第一类换元积分法

第一类换元积分法

浠水二中-麦肯锡思维

2023年2月18日发(作者：角蜡蚧)

.

；.

不定积分第一类换元法（凑微分法）

一、方法简介

设

)(xf

具有原函数

)(uF

，即

)()('ufuF

，

CuFduuf)()(

，如果U是

中间变量，

)(xu

，且设

)(x可微，那么根据复合函数微分法，有

dxxxfxdF)(')]([)]([

从而根据不定积分的定义得

)(

])([)]([)(')]([

xu

duufCxFdxxxf







.

则有定理：

设

)(uf

具有原函数，

)(xu

可导，则有换元公式

)(

])([)(')]([

xu

duufdxxxf







由此定理可见，虽然dxxxf)(')]([是一个整体的记号，但如用导数记号

dx

dy

中的

dx

及

dy

可看作微分，被积表达式中的

dx

也可当做变量x的微分来对待，从

而微分等式

dudxx)('可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：

○1)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf)0(a；

○2xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin

，xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos

，

xdxf

x

dx

xftan)(tan

cos

)(tan

2

，

xdxf

x

dx

xfcot)(cot

sin

)(cot

2

；

○3xdxfdx

x

xfln)(ln

1

)(ln

，xxxxdeefdxeef)()(

；

○4nnnnxdxf

n

dxxxf)(

1

)(1)0(n，)

1

()

1

()

1

(

2x

d

x

f

x

dx

x

f

，

)()(2)(xdxf

x

dx

xf；

○5



xdxf

x

dx

xfarcsin)(arcsin

1

)(arcsin

2

；

.

；.





xdxf

x

dx

xfarctan)(arctan

1

)(arctan

2

；

○6复杂因式

【不定积分的第一类换元法】

已知()()fuduFuC

求()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx【凑微分】

()()fuduFuC【做变换，令()ux，再积分】

(())FxC【变量还原，()ux】

【求不定积分()gxdx的第一换元法的具体步骤如下：】

（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dxgxfxxdx

（2）凑微分：()(())((')))(()xgxdxdxdxfxfx

（3）作变量代换()ux得：()(())'()()()()gxdxfxxxxdxfd()ufud

（4）利用基本积分公式()()fuduFuC求出原函数：

()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx()()duuCfuF

（5）将()ux代入上面的结果，回到原来的积分变量

x

得：

()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx()()fuduFuC(())FxC

【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()ux，省略(3)(4)步骤，这与复合函数

的求导法则类似。

.

；.

二、典型例题

○1)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf)0(a

；

例1.dxx2010)12(

例2.

2

3

1x

x[1]

例3.

322)1(1xx

xdx[1]例4.

dx

x

xx







4

3

1

[1]

1．解：令

12xu

,

dxdu2

,

C

x

C

u

dxx





2011

)12(

2

1

20112

1

)12(

20112011

2010

2．解：令2xt，







2

3

1x

x









t

dtt

t

tdt

1

)11(

2

1

1

2

1





)1(

1

1

2

1

)1(1

2

1

td

t

tdt

Ctt12

2

1

)1(

3

2

2

1

2

3

Cxx2

2

3

21)1(

3

1

3．解：







322)1(1xx

xdx







3

2

22

2

)1()1(

)1(

2

1

xx

xd

令tx21

原式















t

td

tt

dt

tt

dt

1

)1(

1

2

1

2

1

2

3

CxCt211212

4．解：





dx

x

xx

4

3

1









dx

x

x

dx

x

x

44

3

11













4

2

4

4

1

2

1

1

)1(

4

1

x

dx

x

xd

.

；.

Cxx24arcsin

2

1

12

4

1

Cxx)1(arcsin

2

1

42

○2xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin

，xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos

，

xdxf

x

dx

xftan)(tan

cos

)(tan

2

，

xdxf

x

dx

xfcot)(cot

sin

)(cot

2

；

例1.

dxxtan[2]例2.dx

x

x

2sin

[2]

例3.

dx

x

xx







2sin1

cossin1[1]例4.

xx

dx

4cossin

[1]

例5.

xx

dx

3cossin

[1]例6.



dx

xx

xx

44cossin

cossin[1]

例7.设

ba,

为常数，且0a，计算

dx

xbxa

x

I





2222cossin

tan[1]

1.解：设xucos，

xdxdusin

，

xdxdusin

dxxtan

dx

x

x

cos

sin

CxCu

u

du

)ln(cos)ln(

2．解：

dx

x

x

2sin

xdxxxxxdcotcot)(cot

Cxxxsinlncot

3．解：







dx

x

xx

2sin1

cossin1













x

xd

x

xd

x

dx

222sin21

)(sin

cos2

)(cos

cos2











)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

)1sec2(cos22

x

x

x

xx

dx













x

xd

x

x

x

2tan21

tan

)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

Cxx

x

x







)tan2arctan(

2

1

)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

4.解：

xx

dx

4cossin

dx

xx

xx

dx

x

x

dx

xx

xx









2

22

44

22

cossin

cossin

cos

sin

cossin

cossin



x

dx

x

xd

x

xd

sin

cos

cos

cos

cos

24

Cxx

x

x

cotcscln

cos

1

cos3

1

3

.

；.

5.解：



xx

dx

3cossin





xd

xx

xx

xx

dx

tan

costan

cossin

costan2

22

4





xd

x

x

tan

tan

tan12

Cxxtanlntan

2

1

2

6.解：令

xu2

，再令uvcos，有

du

uu

u

dx

xx

x

dx

xx

xx











2222

44

sin

2

1

cos

sin

4

1

2sin

2

1

2cos

2sin

2

1

cossin

cossin











2

221

2

1

cos

2

1

2

1

cos

cos

4

1

v

dv

uu

ud

Cvarctan

2

1

Cx)2arctan(cos

2

1

7．解：









2222222tan

tantan

)tan(cos

tan

bxa

xxd

dx

bxax

x

I

Cbxa

abxa

bxad

a







)tanln(

2

1

tan

)tan(

2

1

222

2222

222

2

○3xdxfdx

x

xfln)(ln

1

)(ln

，xxxxdeefdxeef)()(

；

例1.

)ln21(xx

dx[3]例2.

dxex5[2]

例3.



dx

e

e

x

x

43

[2]例4.

xx

dx

2ln1

[2]

例5.





dx

e

e

x

x

2

2)1(

1[1]例

xx

xx





49

32[1]

例7.



dx

e

xe

x

x

2

[1]例8.dx

xx

x

sincos

tanln[2]

1.解：





)ln21(xx

dx



x

xd

ln21

ln

Cx

x

xd







ln21ln

2

1

ln21

)ln21(

2

1

2.解：令xu5，dxdu5

.

；.

dxex5CeCeduexuu5

5

1

5

1

5

1

3.解：令xeu43，dxedux4，





dx

e

e

x

x

43

Cudu

u

ln

4

11

4

1

Cex)43ln(

4

1

4.解：令xuln，

dx

x

du

1









xx

dx

2ln1





Cudu

u

arcsin

1

1

2

Cx)arcsin(ln

5.解：







dx

e

e

x

x

2

2)1(

1







dx

e

ee

x

xx

2

2

2

2

2

)1(

2)1(

dx

e

e

x

x

x







2

2

2

)1(

2









2

2

2

)1(

)1(

4

x

x

e

ed

x

C

e

x

x







21

4

6.解：





dx

xx

xx

49

32







1])

2

1

[(

])

2

3

[(

2

3

ln

1

1)

2

3

(

)

2

3

(

22x

x

x

xd

dx

C

x

x











1)

2

3

(

1)

2

3

(

ln

)2ln3(ln2

1

C

xx

xx











23

23

ln

)2ln3(ln2

1

7.解：



dx

e

xe

x

x

2







)2(2

2

)2(

x

x

x

exd

e

exd

dxeexxx2222

令22tex

,22tex

,)2ln(2tx,

dt

t

t

dx

22

2





原式



dt

t

t

texx

22

2

222

dt

t

t

exx







2

2

2

22

422

.

；.





dt

t

exx)

2

2

1(422

2

C

t

texx

2

arctan

2

1

8422

C

e

eex

x

xx





2

2

arctan242422

8.解：

dx

xx

x

sincos

tanln

xd

x

x

tan

tan

tanln

)tan(lntanlnxxd

C

x



2

)tan(ln2

○4nnnnxdxf

n

dxxxf)(

1

)(1)0(n

，)

1

()

1

()

1

(

2x

d

x

f

x

dx

x

f

，

)()(2)(xdxf

x

dx

xf；

例1.

dx

x

ex3

[2]例2.

dx

x

x



2

3

1

[4]

例3.





dx

x

xx

1

1[4]例4.

)lnln(bxaxx

dx

[1]

例53

2

2

2

)1(1

dx

x

x

x



[1]例6.

)(xax

dx

)0(a[1]

例7



dx

x

x

1

arcsin[1]

1.解：

x

dx

xd

2

1



dx

x

ex3

)3(

3

2

233xdexdexxCex3

3

2

2.解：



dx

x

x

2

3

1

)1()

1

1

1(

2

1

1

2

1

2

2

22

2

2

xd

x

xdx

x

x











Cxx2

2

3

21)1(

3

1

.

；.

3.解：







dx

x

xx

1

1















2

2

22111

)1(

x

dxx

x

xdx

dx

x

xx

对于右端第一个积分，凑微分得





)1()1(

1

2

2

1

2

2

xdxdx

x

x

Cx21

第二个积分中，用代换

txsin





dx

x

x

2

2

1

dt

t

tdt

t

t







2

cos1

cos

cos

sin22

Ct

t

2sin

4

1

2

Cxxx21

2

1

arcsin

2

1

原式

Cxxx21)2(

2

1

arcsin

2

1

4.解：







)lnln(bxaxx

dx







dx

bax

bxax

)(

lnln









)(lnln

1

)(lnln

1

bxdbx

ba

axdax

ba

Cbxax

ba





])(ln)[(ln

)(3

2

2

3

2

3

5.解：



3

2

2

2

)1(1

dx

x

x

x

)

1

1()

1

1()

1

()

1

1(3

2

3

2

x

d

xx

d

x

C3

5

)

5

1

1(

5

3

6.解：

)(xax

dx

C

a

x

xa

xd





arcsin2

)(

2

2

7.解：





dx

x

x

1

arcsin

)1(arcsin2xdx







xd

x

x

xx

1

1

2arcsin12

Cxxx2arcsin12

○5



xdxf

x

dx

xfarcsin)(arcsin

1

)(arcsin

2

.

；.





xdxf

x

dx

xfarctan)(arctan

1

)(arctan

2

；

例1.

dx

x

x

2

arccos2

1

10[3]例2.



dx

xx

x

)1(

arctan[4]

例3.





dx

xx

x

)1(

arctan1[1]例4.

324)(arcsin1xx

xdx[1]

例5.

dx

x

x

x

x









2

2

21

1arcsin[1]

1.解：



dx

x

x

2

arccos2

1

10

Cxd

x

x

10ln2

10

arccos10

arccos2

arccos2

2.解：



dx

xx

x

)1(

arctan





)(arctanarctan2

1

arctan2

xdxxd

x

x

Cx2)(arctan

3.解：





dx

xx

x

)1(

arctan1







dx

xx

x

])(1[

arctan1

2

)1(arctanarctan12xdx

Cx2

3

)arctan1(

3

4

4．解：







324)(arcsin1xx

xdx



32

2

432

2

)(arcsin

arcsin

2

1

1)(arcsin

2

1

x

xd

xx

dx

Cx22)(arcsin

4

1

5．解：



Cxxxddx

x

x

2

2

)(arcsin

2

1

)(arcsinarcsin

1

arcsin

令txsin，









t

dt

tt

td

xx

dx

2

2222sin

sin1sin

sin

1

C

x

x

Ct





21

cot

.

；.















x

dx

x

x

x

x

x

xddx

xx

x

)

1

(arcsin)

1

(arcsin

1

arcsin22

22

Cxx

x

x





lnarcsin

12















dx

xx

x

x

x

dx

x

x

x

x

)

1

arcsin

1

arcsin

(

1

1arcsin

2222

2

2

Cxx

x

x

xarc



lnarcsin

1

sin

2

12

2

○6复杂因式

例1.





dx

x

x

1

1

4

2

[4]例2.

dx

x

x

21

1

arctan

[1]

例3.









dx

x

x

x

1

1

ln

1

1

2

[1]例4.

dx

x

xx







2

2

1

)1ln([1]

例5.



dx

x

x

sin

cos1[1]例6.





dx

x

x

ex)

cos1

sin1

([1]

1.解：

















2)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

1

2

2

2

2

4

2

x

x

x

xd

dx

x

x

x

dx

x

x

C

x

x

C

x

x











2

1

arctan

2

1

2

1

arctan

2

12

2.解：

2

21

1

)'

1

(

)

1

(1

1

)'

1

(arctan

x

x

x

x













C

xx

d

x

dx

x

x2

2

)

1

(arctan

2

1

)

1

(arctan)

1

(arctan

1

1

arctan

3.解：

21

2

)'

1

1

(ln

x

x

x











C

x

x

x

x

d

x

x

dx

x

x

x



























2

2

)

1

1

(ln

4

1

)

1

1

(ln

1

1

ln

2

1

1

1

ln

1

1

.

；.

4.解：



Cxx

x

dx

)1ln(

1

2

2







))1(ln()1ln(

1

)1ln(

22

2

2

xxdxxdx

x

xx

Cxx2

3

2)]1[ln(

3

2

5.解：



2

sin

2

2

2

cos

2

sin2

2

cos2

sin

cos1

x

dx

dx

xx

x

dx

x

x

C

x

x

x

d

4

tanln2

4

tan

)

4

(tan

2

6.解：dx

x

xxe

dx

x

x

e

x

x











2cos1

)cos1)(sin1(

)

cos1

sin1

(

xdxedx

x

e

dx

x

xe

dx

x

e

x

xxx

cot

sin

sin

cos

sin22

xdxedx

x

e

x

dexdex

x

xxcot

sin

)

sin

1

()cot(

C

x

e

xe

x

x

sin

cot

.

；.

1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：

(1)dxd(ax+b)(a≠0)；(2)dxd(7x3)；

(3)xdxd(52x)；(4)xdxd(12x)；

(5)3xdxd(34x2);(6)2exdxd(2ex)；

(7)2e

x



dxd(1+2e

x



);(8)

dx

x

d(5ln｜x｜);

(9)

2

d

1

x

x

d(1arcsinx);(10)

2

d

1

xx

x

d21x;

(11)

2

d

19

x

x

d(arctan3x);(12)

2

d

12

x

x

d(arctan2x);

(13)(32x2)dxd(2x3x)；(14)cos（

2

3

x

1）dxdsin（

2

3

x

1）．

1求2cos2xdx.

2求

1

d

25

x

x

.

3求tanxdx．

4求x21xdx．

5求

22

1

ax

dx．

.

；.

6求

22

1

ax

dx(a＞0)．

7求3sinxdx．

8求2sinxdx．

例9求

22

1

ax

dx(a为常数，a≠0)．

例10求secxdx．

例11求cos3xcos2xdx．

例12求

3xe

x

dx．

.

；.

例13求53tansecxxdx

２.求下列不定积分：

(1)5edtt;(2)3(32)xdx;

(3)

d

12

x

x

;(4)

3

d

23

x

x

;

(5)

sin

d

t

t

t

;(6)

d

lnlnln

x

xxx

;

(7)102tansecdxxx;(8)2edxxx;

(9)

d

sincos

x

xx

;(10)2

2

d

tan1

1

xx

x

x





;

(11)

d

eexx

x



;(12)

2

d

23

x

x

x

;

(13)

3

4

3

d

1

x

x

x

;(14)

3

sin

d

cos

x

x

x

;

.

；.

1、解被积函数中，cos2x是cosu与u2x的复合函数，常数因子2恰好是中间变量

u2x的导数，因此作变量代换u2x,便有

2cos2xdxcos2x·２dxcos2x·（２x)′dx＝cosudu＝sinu+C．

再以u2x代入，即得2cos2xdxsin2x+C.

2、解

1

25x

可看成

1

u

与u2x+5的复合函数，被积函数中虽没有u′2这个因子，但我

们可以凑出这个因子：

1

25x



1

2

·

1

25x

·２

1

2

·

1

25x

·(2x+5)′，

从而令u2x+5,便有

1

25x

dx

1

2

·

1

25x

(2x+5)dx＝

1

2

1

25x

d(2x+5)＝

1

2

1

u

du



1

2

lnu+C＝

1

2

ln25x+C．

一般地，对于积分f(ax+b)dx，总可以作变量代换uax+b，把它化为

()dfaxbx＝

1

a

f(ax+b)d(ax+b)＝

1

2()

()

ux

fudu







．

3、解tanxdx

sin

cos

x

x

dx＝

1

cosx

(cosx)′dx＝

1

cosx

d(cosx)cosux令



1

u

dulnu+Clncosx+C．

类似地可得cotxdxlnsinx+C．

4、解x21xdx

1

2

221(1)'xxdx＝

1

2

1

2

2(1)xd(12x）

21ux令

1

2

1

2udu

3

2

1

3

u+C

1

3

3

2

2(1)x+C．

在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u，只需做到“心中有数”即可．

5、解

22

1

ax

dx

2

1

a

·

2

1

1()

x

a



dx

1

a2

1

1()

x

a



d（

x

a

）

1

a

arctan

x

a

+C．

6、解

22

1

ax

dx

2

d

1()

x

x

a

a





2

d()

1()

x

a

x

a



arcsin

x

a

+C．

7、解3sinxdx＝2(1cos)xsinxdx2(1cos)xd(cosx)

d(cosx)+2cosxd(cosx)

.

；.

cosx+

1

3

3cosx+C．

8、解2sinxdx

1cos2

2

x

dx

1

d

2

x

1

cos2

4

xd(2x)

1

2

x

1

4

sin2x+C．

类似地可得

2cosxdx＝

1

2

x+

1

4

sin2x+C．

9、解

22

1

ax

dx

1

()()axax

dx



111

()d

2

x

aaxax







1()()

2

daxdax

aaxax

















1

lnln

2

axax

a





+C

1

ln

2

ax

aax





+C．

10、解secxdx

1

cosx

dx

2

cos

cos

x

x

dx

2

1

1sinx

d(sinx)



11sin

ln

21sin

x

x





＋C（由例8)2

11sin

ln()

2cos

x

x



＋C

lnsectanxx＋C．

类似地可得

cscxdxlncsccotxx＋C．

11、解利用三角函数的积化和差公式有

cos3xcos2xdx

1

2

(cosx+cos5x)dx

1

2

cosxdx+

1

10

cos5xd(5x)



1

2

sinx+

1

10

sin5x+C．

12、解

3xe

x

dx

2

3

3(3)xedx＝

2

3

3xe+C．

13、解53tansecxxdx42tansecxxsecxtanxdx222(sec1)secd(sec)xxx

642(sec2secsec)dsecxxxx

753

121

secsecsec

753

xxx+C．