青岛二十六中

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青岛市26中数学初中九年级平行四边形选择题易错题压轴难题训练

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题

1．如图，在ABCD中，

2,ABADF

是CD的中点，作BEAD于点E，连接

EFBF、

，下列结论:①CBFABF；②FEFB；③

2

EFB

SS





四边形DEBC

；

④3BFEDEF；其中正确的个数是（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

2．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，45DBC，DEBC于E，

BFCD于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：

①2BDBE；②ABHE∠∠；③ABBH；④BHDBDG其中正确的个数是

（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

3．如图，在正方形

ABCD

中，

E

是

BC

边上的一点，

BE=4

，

EC=8

，将正方形边

AB

延

AE

折

叠刀

AF

，延长

EF

交

DC

于

G

，连接

AG

，现在有如下结论：①∠

EAG=45°

；②

GC=CF

；

③

FC

∥

AG

；④

S

△

GFC

=14.4

；其中结论正确的个数是（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

4．如图，一个四边形花坛

ABCD

，被两条线段

MN

,

EF

分成四个部分，分别种上红、黄、

紫、白四种花卉，种植面积依次是

S

1、

S2、

S3、

S4，若

MN

∥

AB

∥

DC

，

EF

∥

DA

∥

CB

，则有

（）

A

．

S1=S

4B

．

S1+S

4=S

2+S

3C

．

S1+S

3=S

2+S

4D

．

S1·

S4=S

2·

S3

5．如图，点

P

是正方形

ABCD

的对角线

BD

上一点，

PE

⊥

BC

于点

E

，

PF

⊥

CD

于点

F

，连接

EF

给出下列五个结论：①

AP=EF

；②△

APD

一定是等腰三角形；③

AP

⊥

EF

；

④

2

2

PD=EF

．其中正确结论的番号是（）

A

．①③④

B

．①②③

C

．①③

D

．①②④

6．如图，正方形

ABCD

的边长为

2

，

Q

为

CD

边上（异于

C

，

D

）的一个动点，

AQ

交

BD

于

点

M

．过

M

作

MN

⊥

AQ

交

BC

于点

N

，作

NP

⊥

BD

于点

P

，连接

NQ

，下面结论：

①

AM=MN

；②

MP=2；③△

CNQ

的周长为

3

；④

BD+2BP=2BM

，其中一定成立的是（）

A

．①②③④

B

．①②③

C

．①②④

D

．①④

7．如图，正方形

ABCD

中，

AB

＝

6

，点

E

在边

CD

上，且

CD

＝

3DE

．将△

ADE

沿

AE

对折至

△

AFE

，延长

EF

交边

BC

于点

G

，连结

AG

、

CF

．下列结论：①△

ABG

≌△

AFG

；②

BG

＝

GC

；③

AG

∥

CF

；④

S△FGC

＝

18

5

．其中正确结论的个数是

()

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEAF，AC与EF相

交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BEDFEF；③当15DAF时，

AEF为等边三角形；④当60EAF时，AEBAEF．其中正确的结论是

（）

A

．①③

B

．②④

C

．①③④

D

．②③④

9．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使

2CBEB

，以EB为边作正方形EFGB，

延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM

交于点

,NK

．则下列说法：①

ANHGNF△≌△

；②

DAMNFG

；

③2FNNK；④

:2:7

AFN

DMKH

SS

△

四边形

．其中正确的有（）

A

．

4

个

B

．

3

个

C

．

2

个

D

．

1

个

10．如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝

8

，

BC

＝

4

．将矩形沿

AC

折叠，

CD

′与

AB

交于点

F

，则

AF

：

BF

的值为（）

A

．

2B

．

5

3

C

．

5

4

D

．3

11．如图，在一张矩形纸片ABCD中，4AB，8BC，点E，F分别在AD，BC

上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有

以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；②EC平分DCH；③线段BF的取值范围为34BF；④

当点H与点A重合时，25EF．

以上结论中，你认为正确的有（）个．

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

12．如图，在菱形

ABCD

中，

AB

＝

BD

，点

E

、

F

分别是

AB

、

AD

上任意的点（不与端点重

合），且

AE

＝

DF

，连接

BF

与

DE

相交于点

G

，连接

CG

与

BD

相交于点

H.

给出如下几个结

论：①△

AED

≌△

DFB

：②

GC

平分∠

BGD

；③

S

四边形BCDG

＝

3

4

CG2；④∠

BGE

的大小为定

值．其中正确的结论个数为（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

13．如图，正方形

ABCD

和正方形

CEFG

中，点

D

在

CG

上，

BC

＝

1

，

CE

＝

3

，

H

是

AF

的中

点，那么

CH

的长是（）

A

．

2B

．

5

2

C

．

33

2

D

．5

14．如图，在

□ABCD

中，

AD=2AB，F

是

AD

的中点，作

CE

⊥

AB

，垂足

E

在线段

AB

上（

E

不与

A、B

重合），连接

EF、CF

，则下列结论中一定成立的是

()

①∠

DCF=

1

2

∠

BCD；

②

EF=CF；

③

2

BECCEF

SS





；

④∠

DFE=4

∠

AEF

A

．①②③④

B

．①②③

C

．①②

D

．①②④

15．如图，90MON，矩形ABCD在

MON

的内部，顶点A，B分别在射线

OM，ON上，4AB，2BC，则点D到点O的最大距离是（）

A

．222B

．222C

．252D

．22

16．如图，在ABC中，ACB90，2ACBC，

D

是

AB

的中点，点

E

在

AC

上，点

F

在

BC

上，且AECF，给出以下四个结论：（1）DEDF；（2）DEF是

等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积

ABC

1

S

2



△

；（4）2EF的最小值为

2

．其中正确

的有（）．

A

．

4

个

B

．

3

个

C

．

2

个

D

．

1

个

17．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至

△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；

②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S

△FGC

=

72

5

.其中正确结论的个数是（）

A

．2个

B

．3个

C

．4个

D

．5个

18．在ABCF中，2BCAB，CDAB于点D，点E为AF的中点，若

50ADE，则B的度数是（）

A

．50B

．60C

．70D

．80

19．如图，在菱形ABCD中，若E为对角线AC上一点，且CECD，连接DE，若

5,8ABAC

，则

DE

AD



（）

A

．

10

4

B

．

10

5

C

．

3

5

D

．

4

5

20．如图，正方形

ABCD

中，在

AD

的延长线上取点

E

，

F

，使

DE

＝

AD

，

DF

＝

BD

，连接

BF

分别交

CD

，

CE

于

H

，

G

下列结论：

①EC≠2HG

；

②∠GDH

＝

∠GHD

；

③

图中有

8

个等腰三

角形；

④

CDGDHF

SS

△△

＝

．其中正确的结论有（）个

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题

1

．

C

【分析】

由平行四边形的性质结合

AB=2AD

，

CD=2CF

可得

CF=CB

，从而可得

∠CBF=∠CFB

，再根据

CD

∥

AB

，得∠

CFB=

∠

ABF

，继而可得CBFABF，可以判断①正确；延长

EF

交

BC

的延长线与

M

，证明△

DFE

与△

CFM(AAS)

，继而得

EF=FM=

1

2

EM

，证明

∠

CBE=

∠

AEB=90

°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得

S△BEF

=S

△BMF

，

S

△DFE

=S

△CFM

，继而可得

S

△EBF

=S

△BMF

=S

△EDF

+S

△FBC

，继而可得

2

EFB

SS





四边形DEBC

，可判断③正确；过点

F

作

FN

⊥

BE

，垂足为

N

，则∠

FNE=90°

，则可得

AD//FN

，则有

∠DEF=∠EFN

，根据等腰三角形的性质可得

∠BFE=2∠EFN

，继而得

∠BFE=2∠DEF

，判断④错误

.

【详解】

∵四边形

ABCD

是平行四边形，

∴

AD=BC

，

AB=CD

，

AD//BC

，

∵

AB=2AD

，

CD=2CF

，

∴CF=CB

，

∴

∠CBF=∠CFB

，

∵

CD

∥

AB

，

∴∠

CFB=

∠

ABF

，

∴CBFABF，故①正确；

延长

EF

交

BC

的延长线与

M

，

∵

AD//BC

，

∴∠

DEF=

∠

M

，

又∵

∠DFE=

∠

CFM

，

DF=CF

，

∴

△

DFE

与△

CFM(AAS)

，

∴

EF=FM=

1

2

EM

，

∵

BF

⊥

AD

，

∴∠

AEB=90

°，

∵在平行四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

∴∠

CBE=

∠

AEB=90

°，

∴

BF=

1

2

EM

，

∴

BF=EF

，故②正确；

∵

EF=FM

，

∴

S

△BEF

=S

△BMF

，

∵△

DFE

≌△

CFM

，

∴

S

△DFE

=S

△CFM

，

∴

S

△EBF

=S

△BMF

=S

△EDF

+S

△FBC

，

∴

2

EFB

SS





四边形DEBC

，故③正确；

过点

F

作

FN

⊥

BE

，垂足为

N

，则

∠FNE=90°

，

∴

∠AEB=∠FEN

，

∴

AD//EF

，

∴

∠DEF=∠EFN

，

又

∵EF=FB

，

∴

∠BFE=2∠EFN

，

∴

∠BFE=2∠DEF

，故④错误，

所以正确的有

3

个，

故选

C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质

等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题

的关键

.

2

．

B

【分析】

通过判断△

BDE

为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判

断；根据等角的余角相等得到∠

BHE=

∠

C

，再根据平行四边形的性质得到∠

A=

∠

C

，则

∠

A=

∠

BHE

，于是可对②进行判断；证明△

BEH

≌△

DEC

，得到

BH=CD

，接着由平行四边形

的性质得

AB=CD

，则

AB=BH

，可对③进行判断；因为∠

BHD=90°+

∠

EBH

，

∠

BDG=90°+

∠

BDE

，由∠

BDE

＞∠

EBH

，推出∠

BDG

＞∠

BHD

，可判断④．

【详解】

解：∵∠

DBC=45°

，

DE

⊥

BC

，

∴△

BDE

为等腰直角三角形，

222,22BEDEBDBEDEBEBE，所以①错误；

∵

BF

⊥

CD

，

∴∠

C+

∠

CBF=90°

，

而∠

BHE+

∠

CBF=90°

，

∴∠

BHE=

∠

C

，

∵四边形

ABCD

为平行四边形，

∴∠

A=

∠

C

，

∴∠

A=

∠

BHE

，所以②正确；

在△

BEH

和△

DEC

中

BHEC

HEBCED

BEDE

















，

∴△

BEH

≌△

DEC

，

∴

BH=CD

，

∵四边形

ABCD

为平行四边形，

∴

AB=CD

，

∴

AB=BH

，所以③正确；

∵∠

BHD=90°+

∠

EBH

，∠

BDG=90°+

∠

BDE

，

∵∠

BDE=

∠

DBE

＞∠

EBH

，

∴∠

BDG

＞∠

BHD

，

所以④错误；

故选：

B

．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，

三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用

到平行四边形对边相等，对角相等．

3

．

C

【分析】

选项①正确．证明∠

GAF=

∠

GAD

，∠

EAB=

∠

EAF

即可．选项②错误．可以证明

DG=GC=FG

，显然△

GFC

不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明

CF

⊥

DF

，

AG

⊥

DF

即可．选项④正确．证明

FG

：

EG=3

：

5

，求出△

ECG

的面积即可．

【详解】

解：如图，连接

DF

．

∵四边形

ABCD

是正方形，

∴

AB=AD=BC=CD

，∠

ABE=

∠

BAD=

∠

ADG=

∠

ECG=90

°，

由折叠可知：

AB=AF

，∠

ABE=

∠

AFE=

∠

AFG=90

°，

BE=EF=4

，∠

BAE=

∠

EAF

，

∵∠

AFG=

∠

ADG=90

°，

AG=AG

，

AD=AF

，

∴

Rt

△

AGD

≌

Rt

△

AGF

（

HL

），

∴∠

GAF=

∠

GAD

，

∴∠

EAG=

∠

EAF+

∠

GAF=

1

2

(

∠

BAF+

∠

DAF)=45

°，故①正确，

设

GD=GF=x

，

在

Rt

△

ECG

中，∵

EG2=EC2+CG2，

∴

(4+x)2=82+(12-x)2，

∴

x=6

，

∵

CD=BC=BE+EC=12

，

∴

DG=CG=6

，

∴

FG=GC

，

易知△

GFC

不是等边三角形，显然

FG

≠

FC

，故②错误，

∵

GF=GD=GC

，

∴∠

DFC=90

°，

∴

CF

⊥

DF

，

∵

AD=AF

，

GD=GF

，

∴

AG

⊥

DF

，

∴

CF

∥

AG

，故③正确，

∵

S

△ECG

=

1

2

×

6

×

8=24

，

FG

：

FE=6

：

4=3

：

2

，

∴

FG

：

EG=3

：

5

，

∴

S

△GFC

=

3

5

×

24=

72

5

=14.4，故④正确，

故①③④正确，

故选：C

．

【点睛】

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时

设要求的线段长为

x

，然后根据折叠和轴对称的性质用含

x

的代数式表示其他线段的长

度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

4

．

D

【分析】

由于在四边形中，

MN

∥

AB

∥

DC

，

EF

∥

DA

∥

CB

，因此

MN

、

EF

把一个平行四边形分割成四

个小平行四边形．可设

MN

到

DC

的距离为

h

1，

MN

到

AB

的距离为

h

2，根据

AB=CD

，

DE=AF

，

EC=FB

及平行四边形的面积公式即可得出答案．

【详解】

解：∵

MN

∥

AB

∥

DC

，

EF

∥

DA

∥

CB

，

∴四边形

ABCD

，四边形

ADEF

，四边形

BCEF

，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，

∴

AB=CD

，

DE=AF

，

EC=BF

．

设

MN

到

DC

的距离为

h

1，

MN

到

AB

的距离为

h

2，

则

S

1

=DE

•

h

1，

S

2

=AF

•

h

2，

S

3

=EC

•

h

1，

S

4

=FB

•

h

2，

因为

DE

，

h

1，

FB

，

h2的关系不确定，所以

S

1与

S4的关系无法确定，故

A

错误；

S1

+S

4

=DE

•

h

1

+FB

•

h

2

=AF

•

h

1

+FB

•

h

2，

S

2

+S

3

=AF

•

h

2

+EC

•

h

1

=AF

•

h

2

+FB

•

h

1，故

B

错误；

S1

+S

3

=CD

•

h

1

，

S

2

+S

4

=AB

•

h

2，又

AB=CD

，而

h

1不一定与

h2相等，故

C

错误；

S1·

S

4

=DE

•

h1

•

FB

•

h

2

=AF

•

h

1•

FB

•

h

2，

S

2·

S

3

=AF

•

h

2•

EC

•

h

1

=AF

•

h

2•

FB

•

h

1，所以

S

1·

S

4

=S

2·

S

3，

故

D

正确；

故选：

D

．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与

该边上的高的积．即

S=a

•

h

．其中

a

可以是平行四边形的任何一边，

h

必须是

a

边与其对边

的距离，即对应的高．

5

．

C

【分析】

过

P

作

PG

⊥

AB

于点

G

，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△

AGP

≌△

FPE

后即可证明①

AP=EF

；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在

Rt

△

DPF

中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得

2

2

DPEC，即可得到答案．

【详解】

证明：过

P

作

PG

⊥

AB

于点

G

，

∵点

P

是正方形

ABCD

的对角线

BD

上一点，

∴

GP=EP

，

在△

GPB

中，∠

GBP=45°

，

∴∠

GPB=45°

，

∴

GB=GP

，

同理，得

PE=BE

，

∵

AB=BC=GF

，

∴

AG=AB-GB

，

FP=GF-GP=AB-GB

，

∴

AG=PF

，

∴△

AGP

≌△

FPE

，

∴

AP=EF

；故①正确；

延长

AP

到

EF

上于一点

H

，

∴∠

PAG=

∠

PFH

，

∵∠

APG=

∠

FPH

，

∴∠

PHF=

∠

PGA=90°

，

即

AP

⊥

EF

；故③正确；

∵点

P

是正方形

ABCD

的对角线

BD

上任意一点，∠

ADP=45

度，

∴当∠

PAD=45

度或

67.5

度或

90

度时，△

APD

是等腰三角形，

除此之外，△

APD

不是等腰三角形，故②错误．

∵

GF

∥

BC

，

∴∠

DPF=

∠

DBC

，

又∵∠

DPF=

∠

DBC=45°

，

∴∠

PDF=

∠

DPF=45°

，

∴

PF=EC

，

∴在

Rt△DPF

中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴

2

2

DPEC，故④错误．

∴正确的选项是①③；

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．

6

．

C

【分析】

连接

AC

交

BD

于

O

，作

ME

⊥

AB

于

E

，

MF

⊥

BC

于

F

，延长

CB

到

H

，使得

BH=DQ

．

①正确．只要证明△

AME

≌△

NMF

即可；

②正确．只要证明△

AOM

≌△

MPN

即可；

③错误．只要证明∠

ADQ

≌△

ABH

，由此推出△

ANQ

≌△

ANH

即可；

④正确．只要证明△

AME

≌△

NMF

，证得四边形

EMFB

是正方形即可解决问题；

【详解】

连接

AC

交

BD

于

O

，作

ME

⊥

AB

于

E

，

MF

⊥

BC

于

F

，延长

CB

到

H

，使得

BH=DQ

．

∵四边形

ABCD

是正方形，

∴

AC

⊥

BD

，

AC=2AD=22，

OA=OC=2，∠

DBA=

∠

DBC=45°

，

∴

ME=MF

，

∵∠

MEB=

∠

MFB=

∠

EBF=90°

，

∴四边形

EMFB

是矩形，

∵

ME=MF

，

∴四边形

EMFB

是正方形，

∴∠

EMF=

∠

AMN=90°

，

∴∠

AME=

∠

NMF

，

∵∠

AEM=

∠

MFN=90°

，

∴△

AME

≌△

NMF

（

ASA

），

∴

AM=MN

，故①正确；

∵∠

OAM+

∠

AMO=90°

，∠

AMO+

∠

NMP=90°

，

∴∠

AMO=

∠

MNP

，

∵∠

AOM=

∠

NPM=90°

，

∴△

AOM

≌△

MPN

（

AAS

），

∴

PM=OA=2，故②正确；

∵

DQ=BH

，

AD=AB

，∠

ADQ=

∠

ABH=90°

，

∴∠

ADQ

≌△

ABH

（

SAS

），

∴

AQ=AH

，∠

QAD=

∠

BAH

，

∴∠

BAH+

∠

BAQ=

∠

DAQ+

∠

BAQ=90°

，

∵

AM=MN

，∠

AMN=90°

，

∴∠

MAN=45°

，

∴∠

NAQ=

∠

NAH=45°

，

∴△

ANQ

≌△

ANH

（

SAS

），

∴

NQ=NH=BN+BH=BN+DQ

，

∴△

CNQ

的周长

=CN+CQ+BN+DQ=4

，故③错误；

∵

BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP

，

∴

BD+2BP=2BM

，故④正确．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

7

．

D

【分析】

由正方形和折叠的性质得出

AF

＝

AB

，∠

B

＝∠

AFG

＝

90

°，由

HL

即可证明

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG

，得出①正确；

设

BG

＝

x

，则

CG

＝

BC−BG

＝

6−x

，

GE

＝

GF

＋

EF

＝

BG

＋

DE

＝

x

＋

2

，由勾股定理求出

x

＝

3

，得

出②正确；

由等腰三角形的性质和外角关系得出∠

AGB

＝∠

FCG

，证出平行线，得出③正确；

根据三角形的特点及面积公式求出△

FGC

的面积＝

18

5

，得出④正确．

【详解】

∵四边形

ABCD

是正方形，

∴

AB

＝

AD

＝

DC

＝

6

，∠

B

＝

D

＝

90

°，

∵

CD

＝

3DE

，

∴

DE

＝

2

，

∵△

ADE

沿

AE

折叠得到△

AFE

，

∴

DE

＝

EF

＝

2

，

AD

＝

AF

，∠

D

＝∠

AFE

＝∠

AFG

＝

90

°，

∴

AF

＝

AB

，

∵在

Rt

△

ABG

和

Rt

△

AFG

中，

AGAG

ABAF











，

∴

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG

（

HL

），

∴①正确；

∵

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG

，

∴

BG

＝

FG

，∠

AGB

＝∠

AGF

，

设

BG

＝

x

，则

CG

＝

BC−BG

＝

6−x

，

GE

＝

GF

＋

EF

＝

BG

＋

DE

＝

x

＋

2

，

在

Rt

△

ECG

中，由勾股定理得：

CG2＋

CE2＝

EG2，

∵

CG

＝

6−x

，

CE

＝

4

，

EG

＝

x

＋

2

∴（

6−x

）2＋

42＝（

x

＋

2

）2

解得：

x

＝

3

，

∴

BG

＝

GF

＝

CG

＝

3

，

∴②正确；

∵

CG

＝

GF

，

∴∠

CFG

＝∠

FCG

，

∵∠

BGF

＝∠

CFG

＋∠

FCG

，

又∵∠

BGF

＝∠

AGB

＋∠

AGF

，

∴∠

CFG

＋∠

FCG

＝∠

AGB

＋∠

AGF

，

∵∠

AGB

＝∠

AGF

，∠

CFG

＝∠

FCG

，

∴∠

AGB

＝∠

FCG

，

∴

AG

∥

CF

，

∴③正确；

∵△

CFG

和△

CEG

中，分别把

FG

和

GE

看作底边，

则这两个三角形的高相同．

∴

3

5

CFG

CEG

S

FG

SGE



，

∵

S△GCE

＝

1

2

×

3

×

4

＝

6

，

∴

S

△CFG

＝

3

5

×

6

＝

18

5

，

∴④正确；

正确的结论有

4

个，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判

定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能

力，有一定难度．

8

．

A

【分析】

①通过条件可以得出△

ABE

≌△

ADF

，从而得出∠

BAE=

∠

DAF

，

BE=DF

，由正方形的性质就可

以得出

EC=FC

，就可以得出

AC

垂直平分

EF

，

②设

BC=x

，

CE=y

，由勾股定理就可以得出

EF

与

x

、

y

的关系，表示出

BE

与

EF

，即可判断

BE+DF

与

EF

关系不确定；

③当∠

DAF=15°

时，可计算出∠

EAF=60°

，即可判断△

EAF

为等边三角形，

④当∠

EAF=60°

时，可证明△

AEF

是等边三角形，从而可得∠

AEF=60°

，而△

CEF

是等腰直角

三角形，得∠

CEF=45°

，从而可求出∠

AEB=75°

，进而可得结论．

【详解】

解：①四边形

ABCD

是正方形，

∴

AB═AD

，∠

B=

∠

D=90°

．

在

Rt

△

ABE

和

Rt

△

ADF

中，

AEAF

ABAD







＝

＝

，

∴

Rt

△

ABE

≌

Rt

△

ADF

（

HL

），

∴

BE=DF

∵

BC=CD

，

∴

BC-BE=CD-DF

，即

CE=CF

，

∵

AE=AF

，

∴

AC

垂直平分

EF

．（故①正确）．

②设

BC=a

，

CE=y

，

∴

BE+DF=2

（

a-y

）

EF=2y

，

∴

BE+DF

与

EF

关系不确定，只有当

y=

（

2−2）

a

时成立，（故②错误）．

③当∠

DAF=15°

时，

∵

Rt

△

ABE

≌

Rt

△

ADF

，

∴∠

DAF=

∠

BAE=15°

，

∴∠

EAF=90°-2×15°=60°

，

又∵

AE=AF

∴△

AEF

为等边三角形．（故③正确）．

④当∠

EAF=60°

时，由①知

AE=AF

，

∴△

AEF

是等边三角形，

∴∠

AEF=60°,

又△

CEF

为等腰直角三角形，

∴∠

CEF=45°

∴∠

AEB=180°-

∠

AEF-

∠

CEF=75°,

∴∠

AEB≠

∠

AEF

，故④错误．

综上所述，正确的有①③，

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等

边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题

时关键．

9

．

A

【分析】

根据正方形的性质，以及中点的性质可得△

FGN

≌△

HAN

，即证①；利用角度之间的等量

关系的转换可以判断②；根据△

AKH

∽△

MKF

，进而利用相似三角形的性质即可判断③；

设

AN=

1

2

AG=x

，则

AH=2x

，

FM=6x

，根据△

AKH

∽△

MKF

得出

21

63

AHx

MFx



，再利用三

角形的面积公式求出△

AFN

的面积，再利用

DHKMADMAKH

SSS

即可求出四边形

DHKM

的面积，作比即可判断④．

【详解】

∵四边形

EFGB

是正方形，

CE=2EB

，四边形

ABCD

是正方形

∴

G

为

AB

中点，∠

FGN=

∠

HAN=90°

，

AD=AB

即

FG=AG=GB=

1

2

AB

又

H

是

AD

的中点

AH=

1

2

AD

∴

FG=HA

又∠

FNG=

∠

HNA

∴△

FGN

≌△

HAN

，故①正确；

∵∠

DAM+

∠

GAM=90°

又∠

NFG+

∠

FNG=90°

即∠

FNG=

∠

GAM

∵∠

FNG+

∠

NFG+90°=180°

∠

AMD+

∠

DAM+90°=180°

∠

FNG=

∠

GAM=

∠

AMD

∴

DAMNFG

，故②正确；

由图可得：

MF=FG+MG=3EB

△

AKH

∽△

MKF

∴

1

3

KHAH

KFMF



∴

KF=3KH

又∵

NH=NF

且

FH=KF+KH=4KH=NH+NF

∴

NH=NF=2KH

∴

KH=KN

∴

FN=2NK

，故③正确；

∵

AN=GN

且

AN+GN=AG

∴可设

AN=

1

2

AG=x

，则

AH=2x

，

FM=6x

由题意可得：△

AKH

∽△

MKF

且相似比为：

21

63

AHx

MFx



∴△

AKH

以

AH

为底边的高为：

11

2

42

xx

∴2

1

2AFN

SANFGx

112

225DHKMADMAKH

SSSADDMAHx

2

1117

242

2222

xxxxx

∴

2

:

7AFNDHKM

SS

，故④正确；

故答案选择

A

．

【点睛】

本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需

要熟练掌握相关基础知识．

10

．

B

【分析】

由折叠的性质可得∠

DCA

＝∠

ACF

，由平行线的性质可得∠

DCA

＝∠

CAB

＝∠

ACF

，可得

FA

＝

FC

，设

BF

＝

x

，在

Rt

△

BCF

中，根据

CF2＝

BC2+BF2，可得方程（

8

﹣

x

）2＝

x2+42，可求

BF

＝

3

，

AF

＝

5

，即可求解．

【详解】

解：设

BF

＝

x

，

∵将矩形沿

AC

折叠，

∴∠

DCA

＝∠

ACF

，

∵四边形

ABCD

是矩形，

∴

CD

∥

AB

，

∴∠

DCA

＝∠

CAB

＝∠

ACF

，

∴

FA

＝

FC

＝

8

﹣

x

，

在

Rt

△

BCF

中，∵

CF2＝

BC2+BF2，

∴（

8

﹣

x

）2＝

x2+42，

∴

x

＝

3

，

∴

BF

＝

3

，

∴

AF

＝

5

，

∴

AF

：

BF

的值为

5

3

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型．

11

．

C

【分析】

①先判断出四边形

CFHE

是平行四边形，再根据翻折的性质可得

CF=FH

，然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠

BCH=

∠

ECH

，然后求出只有∠

DCE=30

°时

EC

平

分∠

DCH

，判断出②错误；

③点

H

与点

A

重合时，设

BF=x

，表示出

AF=FC=8-x

，利用勾股定理列出方程求解得到

BF

的

最小值，点

G

与点

D

重合时，

CF=CD

，求出最大值

BF=4

，然后写出

BF

的取值范围，判断

出③正确；

④过点

F

作

FM

⊥

AD

于

M

，求出

ME

，再利用勾股定理列式求解得到

EF

，判断出④正确．

【详解】

解：

①∵

FH

与

CG

，

EH

与

CF

都是矩形

ABCD

的对边

AD

、

BC

的一部分，

∴

FH

∥

CG

，

EH

∥

CF

，

∴四边形

CFHE

是平行四边形，

由翻折的性质得，

CF=FH

，

∴四边形

CFHE

是菱形，（故①正确）；

②∴∠

BCH=

∠

ECH

，

∴只有∠

DCE=30

°时

EC

平分∠

DCH

，（故②错误）；

③点

H

与点

A

重合时，此时BF最小，设

BF=x

，则

AF=FC=8-x

，

在

Rt

△

ABF

中，

AB2+BF2=AF2，

即

42+x2=

（

8-x

）2，

解得

x=3

，

点

G

与点

D

重合时，此时BF最大，

CF=CD=4

，

∴

BF=4

，

∴线段

BF

的取值范围为

3

≤

BF

≤

4

，（故③正确）；

过点

F

作

FM

⊥

AD

于

M

，

则

ME=

（

8-3

）

-3=2

，

由勾股定理得，

EF=22MFME

=2242

=25，（故④正确）；

综上所述，结论正确的有①③④共

3

个，

故选

C

．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱

形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．

12

．

D

【分析】

①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;

②证明∠BGE＝60＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60;

③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S

四边形BCDG

＝S

四边形CMGN

,易求后者

的面积;

④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,故为定值.

【详解】

解：①∵ABCD为菱形,

∴AB＝AD,

∵AB＝BD,

∴△ABD为等边三角形,

∴∠A＝∠BDF＝60

又∵AE＝DF,AD＝BD,

∴△AED≌△DFB（SAS）,

故本选项正确;

②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60＝∠BCD,

即∠BGD+∠BCD＝180,

∴点B、C、D、G四点共圆,

∴∠BGC＝∠BDC＝60,∠DGC＝∠DBC＝60,

∴∠BGC＝∠DGC＝60,

故本选项正确;

③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,

则△CBM≌△CDN（AAS）,

∴S

四边形BCDG

＝S

四边形CMGN

S

四边形CMGN

＝2S

△CMG

,

∵∠CGM＝60,

∴GM＝

1

2

CG,CM＝

3

2

CG,

∴S

四边形CMGN

＝2S

△CMG

＝2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG＝

3

4

CG2,

故本选项正确;

④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,为定值,

故本选项正确;

综上所述,正确的结论有①②③④,

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是

掌握菱形的性质．

13

．

D

【分析】

根据正方形的性质得到

AB=BC=1

，

CE=EF=3

，∠

E=90°

，延长

AD

交

EF

于

M

，连接

AC

、

CF

，

求出∠

ACF=90°

，得到

CH=

1

2

AF

，根据勾股定理求出

AF

的长度即可得到答案.

【详解】

∵正方形

ABCD

和正方形

CEFG

中，点

D

在

CG

上，

BC=1

，

CE=3

，

∴

AB=BC=1

，

CE=EF=3

，∠

E=90°

，

延长

AD

交

EF

于

M

，连接

AC

、

CF

，

则

AM=BC+CE=1+3=4

，

FM=EF-AB=3-1=2

，∠

AMF=90°

，

∵四边形

ABCD

和四边形

GCEF

是正方形，

∴∠

ACD=

∠

GCF=45°

，

∴∠

ACF=90°

，

∵

H

为

AF

的中点，

∴

CH=

1

2

AF

，

在

Rt

△

AMF

中，由勾股定理得：

AF=22224225AMMF，

∴

CH=5，

故选：

D

．

【点睛】

此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正

确引出辅助线得到∠

ACF=90°

是解题的关键.

14

．

B

【分析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△

AEF

≌△

DMF（ASA），

得

出对应线段之间关系进而得出答案．

【详解】

解

：

①∵

F

是

AD

的中点

，

∴

AF=FD．

∵在▱ABCD

中

，AD=2AB，

∴

AF=FD=CD，

∴∠

DFC=

∠

DCF．

∵

AD

∥

BC，

∴∠

DFC=

∠

FCB，

∴∠

DCF=

∠

BCF，

∴∠

DCF=

1

2

∠

BCD，

故

①

正确

；

延长

EF，

交

CD

延长线于

M．

∵四边形

ABCD

是平行四边形

，

∴

AB

∥

CD，

∴∠

A=

∠

MDF．

∵

F

为

AD

中点

，

∴

AF=FD

．在△

AEF

和△

DFM

中

，

AFDM

AFDF

AFEDFM

















，

∴△

AEF

≌△

DMF（ASA），

∴

FE=MF，

∠

AEF=

∠

M．

∵

CE

⊥

AB，

∴∠

AEC=90°，

∴∠

AEC=

∠

ECD=90°．

∵

FM=EF，

∴

EF=CF，

故②正确

；

③∵

EF=FM，

∴

S

△EFC

=S

△CFM

．

∵

MC

＞

BE，

∴

S

△BEC

＜

2S

△EFC

故③正确

；

④设∠

FEC=x，

则

∠

FCE=x，

∴∠

DCF=

∠

DFC=90°﹣x，

∴∠

EFC=180°﹣2x，

∴∠

EFD=90°﹣x

+

180°﹣2x=270°﹣3x

．

∵∠

AEF=90°﹣x，

∴∠

DFE=3

∠

AEF，

故④错误

．

故答案为B

．

点睛

：

本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识

，

得出

△

AEF

≌△

DMF

是解题的关键．

15

．

B

【分析】

取

DC

的中点

E

，连接

OE

、

DE

、

OD

，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当

O

、

E

、

D

三点共线时，点

D

到点

O

的距离最大，再根据勾股定理求出

DE

的长，根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半求出

OE

的长，两者相加即可得解．

【详解】

取AB中点E，连接OE、DE、OD，

90MON，

1

2

2

OEAB

．

在RtDAE中，利用勾股定理可得22DE．

在ODE中，根据三角形三边关系可知DEOEOD，



当O、E、D三点共线时，OD最大为222OEDE．

故选B．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形

的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点

O

、

E

、

D

三点共线时，点

D

到点

O

的距离最大是解题的关键．

16

．

A

【分析】

根据等腰三角形的性质，可得到：

CDAB

，从而证明ADE≌CDF且

ADC90，即证明DEDF和DEF是等腰直角三角形，以及四边形CEDF面积

ABC

1

S

2



△

；再根据勾股定理求得

EF

，即可得到答案．

【详解】

∵ACB90，2ACBC

∴22AB2222

∴AB45

∵点

D

是

AB

的中点

∴

CDAB

，且

1

ADBDCDAB2

2



∴

DCB45

∴

ADCF

，

在ADE和CDF中

ADCD

ADCF

AECF

















∴ADE≌CDFSAS

∴DEDF，ADECDF

∵

CDAB

∴ADC90

∴

EDFEDCCDFEDCADEADC90

∴DEF是等腰直角三角形

∵ADE≌CDF

∴ADE和CDF的面积相等

∵

D

为

AB

中点

∴ADC的面积

1

ABC

2



的面积

∴四边形CEDF面积

EDCCDFEDCADEADCABC

1

SSSSSS

2



；

当DEAC，DFBC时，2EF值最小

根据勾股定理得：222EFDEDF

此时四边形

CEDF

是正方形

即EFCD2

∴22EF(2)2

∴正确的个数是

4

个

故选：

A

．

【点睛】

本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关

键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．

17

．

D

【分析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG；

根据角的和差关系求得

∠

GAF=45°；

在直角△

ECG

中

，

根据勾股定理可证

CE=2DE；

通过证明

∠

AGB=

∠

AGF=

∠

GFC=

∠

GCF，

由平行线的判定可得

AG

∥

CF；

求出

S

△ECG

，

由

S

△FCG

=

3

5GCE

S



即可得出结论

．

【详解】

①正确．理由

：

∵

AB=AD=AF，AG=AG，

∠

B=

∠

AFG=90°，

∴

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG（HL）；

②正确．理由

：

∵∠

BAG=

∠

FAG，

∠

DAE=

∠

FAE．

又∵∠

BAD=90°，

∴∠

EAG=45°；

③正确．理由

：

设

DE=x，

则

EF=x，EC=12-x．

在直角△

ECG

中

，

根据勾股定理

，

得

：（12﹣x）2+

62=（x

+

6）2，

解得

：x=4，

∴

DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；

④正确．理由

：

∵

CG=BG，BG=GF，

∴

CG=GF，

∴∠

GFC=

∠

GCF．

又

∵

Rt

△

ABG

≌

Rt

△

AFG，

∴∠

AGB=

∠

AGF，

∠

AGB

+∠

AGF=2

∠

AGB=

∠

GFC

+∠

GCF=2

∠

GFC=2

∠

GCF，

∴∠

AGB=

∠

AGF=

∠

GFC=

∠

GCF，

∴

AG

∥

CF；

⑤正确．理由

：

∵

S

△ECG

=

1

2

GC•CE=

1

2

×

6

×

8=24．

∵

S

△FCG

=

3

5GCE

S



=

3

24

5



=

72

5

．

故选

D．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质

，

全等三角形的判定与性质

，

勾股定理

，

平行

线的判定

，

三角形的面积计算等知识．此题综合性较强

，

难度较大

，

解题的关键是注意数

形结合思想与方程思想的应用

．

18

．

D

【分析】

连结

CE

，并延长

CE

，交

BA

的延长线于点

N

，根据已知条件和平行四边形的性质可证明

△

NAE

≌△

CFE

，所以

NE

＝

CE

，

NA

＝

CF

，再由已知条件

CD

⊥

AB

于

D

，∠

ADE

＝

50

°，即可

求出∠

B

的度数．

【详解】

解：连结

CE

，并延长

CE

，交

BA

的延长线于点

N

，

∵四边形

ABCF

是平行四边形，

∴

AB

∥

CF

，

AB

＝

CF

，

∴∠

NAE

＝∠

F

，

∵点

E

是的

AF

中点，

∴

AE

＝

FE

，

在△

NAE

和△

CFE

中，

NAEF

AEFE

AENFEC

















，

∴△

NAE

≌△

CFE

（

ASA

），

∴

NE

＝

CE

，

NA

＝

CF

，

∵

AB

＝

CF

，

∴

NA

＝

AB

，即

BN

＝

2AB

，

∵

BC

＝

2AB

，

∴

BC

＝

BN

，∠

N

＝∠

NCB

，

∵

CD

⊥

AB

于

D

，即∠

NDC

＝

90

°且

NE

＝

CE

，

∴

DE

＝

1

2

NC

＝

NE

，

∴∠

N

＝∠

NDE

＝

50

°＝∠

NCB

，

∴∠

B

＝

80

°．

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．

19

．

B

【分析】

连接

BD

，与

AC

相交于点

O

，则

AC

⊥

BD

，

1

4

2

AOAC

，由5ADAB，根据勾股

定理求出

DO

，求出

EO

，由勾股定理求出

DE

，即可得到答案

.

【详解】

解：连接

BD

，与

AC

相交于点

O

，则

AC

⊥

BD

，

在菱形ABCD中，

1

4

2

AOAC

，

∵5ADABCD，

在

Rt

△

AOD

中，由勾股定理，得：

22543DO，

∵

=5CECD

，8AC，

∴853AE，

∴431OE，

在

Rt

△

ODE

中，由勾股定理，得

223110DE，

∴

10

5

DE

AD

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段的和差关系，解题的关键是正确作出辅助

线，利用勾股定理求出

DE

的长度

.

20

．

B

【分析】

关键结合图形证明△

CHG

≌△

EGD

，即可逐项判断求解

【详解】

解：∵

DF=BD

，

∴∠

DFB=

∠

DBF

，

∵

AD

∥

BC

，

DE=BC

，

∴四边形

DBCE是平行四边形，∠DFB=∠GBC，

∴∠DEC=∠DBC=45°

，

∴∠

DEC=2

∠

EFB

，

∴∠

EFB=22.5°

，∠

CGB=

∠

CBG=22.5°

，

∴

CG=BC=DE

，

∵

DE=DC

，

∴∠

DEG=

∠

DCE

，

∵∠

GHC=

∠

CDF+

∠

DFB=90°+22.5°=112.5°

，

∠

DGE=180°-

（∠

BGD+

∠

EGF

），

=180°-

（∠

BGD+

∠

BGC

），

=180°-

（

180°-

∠

DCG

）

÷2

，

=180°-

（

180°-45°

）

÷2

，

=112.5°

，

∴∠

GHC=

∠

DGE

，

∴△

CHG

≌△

EGD

，

∴∠

EDG=

∠

CGB=

∠

CBF

，

∴∠

GDH=90°-

∠

EDG

，

∠

GHD=

∠

BHC=90°-

∠

CGB

，

∴∠

GDH=

∠

GHD

故②正确；

∴∠

GDH=

∠

GHD

又∠

EFB=22.5°,

∴∠

DHG=

∠

GDH=67.5°

∴∠

GDF=90°-

∠

GDH=22.5°=

∠

EFB,

∴

DG=GF,

∴

HG=DG=GF

∴

HF=2HG,

显然

CE≠HF=2HG,

故①正确；

∵△

CHG

≌△

EGD

，

∴

CHGEGD

SS





∴

CHGDHGEGDDHG

SSSS





，

即

CDG

DHGE

SS

△

四边形

＝

而

=

EFG

DHGE

DHF

SSS





四边形

△

，

故

CDGDHF

SS

△△

故④不正确；

结合前面条件易知等腰三角形有△

ABD

，△

CDB

，△

BDF

，△

CDE

，△

BCG

，△

DGH

，

△

EGF

，△

CDG

，△

DGF

共

9

个，∴③错误；

故正确的有①②，有

2

个，

故选：

B

【点睛】

本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判

定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关

键．