直线与圆的方程

直线与圆的方程

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2023年2月18日发(作者：空调柜机尺寸)

.

WORD..

直线和圆--知识总结

一、直线的方程

1、倾斜角：

L



，围0≤＜，

若xl//轴或与

x

轴重合时，=00。

2、斜率：k=tan



与的关系：=0=0

已知L上两点P1（x1,y1）0＜＜0

2

k



P2（x2,y2）=





2

不存在

k=

12

12

xx

yy





02

2





当

1

x=

2

x时，=900，不存在。当0时，=arctank，＜0时，=+arctank

3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

已知方程说明几种特殊位置的直线

斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平

于y轴的直线

①x轴：y=0

点斜式P1=(x1,y1

)

k

y-y1=k(x-x1)不含y轴和平行

于y轴的直线

②y轴：x=0

两点式P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy











不含坐标辆和

平行于坐标轴

的直线

③平行于x轴：y=b

截距式a、b

1

b

y

a

x不含坐标轴、平

行于坐标轴和

过原点的直线

④平行于y轴：x=a

⑤过原点：y=kx

一般式Ax+by+c=0A、B不同时为0

两个重要结论：①平面任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。

②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0）

特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）

（2）平行直线系：①y=kx+b，k为定值，b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系

③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系

（3）过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）

6、三点共线的判定：①ACBCAB，②KAB=KBC，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

.

WORD..

二、两直线的位置关系

1、

L1：y=k1x+b1

L2：y=k2x+b2

L1：A1X+B1Y+C1=0

L2：A2X+B2Y+C2=0

L1与L2组成的方程组

平行K1=k2且b1≠b2

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A



无解

重合K1=k2且b1=b2

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A



有无数多解

相交K1≠k2

2

1

2

1

B

B

A

A



有唯一解

垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0

（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）

2、L1到L2的角为0，则

12

12

1

tan

kk

kk

•



（1

21

kk）

3、夹角：

12

12

1

tan

kk

kk







4、点到直线距离：

22

00

BA

cByAx

d





（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0

22

21

BA

cc

d







②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±022BAd

③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是

0

2

21





CC

BYAX

5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称)2,2(

1010

YYXXP



（2）点关于线的对称：设p(a、b)

对称轴

对称点p



对称轴

对称点p



X轴

)(bap



、

Y=-x

)(abp



、

Y轴

)(bap、



X=m(m≠0)

)2(bamp、



y=x

)(abp、



y=n(n≠0)

)2(bnap



、

一般方法：

如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)则Kpp0﹡KL=－1

.

WORD..

P,P0中点满足L方程

解出P0(x0,y0)

（思路2）写出过P⊥L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。

P

yL

P0

x

（3）直线关于点对称

L：AX+BY+C=0关于点P（X0、Y0）的对称直线l



：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0

（4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x、y)=0

关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0关于y=x对称曲线是f(y、x)=0

关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0关于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0

关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0

关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。

三、简单的线性规划

LY

不等式表示的区域

OX

AX+BY+C=0

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。

要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。

四、园的方程

1、园的方程：①标准方程2

2)(rbyax，c（a、b）为园心，r为半径。

②一般方程：

022FEYDXyx，















2

,

2

ED

C，

2

422FED

r





当0422FED时，表示一个点。

当0422FED时，不表示任何图形。

③参数方程：cosrax

sinrby为参数

以A（X1，Y1），B（X2，Y2）为直径的两端点的园的方程是

.

WORD..

（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=0

2、点与园的位置关系：考察点到园心距离d，然后与r比较大小。

3、直线和园的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0相交、△＝0相切、△＜0

相离

②利用园心c(a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：

d＜r相交、d＝r相切d＞r相离

（直线与园相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）

4、园的切线：（1）过园上一点的切线方程

与园222ryx相切于点（x1、y1）的切线方程是2

11

ryyxx

与园222)()(rbyax相切于点（x1、y1）的切成方程

为：2

11

))(())((rbybyaxax

与园022FEYDXyx相切于点（x1、y1）的切线是

0)

2

()

2

(11

11









F

yy

E

xx

Dyyxx

（2）过园外一点切线方程的求法：已知：p0(x0，y0)是园222)()(rbyax外一点

22

1

2

1

)()(rbyax

①设切点是p1(x1、y1)解方程组

22

1010

))(())((rbybyaxax

先求出p1的坐标，再写切线的方程

②设切线是

)(

00

xxkyy即0

00

ykxykx

再由r

k

ykxbka







12

00

，求出k，再写出方程。

（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）

③已知斜率的切线方程：设bkxy（b待定），利用园心到L距离为r，确定b。

5、园与园的位置关系

由园心距进行判断、相交、相离（外离、含）、相切（外切、切）

6、园系

①同心园系：222)()(rbyax，（a、b为常数，r为参数）

或：022FEYDXyx（D、E为常数，F为参数）

②园心在x轴：222)(ryax

.

WORD..

③园心在y轴：222)(rbyx

④过原点的园系方程2222)()(babyax

⑤过两园0:

111

22

1

FYEXDyxC和

0:

222

22

2

FYEXDyxC的交点的园系方程为

0(

222

22

111

22FYEXDyxFYEXDyx入（不含C2），其中入为参数

若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。