解三角形公式
科学家特斯拉-奥亭
2023年2月18日发(作者：油墨设备)1/5
高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c;a-b 3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC sincos,cossin,tancot 222222 ABCABCABC 4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外 接圆的半径，则有2 sinsinsin abc R C ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC； ②化边为角：sin 2 a R ，sin 2 b R ，sin 2 c C R ； ③::sin:sin:sinabcC；④ sinsinsinsinsinsin abcabc CC ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边与一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注 意解的情况（一解、两解、三解）) 7、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc等，变形： 222 cos 2 bca bc 等， 8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式： 111 sinsinsin 222C SbcabCac ．=2R2sinAsinBsinC= R abc 4 = 2 )(cbar =))()((cpbpapp 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一 成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角、、C的对边，则： ①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３） 商的关系： sin cos cot, cos sin tan 2/5 特殊角的三角函数值 三角 函数值 0304560 90 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 １ 3 不存在 三角函数诱导公式：“（ 2 k ）”记忆口诀:“奇变偶不变，符号看象限”，是指 （ 2 k ），k∈Z的三角函数值，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正 割、余割也同样）; 当k为偶数时，函数名不变。然后符号与‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。 三角函数的图像与性质： 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 3 - o y x 3/5 有关函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB，周期是 2 T，频率是 2 f，相位是x， 初相是； 其图象的对称轴是直线)( 2 Zkkx ，凡是该图象与直线By的交点都 是该图象的对称中心。 函数y＝sin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象的关系: 由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个 途径，才能灵活进行图象变换。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横 坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先相位变换，再周期变换） 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 定义域RR 值域]1,1[]1,1[R 周期性 22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 ]2 2 ,2 2 [ k k 上为增 函数； ]2 2 3 ,2 2 [ k k 上 为减函数（ Zk ） ]2 ,12[ k k ；上为增函 数 ]12 ,2[ k k 上为减函数 （ Zk ） kk 2 , 2 上为增函数（ Zk ） xysin ZkkxRxx, 2 1 |且 xytanxycos 4/5 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右 (＜0＝平移 || 个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先周期变换，再相位变换） 对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2 xk，对称中心为(,0)kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为 2 (,0)k； y=tanx图像的对称中心是（ 2 k ，0），无对称轴。 ★诱导公式★(以下k∈Z) 公式一：设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα 公式六：π/2±α与3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－ta nα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cot α cot（3π/2－α）＝tanα 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 商的关系：sinα/cosα＝tanα 平方关系：sin2α＋cos2α＝1 两角和差公式两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ 5/5 cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)] 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin2(α/2)＝(1－cosα)／2cos2(α/2)＝(1＋cosα)／2 tan2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα) 另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 万能公式 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα tan3α＝（3tanα－tan3α）／（1－3tan2α） 和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2] sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2] cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2] cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2] 积化和差公式三角函数的积化和差公式 sinα·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2 cosα·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2 cosα·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2 sinα·sinβ＝—[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2