工程力学

15

题图2.6

2.7圆柱

O

重

NG1000

，半径

mr4.0

，放在斜面上用撑架支承如图；不计架重，求铰

链

CA、

处反力。

题图2.7

2.8电缆盘受重力W=20kN，直径D=1.2m，要越过h=0.2m的台阶，如图所示。试求作用的

水平力F应多大？若作用力F方向可变，则求使缆盘能越过台阶的最小的力F的大小和方向。

题图2.8

2.9图示结构受力

F

作用，杆重不计，求

A

支座约束力。

工程力学

16

题图2.9

2.10图示三铰刚架受力F



作用，求

A

支座反力及

B

支座反力。

题图2.10

2.11图示一拔桩装置装置，AB、ED、DB、CB均为绳，

rad1.0，DB水平，AB铅垂。

力

NF800

，求绳AB作用于桩上的力。

题图2.11

2.12物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞D上，如图所示。

转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小、AB与CB杆自重及摩擦略去不计，A，B，C三处均

为铰链连接。当物体处于平衡状态时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。

A

C

B

aa

a

F



D

2

M

B

C

E





F



工程力学

17

题图2.12

30

30

P



A

B

C

D

工程力学

18