电磁场边界条件

电磁场边界条件

王氏家训-生猪屠宰检疫规程

2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系

1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；

2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；

3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。

重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系

难点：电磁场切向边值关系的推导

讲授法、讨论

2学时

2.6麦克斯韦方程组（Maxwell’sEquations）

一、麦克斯韦方程

1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文

中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。直到1890

年，赫兹才给出简化的对称形式：

0

000

1

(1)(2)

0(3)(4)

B

EE

t

E

BBJ

t

































实

验

定

律

3、法拉第电磁感应定律

4、电荷守恒定律

12

3

1

4

dqdq

dFR

R



S

DdSq

0

l

Edl

34

JdVR

dB

R









0

S

BdS

0B



C

HdlI

JH





t

B

E











0







t

J





0J

两

对

矛

盾

的

解

决

？

麦

克

斯

韦

理

论

稳

恒

情

况

缓

变

情

况

2、毕奥－沙伐尔定律

1、库仑定律



0

/E



0E



t

SdB

dt

d

S



















0

S

Q

JdS

t











上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应

运动方程，（1）（3）为约束方程。

二、麦克斯韦方程组的基本性质

1、线性性

麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。

2、自洽性

方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。

如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：0







t

B

E





CB



，考虑到

静磁时0B



,所以取0C。

又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。

3、独立性

即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。

4、对称性（只作简单介绍）

无源区（自由场）：0,0J



,麦克斯韦方程可以写为：

00

0(1)(2)

0(3)(4)

B

EE

t

E

BB

t





























如对方程中的场量作如下代换：

'',EBcBcE



（

00

1c）

则上述麦克斯韦方程变为：

'

''

00

'

''

0(1)(2)

0(3)(4)

E

BB

t

B

EE

t





























上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），

即如果BE



,存在，则cEBBcE



'',也必存在，并称'',BE



为BE



,的对

偶场。

有源区：0,0J



，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的

不对称，即不存在磁荷。但若引入

m



（磁荷）和

m

J



（磁流），使方程变为：

00

0000

(1)(2)

(3)(4)

m

m

B

EEJ

t

E

BBJ

t































则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：

场：'',EBcBcE





源：

emme

cc,'；

emme

JcJcJJ



,'

例如：对（2）式进行变换，有：



























c

E

t

JcBc

e

'

'

0

'







注意到

00

1c，化简得：

t

E

JB

e





'

00

'

0

'







与（4）式一致，这表明对应BE



,场，一定存在对偶场'',BE



。

5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）

完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出

唯一正确的解。

证明：用反证法

如果有两个不同的解

11

,BE



、

22

,BE



同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、

边界条件。设

21

EEE



、

21

BBB



,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方

程。即：

0E



,

t

B

E











，

0B



,

t

E

B











00



及齐次边界条件：

0

SS

EB

和齐次初始条件：

0

SS

EB

。

因此，,EB对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。对于

这样一个电磁场，我们来计算如下积分：

0

0

1

V

d

IEEBBdV

dt















由于体系的边界不随时间改变，所以上述积分可以化为：

00

0000

111

22

VV

EB

IEBdVEBBEdV

tt



























000

222

VVS

IEBBEdVEBdVEBdS





由于边界上

0

SS

EB

，所以

0I

。因此

22

00

00

11

VV

EEBBdVEBdVConst













又因初始时0

SS

EB，所以这个常数为零。但等式左边的被积函数恒大于或等

于零，因此得到：

0,0EB即

12

EE,

12

BB

6、预见性

即预言了电磁波的存在。事实上，由无源区的麦克斯韦方程，有：

B

E

t







对上式两边取旋度，有：

2EBEE

t







将0E及

00

E

B

t









代入上式，有：

2

2

22

1

0

E

E

ct







（

00

1c）

同理可得：

2

2

22

1

0

B

B

ct







与经典的波动方程比较：

一维：

22

222

1

0

xt











三维：

2

2

22

1

0

t













可以看出E和B满足波动方程，c为电磁波的速度。

三、媒质的本构关系

当有媒质存在时，麦克斯韦方程组还不够完备（12个未知数，8个标量方程），

需要补充描述媒质特性的方程。对于各项同性的线性介质，有：

,,DEBHJE

此时，麦克斯韦方程组写为：

1

(1)(2)

0(3)(4)

H

EE

t

E

HHE

t

































称为麦克斯韦方程组的限定形式。

例题2.6.1讲解要点

1）分析电路，针对电路说明位移电流和传导电流产生的原因、存在的区域及引

起的效应；

2）根据已知条件，计算位移电流和传导电流；

3）求电流激发的磁场（导线附近，导线可以视为无限长）

例题2.6.2讲解要点

1）讲明题目的意思：

E

是电场强度矢量，一定要满足麦克斯韦方程组；

2）在无源区，变化的电场和磁场相互激发，已知

E

矢量，就可以根据麦克斯韦

方程组求出磁矢量（,BH）。

2.7电磁场的边值关系

在介质分界面上，若存在自由面电荷、面电流分布或由于极化、磁化而出现面电

荷和面电流分布，则场量在面上变得不连续，微分形式的麦克斯韦方程不在适用，需

要根据积分形式的麦克斯韦方程来讨论边界上的场关系。

0

D

B

E

t

B

D

HJ

t



































0

S

CS

S

CS

DdSq

B

EdldS

t

BdS

D

HdlIdS

t















































Gauss定理

Stocks定理

一、边值关系的一般形式

1、磁场强度

H



的边值关系

设分界面的法向单位矢为

ˆ

n

e（指向媒质1），

ˆ

t

e是沿分界面的切向单位矢，平行

边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正交且其长边与界面平行，如图

由

CS

D

HdlIdS

t







，有：

112212

0

ˆ

()

t

C

h

HdlHlHlHdlHHel



侧

0

ˆˆˆ

D

t

SppSp

S

h

DD

IdSJelelhJel

tt













有限

所以：12

ˆˆ

tSp

eHHJe

上式表明，当分界面上有自由电流分布时，磁场强度的切向分量是不连续的。

上式中

ˆˆ

,

tp

ee都与回路的选取有关，利用

ˆˆˆ

tpn

eee

可得：

12

ˆˆˆ

pnSp

eeHHJe

或12

ˆˆˆ

npSp

eHHeJe







上式对任意回路都成立，因而有：

12

ˆ

nS

eHHJ

2、电场强度E的边值关系

将上图中的磁场强度改为电场强度，由于

CS

B

EdldS

t









考虑到Bt是有限量，同理可以得到：

12

ˆ

0

n

eEE

即电场强度的切向分量是连续的。

问题：电位移矢量的切线分量连续吗？

1

H

2

H

ˆ

n

e

ˆ

n

e

ˆ

p

e

ˆ

t

e

ˆ

t

e

1



2



a

c

d

b

11tt

EE

1122tt

DD

3、电位移矢量

D

的边值关系

选右图所示的扁圆柱形封闭合面，由

S

DdSQ有：

2211S

DSDSDdSS侧

式中

12

ˆ

n

SSSe，且

DdShS侧

是比S更高阶的无穷小，因而有：

12

ˆˆ

nnS

DeSDeSS

即：12

ˆ

nS

eDD

特例：当0

S

时，电位移的法向分量连续。

问题：D



的法向分量连续时，

E

的法向分量连续吗？为什么？

12nn

DD

1122nn

EE

4、磁感应强度

B



的边值关系

对于磁场

B

，把

0

S

BdS应用到边界区域上，同理得到：

12

ˆ

0

n

eBB

即磁感应强度

B

的法向分量连续、无跃变。

问题：

H

的法向分量连续吗？

1122nn

HH

5、其它边值关系

1）

P

S

qPdS12

ˆ

PSn

ePP

特例：

1

0P，

2

ˆˆˆ

PSnnn

ePePPe

2）

M

C

IMdl12

ˆ

PSn

JeMM

特例：

1

0M，

22

ˆˆˆ

PSnnn

JeMMeMe

二、两种特殊情况下的边值关系

1、理想导体表面上的边值关系

ˆ

n

e

h

2

D

介质2

介质1

1

D2

ˆ

n

e

2

ˆ

n

e

2

S

S





ˆ

n

e

1

S

理想导体（

，如银、铜、铝等金属710Sm

可视为理想导体）内部不

存在电场（0EJ），其边值关系简化为：

ˆˆ

,0

ˆˆ

0,

nSn

nnS

eHJeE

eBeD















对于理想导体，其表面上的电荷、电流都不能预先给定，由导体表面附近的电场、

磁场决定。

2、理想介质表面的边值关系

理想介质（

0

）表面不可能存在自由面电荷（0

S

）和面电流（0

S

J），

其边值关系为：



1212

1212

ˆˆ

0,0

ˆˆ

0,0

nn

nn

eHHeEE

eBBeDD















三、三种形式的麦克斯韦方程的比较

0

D

B

E

t

B

D

HJ

t



































0

S

CS

S

CS

DdSq

B

EdldS

t

BdS

D

HdlIdS

t























































12

12

12

12

ˆ

ˆ

0

ˆ

0

ˆ

nS

n

n

nS

eDD

eEE

eBB

eHHJ





























微分形式积分形式边界形式

局域关系整体关系边值关系

例题2.7.1讲解要点

1）讲解介质的分布、介质的性质及描述介质的参数；

2）认识电场强度表达式中各参数的含义（偏振方向、传播方向、振幅、频率等）

3）讲清楚题目的要求。

例题2.7.2讲解要点

1）介质的性质及参数；

2）讲解电磁场的局域关系和边值关系的区别；

3）已知2区的场，根据边值关系求边界附近1区的场。

例题2.7.2讲解要点

Gauss定理

Stocks定理

边界积分

1）什么是理想导体？

2）理想导体表面的电荷、电流有什么决定？

3）题目给定的条件是什么？

作业：思考题：2.17，2.18，2.19，2.20；习题2.29，2.30，2.31。

阅读材料

1、麦克斯韦

兰爱丁堡，1847年中学毕业后进入爱丁堡大学学习数学、物理、

和哲学。1850年转入剑桥大学三一学院，主攻数学和物理学。18

54年以优异成绩毕业。

在1855年到1864年间，麦克斯韦从场的观点对法拉第电磁感

应定律进行了理论分析，提出了著名的麦克斯韦方程组。这组方程

不仅标志着经典物理学大厦的最后完成，而且预见了电磁波的存在，

并证明电磁波传播的速度与真空中的光速是相同的。在此基础上，麦克斯韦认为光是频率介于某

一范围之内的电磁波。

1855年，剑桥大学悬赏解决土星光环的组成和稳定性问题。麦克斯韦在尝试解决这一问题

的过程中对大量碰撞物体的运动问题发生了兴趣，并试图用概率理论加以研究。1859年，他运

用

概率理论导出了著名的麦克斯韦速度分布率。他的这一工作奠定了气体统计力学的基础，标志着

物理学新纪元的开始。

麦克斯韦的另一项重要工作是筹建了剑桥大学的第一个物理实验室——著名的卡文迪许实

验室。该实验室对整个实验物理学的发展产生了极其重要的影响，众多著名科学家都曾在该实验

室工作过。卡文迪许实验室甚至被誉为“诺贝尔物理学奖获得者的摇篮”。

2、磁单极

1931年，著名的英国物理学家狄拉克证明了磁单极和量子力学中的薛定谔方程可以一致地

存

JamesMaxwell(1831_1879)，1831年6月13日出生在

在。他指出，如果自然界中存在磁单极子，则量子论给出电荷是量子化的，即任何粒子所带的电

量必须是一个基本电荷的整数倍。

2/cneg(n为整数)

当1n时，eecg5.682/

0

，异性磁荷间的相互作用力远远大于库仑力。

由于电荷的量子化乃是一个基本的物理事实，狄克拉的理论就引起了人们的广泛注意，从而

开创了磁单极研究的新的时代。然而，尽管狄拉克的理论是完美的，结果也是非常迷人的，但这

并不能作为磁单极存在的证据。磁单极是否真正存在，只能由实验来确定。

1975年夏，美国加利福尼亚大学和休斯顿大学组成的一个联合科研小组声称他们发现了一

个

磁单极。实验是这样的：把一些记录仪器用气球送上天空，并把它们保持在靠近大气顶部处一些

日子，然后，把仪器放下来进行分析。他们从乳胶片上发现了一条不同于带电粒子的径迹。这条

径迹与理论分析得到的磁单极的径迹相吻合。于是他们认为这就是磁单极。然而，对这个结果，

许多物理学家持否定态度。

1982年，美国斯坦福大学的BlasCabrera做了一个十分精巧的实验。他把一个直径为5cm

的铌线圈降温至9K，使其成为超导线圈，并把它放在一个超导的铅箔筒中。该筒用以屏蔽掉一

切

带电粒子引起的磁通量和消除外界磁场影响，只有磁单极进入铌线圈时可以引起磁通量的变化。

1982年2月14日下午1时53分，他们的仪经器测到的磁通量突然增高。反复研究，他们认为

这是磁单极进入铌线圈引起的变化。

几十年过去了，寻找磁单极的工作仍然没有振奋人心的结果。然而众多的实验物理学家并没

有气馁，而是以更大的热情投入实验。如果能找到磁单极的话，电荷量子化这一自然界的基本特

征就会得到很好的解释，当今的电动力学、量子电动力学就必须做必要的修改，对宇宙起源的认

识也会更加深入。总之，磁单极的存在将会引起物理学的巨大变化。