对数函数的性质

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《对数函数及其性质》

人教A版第二章第2.2.2节

学校：广西师范大学

院系：数学科学学院

作者：

学号：

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对数函数及其性质

一、教学设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，

针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生

活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学

教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，

体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动

权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，

教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘

数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创

新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计：

第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探

索的学习方式。

第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视

体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、

研究数学的方法。

第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

二、学情分析

（一）学习的知识起点

学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步

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研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善

初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。

（二）学习的经验起点

大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通

过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还

不是很严密，所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学

生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通

过数形结合，让学生感受对数函数中底数a取不同的值时反映出不同的函数图象，

让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而

达到学生对对数函数知识的深刻掌握。

三、教材分析

（一）教材的地位与作用

对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质,掌握了对数与对数

的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一,对数函数是指

数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式

等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它

的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生

的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展

数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。

（二）重难点及突破方法

教学重点：理解并掌握对数函数的定义、图像与性质。

突破方法：结合前面指数函数的学习方法，数形结合，通过让学生动手画

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图、观察、猜想、归纳与概括、举证与评价等方法，建立对数函数模形，并将对

数函数与指数函数联系起来从而得出其定义。运用数形结合与特殊到一般、分类

讨论的数学研究方法以及变式练习，让学生掌握其图像和性质拓展与应用，达到

熟练对数函数图像与性质的运用。

教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的探究。

突破方法：对于不同底数的对数函数，教师引导学生用“对比联系”、“数形

结合”及“分类讨论”等思想方法来探究，让学生动手画图、观察图象，启发学

生思考、实验、分析、归纳，从而深刻掌握底数a对图象的影响及对数函数的性

质。

四、目标设计

（一）知识与技能：

1、理解对数函数的定义；掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。

2、通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的

函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征；

（二）过程与方法：

1、学导法：通过实例创设问题情境，引导学生对对数函数解析式的理解；

引导学生类比指数函数的研究思路，从图像特征分析对数函数的性质。

2、师生共同讨论法：指在调动学生参与的积极性，突出学生主体地位，通

过教师必要指导，调动学生思维的积极性；

（三）情感态度与价值观：

1、渗透由特殊到一般的思想，培养学生探索研究数学问题的素养，渗透数

形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力、数形结合

的能力。

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2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质，让学生欣赏它们各具

特点的位置关系，感悟数学世界的奇异美，培养学生的美学意识。

3、通过本节内容学习，培养学生不断探索发现新知的精神，渗透事物的相

互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教法学法分析

（一）教法分析

新课标的建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的

主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，

喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.

在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用

“探究发现式”教学方法。让学生动手操作、发现规律、自行总结等几个环节，

学生经历知识的形成过程，从而在心中形成概念。然而老师的辅佐提示、系统归

纳似的知识在学生的脑中清晰起来，并为学生所掌握。整个课堂教法充分地体现

了“学生为主体，教师为主导”的“两为主”的教学思想。

（二）学法分析

新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习

能力。引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数，因此本节课学生

将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入→获得新知→作图察质

→问题探究→归纳性质→学以致用→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极

参与到教学活动中来。

六、教学过程设计

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教学流程设计：→复习引入，形成概念→尝试画图、形成感知→理性认识、

发现性质→趁热打铁，拓展深化→自我提升的过程，

（一）复习引入，形成概念

引例1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？

（2）取多少次，还有0.125尺?

分析:

(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得

32

1

2

15















(2)可设取x次,则有

125.0

2

1













x

抽象出:

125.0

2

1













x?x

引例2：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，

得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表

示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大

约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞

个数y的函数。根据2.2.1节指数函数与对数函数的关系

bNNa

a

blog，这个函数可以写成对数的形式就是

yx

2

log

。如果用x

表示自变量，y表示函数，这个函数就是

xy

2

log

。

引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从

而得出对数函数的定义：函数0(logaxy

a

，且)1a叫做对数函数，其中x

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是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定

a

＞0且

a

≠1？

（2）为什么对数函数

log

a

yx

（

a

＞0且

a

≠1）的定义域是（0，+∞）？

组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对

数函数的理解。

【教师总结】①根据对数与指数式的关系，知

log

a

yx

可化为

yax

，由指数的

概念，要使

yax

有意义，必须规定

a

＞0且

a

≠1．

②因为

log

a

yx

可化为

yxa

，不管

y

取什么值，由指数函数的性质，

ya

＞

0，所以

(0,)x

．

例题1：求下列函数的定义域

（1）

2log

a

yx

（2）

log(4)

a

yx

（

a

＞0且

a

≠1）

分析：由对数函数的定义知：

2x

＞0；

4x

＞0，解出不等式就可求出定义

域。

解：（1）因为

2x

＞0，即

x

≠0，所以函数

2logx

ay

的定义域为

|0xx

.

（2）因为

4x

＞0，即

x

＜4，所以函数

(4)logx

a

y

的定义域为

|xx

＜

4

.

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生：对数函数的图象和性质。

接着引出下一环节。

【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节，通过回顾旧知识，

使知识得到联系，只有从学生已所学的指数函数出发，才能让学生在脑中形

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成对数函数的概念。学生只有弄清了知识的来源，才会“顺其自然”地接受

知识，这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的

起点。

（二）尝试画图、形成感知

教师：学习指数函数是我们从哪着手去讨论指数函数的性质了呢？

学生：先画图象，再根据图象得出性质。

教师：画指数函数的图象时我们是不是运用到了分类讨论的思想方法？那么，有

哪几种分类了呢？

学生：按和分类讨论。

教师：那么，在研究指数函数的图像与性质时我们从哪入手了呢？还用了其他的

什么研究方法了呢？

学生：从研究其图像开始，运用了数形结合的方法。

师：很好!在研究指数函数的图像与性质时我们分类画出了底数为和

的两种函数的图像，接着找出图像特征，即运用数形结合的方法

对这两种指数函数的性质进行分类讨论。下面也让我们用类比学习指数函

数的方法来探究对数函数的图像和性质。

教师在明确了探究方向后，下面，按以下步骤组织学生共同探究对数函数的

图象：

组织学生用描点法分别画出以下几个对数函数的图像

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（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

xy

2

logxy

2

1

log

叫三个学生到黑板上作图，学生作图，教师检查，指出学生作图中的不足。

学生画图完毕，让学生将自己的作图成果与上黑板作图的同学的成果作比较，

组织学生分组讨论，并分组作答。

教师用多媒体展出作图过程及结果。

先完成如下表，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2

logxy的图象,

再

利用电脑软件画出xy

2

1

log

x

1

2

124681216

y

－10122.5833.584

图一

师：同学们现在我们来观察图一，看看这些函数图像有什么特征呢？

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学生分组讨论，并派代表进行发言，教师整合学生的答案，并适时补充。

教师引导学生先观察以2和1/2为底的对数函数图像的异同得出如下初步结

讨论：相同点：①两个对数函数的图像都过点（1，0）；②函数图像都在y轴的

右侧；不同点在（0，+∞）上是递增函数，而在（0，+∞）

上是减函数。

在此过程中，教师通过让学生抢答的形式，增加课堂气氛，提高学生学习

的积极性。

拓展探究：1、对数函数4

logyx

与

1

4

logyx

、xy

3

log与xy

3

1

log的

图象有怎样的对称关系？

2、对数函数y=log

a

x（a>1），当a值增大，图象的上升“程度”

怎样？

教师用运用多媒体演示作图的全过程并展示结果如图二；

图二

提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有

何特征，性质又如何？

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学生讨论、交流。

有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y=log

a

x

（a>1）、y=log

a

x(0

【设计意图】所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知

结构中，才可能成为下一个有效的知识。学生动手画图，形成感知。学生合作探究，

交流成果，再脑中初步建立对数模型。学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知

识的准备，如此一来便水到渠成。师生互动的形式更增加了课堂气氛，使得知识在快乐中得

到吸收。

（三）理性认识、发现性质

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函

数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数

的性质时主要研究哪些方面？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究指数函数性质的途径，再次联手合作，根据

图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点

等性质

1

x

y

u

O

1

x

y

u

O

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教师启发学生按a>1和0

函数

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

图像

定义域

值域

单调性

过定点

取值范围

对称性

学生自主探究、合作交流的的基础上填写以上表格。发扬团队协作精神，既

要完成好各自的任务，又要在相互配合下，展示探究成果，教师做好组织、管理、

启发、评价工作。

教师在学生总结的基础上，在投影屏上给出作图所需数据，给出性质简表，

规范性质描述和强化所得的结论。

函

数

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

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对称性关于底为1/a的图像对称关于底为1/a的图像对称

（四）趁热打铁，拓展深化

知识点

编号

学习

目标

检测内容

1理解比较下列各组数中两个值的大小：

图像

定义域

R

+

R

+

值

域

RR

单调性在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数

过定点（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0

取值范围

0

x>1时，y>0

0

x>1时，y<0





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(1)log23.4,log28.5

（2）log0.31.8,log0.32.7

（3）loga5.1,loga5.9(a＞0,且a≠1

分析：第（1）、（2）题由数形结合的方法或利用函数的单

调性来完成：

第（3）题用分类讨论的思想（分a>0和0

2应用溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=—lg[]，

其中[]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）

根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度

与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯静水

中氢离子的浓度为[]=-摩尔/升，计算纯静水的pH

【设计意图】巩固所学新知，体现探究成果的应用，渗透数形结合思想、分

类讨论思想；尝试完成实际应用性问题，体现“数学是有用的、数学来源于生

活”这一理念。预设任务的多元性，体现了分层教学的思想。

（五）对比总结、深化认识

步骤一、1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？

3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。

步骤二、教师再对比指数函数得出表格，并用多媒体课件展出。

（1）对数函数的定义；

（2）对数函数的图象；

（3）对数函数的性质。

名称指数函数对数函数

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解析式

xya

(0,1)aa且

log

a

yx

(0,1)aa且

图象

(a>1)

(01)axya

定义域R0,

值域0,

R

特殊值当x=0时，总有y=1当x=1时，总有y=0

单调性

当a>1时，

xya

是增函数

当0

xya

是减函数

当a>1时，

log

a

yx是增函数

当0

log

a

yx是减函数

【设计意图】首先学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及

其性质。再把指数函数与对数函数类比、对比总结，使知识系统化，更易于学生

区分和掌握。适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更

好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。

（六）布置作业

1）复习：复习本节课的所有知识．

y

o

x

x

O

1

y

xya

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（2）必做题：习题2.2（A组）第7、8题；（B组）第2题．

（3）思考题：对数函数2

logyx

与指数函数

2xy

之间存在着什么关系？

（提示：从图象和性质来分析）

(七)板书设计

七、评价设计

（一）坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”教学地位。数学课堂教学应该

是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双

主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质。本

节课采用作图，合作探究的方法让学生充分感知知识的形成过程并自行归纳，在

解决问题的过程中培养学生获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流

与合作的能力。教师在课堂中做好了引导、组织、管理、启发、评价工作，并与

学生互动，使得学生在快乐中感受知识的魅力。

（二）注重学习方法的引领。授之以鱼，不如授之以渔。数学课堂不仅仅是知识

的传授，更应该是渗透学习方法的引领、良好学习习惯的养育和数学思想方法的

体悟。这些都需要教师画龙点睛和引领。课堂中教师引导学生运用类比、数形结

合、分类讨论、特殊到一般以及转化的思想方法，帮助学生更好的了解对数函数

板书

设计

§2.2.1对数的概念

引例1

引例2

一、对数

的定义

二、对数的基本性

质

三、课堂练习

四、小结

五、作业布置

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的性质。

（三）教学过程设计中开头采用复习引入，结尾采用对比指数函数总结的方式，

把知识联系起来，是知识系统化，更达到触类旁通的目的。