刚体定轴转动定律

刚体定轴转动定律

我们的孩子够强吗-今年欢笑复明年

2023年2月17日发(作者：testipv6)

4刚体定轴转动

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4刚体定轴转动

4.1刚体的基本运动

4.1.1刚体

实验表明，任何物体在受到力的作用或其他外界作用时，都会发生程度不同的变形。例

如，汽车过桥，桥墩将发生压缩变形，桥身将发生弯曲变形；压电晶体在电场作用下将发生

伸缩变形等。对于一般物体，这种变形通常非常微小，只有用应变仪等精密仪器才能测量出

来。在力的作用下，物体的这种变形对于所研究的问题可以忽略不计，形状和大小都保持不

变的物体称为刚体。刚体也可定义为：在力的作用下，其中任意两个质点间的距离始终保持

不变的质点系。实际上，物体在外力作用下总是有变形的，因此刚体是一个理想模型，在工

程技术问题中具有重要的实用价值。

4.1.2刚体的基本运动

刚体的一般运动是比较复杂的，但刚体的复杂运动可以看作平动和转动的叠加。下面就

讨论刚体运动中这两种最简单、最基本的运动形式。

4.1.2.1刚体的平动

刚体运动时，如果刚体内部任意两个质点之间连线的方向都始终保持不变，这种运动称

为刚体的平动，如图4.1所示。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。

大学物理教程（上册）

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（a）（b）

图4.1刚体的平动

刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上各质点的运动轨迹都相同，且在任意

瞬时各质点的位移、速度和加速度也都相同。如果我们要研究刚体的平动，只需研究刚体上

任意一质点的运动规律，就可以代表整个刚体的运动规律。也就是说，刚体平动的研究可归

结为质点运动的研究。通常都是用刚体质心的运动来代表作平动刚体的运动，可以用前面质

点力学的知识去分析和处理它们。

4.1.2.2刚体绕定轴转动

刚体运动时，如果刚体内部各质点都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动，

该直线称为转轴，如火车车轮的运动、飞机螺旋桨的运动都是转动。如果转轴相对于参考系是

固定不动的，则称为刚体绕定轴转动，如车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。

定轴转动中刚体上的任一质点P都绕一个固定轴作圆周运动，如图4.2所示习惯上常把

转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面，转动平面与转轴垂直。质点作圆周运

动的圆心O叫作质点的转心，质点对于转心的位矢r叫作质点的矢径。

图4.2刚体的定轴转动

刚体绕定轴转动有两个显著特点，分别为：

（1）转动平面上各质点作半径不同的圆周运动，角量相同，线量不同。因此用角量来描

述定轴转动刚体的运动比较方便。

（2）定轴转动刚体上各质点角速度ω的方向均沿轴线。因此，若在轴上选定一正方向，

描述刚体绕定轴转动的角量可用代数量来表示。当角速度与选定的正方向同向时记为正，

反向时为负，如图4.3所示。

4刚体定轴转动

7

（a）（b）

图4.3刚体定轴转动的角速度

4.2角动量及其时间变化率

4.2.1角动量

4.2.1.1质点的角动量

设质量为m的质点在某时刻相对于坐标原点O的位置矢量为r，速度为v，动量pvm，

如图4.4所示。定义质点对坐标原点O的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即

mLrPrv（4.1）

角动量是矢量，大小为

sinsinLrprmv（4.2）

式中——质点位置矢量与质点动量的夹角。

角动量的方向由右手螺旋法则确定：右手四指由r的正方向沿小于的角度转向p的正方

向，这时大拇指所指的方向即为角动量L的方向，如图4.5所示。因此角动量L的方向垂直

于r和p组成的平面。

在国际单位制中，角动量的单位为kg·m2/s。

图4.4质点的角动量图4.5角动量方向的确定

大学物理教程（上册）

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说明：

（1）大到星系，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世

纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基

本、最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物

理中的运用更为广泛。

例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，

具有自旋角动量等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它

们的角动量仅具有一定的不连续的量值，这叫作角动量的量子化。因此，在描述这种系统的

性质时，角动量起着主要的作用。

（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有

不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此，在说明一个质点的角动量时，必须指明是相

对于哪一个参考点而言的。

（3）角动量的定义式mLrPrv与力矩的定义式MrF形式相同，故角动量有

时也称为动量矩——动量对参考点（或转轴）的矩。

（4）若质点作圆周运动，如图4.6，vr，且在同一平面内，则角动量的大小为

2Lrmvrm，写成矢量形式为2rLωm。

（5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点相对某点的角动量L保持

不变。

sinLrmvmvd

4.2.1.2质点系的角动量

质点系内所有质点对同一参考点的角动量的矢量和称为质点系对该参考点的角动量，即

()LLrviiii

ii

m

（4.3）

设质点系的质心为C，系内任一质点的位矢

i

r可以

用质心的位矢

C

r与该质点相对于质心的位矢

i



r的矢量

和来表示，如图4.7所示。

iCi



rrr（4.4）

式（4.4）两边对时间求导，得

iCi



vvv（4.5）

将式（4.4）和式（4.5）代入式（4.3），得

图4.6做圆周运动的

质点的角动量

图4.7质点系的角动量

4刚体定轴转动

9

[()]

[()]

()()

Lrrv

rvrvv

rvrvrv



















Ciii

i

CiiiiCi

ii

CiiiiCiii

iii

m

mm

mmm

（4.6）

设质点系总质量为

i

i

Mm，则

,ii

C

m

M



v

vii

C

m

M







r

r

因此，式（4.6）中第一项为

CiiCC

i

mMrvrv

式中

C



r——质心相对于质心的位矢，所以0

C



r，即式（4.6）中第二项

()0

iiCiiC

ii

mm











rvrv

故质点系的角动量



CCiii

i

Mm



Lrvrv

由此，质点系的角动量分解为形式不同的两项：第一项中包含质点系总质量M和描述质

心性质的参数

C

r和

C

v，称为质点系的轨道角动量，即将质点系全部质量集中于质心处的一个

质点上，该质点对参考点的角动量。它以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运动。

第二项是质点系内各质点相对于质心角动量的矢量和，称为质点系的自旋角动量，即系内各

质点绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，描述系统的内禀性质。

所以质点系的角动量可以表示为

LLL

轨道

自旋

（4.7）

其中

CC

MLrv

轨道

（4.8）

()

iii

i

m



Lrv

自旋

（4.9）

【例4.1】已知地球的质量246.010mkg，地球与太

阳的中心距离111.510rm，若近似认为地球绕太阳作匀速

率圆周运动，43.010/vms，求地球对太阳中心的角动量。

解：如图4.8所示，O点为太阳中心，地球对太阳中心

的角动量mLrv。因为r与v垂直，

π

2

，故角动量的

图4.8地球绕太阳的运动

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大小为

11244402

π

sin

2

1.5106.0103102.710(kgm/s)

Lrmvrmv



角动量的方向由右手螺旋法则确定：L垂直于r、v构成的平面，方向向上。

由此例可见，对于做圆周运动的质点，由于矢径r与速度v时时都彼此垂直，故质点对

圆心O的角动量的大小L＝rmv。如果是作匀速率圆周运动，角动量的大小是一常量。

4.2.1.3定轴转动刚体的角动量

刚体绕定轴转动时，其上每一个质点都在转动平

面内绕轴作圆周运动。如图4.9所示，作半径为r的圆

周运动的质点m对O点的角动量为

mLrv（4.10）

对z轴的角动量定义为质点对z轴上任意一点角动量沿

z轴的分量，即对其圆心O的角动量

2mmrLrv（4.11）

定轴转动刚体对轴的角动量定义为刚体各质点对轴的角动量的矢量和，即

i

LL

式中Li——第i个质点对z轴的角动量。

设第i个质点质量为mi，速度为vi，对z轴的径矢为

i

r，则LrPrv

iiiiii

m。由于定

轴转动时刚体中每一个质点都在作圆周运动，且质点的角速度都相同，质点的速度和矢径垂

直，所以质点对z轴的角动量的大小为

2

iiiiiiii

Lprmvrmr

式中ri——质点到轴的距离；

——刚体转动的角速度。

考虑到质点作圆周运动时角动量矢量的方向和角速度矢量的方向始终相同，故有

2

iii

mrL

则刚体对定轴的角动量为

22LLiiiii

mrmr（4.12）

图4.9定轴转动刚体的角动量

4刚体定轴转动

11

若在轴上选定一正方向，则定轴转动刚体的角动量是一个代数量。

将式（4.12）与动量p＝mv类比，可以发现，2

ii

i

mr与平动问题中的质量m地位相当，

故将此量定义为描述转动物体惯性大小的量度——转动惯量，通常用J来表示，即2

ii

i

Jmr=

。

4.2.2角动量的时间变化率

由质点角动量的定义式（4.1）

mLrPrv

角动量对时间的变化率为

ddd

dddttt



Lrp

pr

上式第一项

d

0

d

r

pvvm

t

上式第二项

d

d

p

rrF

t

因此

d

d

L

rF

t

（4.13）

式（4.13）右端rF的物理意义：在图4.10中，F为质点m所受的合力，r为m对参考点的

位矢。则

图4.10角动量的时间变化率

sinrFrFFd

即rF的大小为力F与参考点到力的作用线的垂直距离d的乘积。这就是我们熟悉的力矩M，

下面对力矩进行一般性讨论。

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12

4.3力矩转动惯量刚体定轴转动定律

4.3.1力矩

4.3.1.1对参考点的力矩

力的作用点对参考点O的矢径r与力F的矢积定义为力对该参考点的力矩，用M表示

MrF（4.14）

力矩M的大小由图4.10求得

sinMrFFd

力矩M的方向垂直于r矢量与F矢量共同构成的平面，指向由右手螺旋法则确定。

力矩M一方面反映了力的大小和方向，同时又反映了力的作用位置，它也是描述物体间

相互作用的物理量。

若一个物体同时受到几个力的作用，则物体所受到的合外力矩等于各力形成的力矩的矢

量和。

需强调的是，能够求和的力矩必须是对同一个参考点的力矩。

在国际单位制中，力矩的单位为N·m。

4.3.1.2对定轴的力矩

在图4.11中，一刚体绕定轴z转动，力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动

平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为平行于轴的分力和在转动平面内的分力。

轴向分力的作用是改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，

所以可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后也只讨论力在转动平面内的情况。设p点的

转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量

MrF（4.15）

它的大小为

sinMFrFd（4.16）

或

sinMFrFr



（4.17）

式中sindr——力F对轴的力臂；

4刚体定轴转动

13

sinFF



——力F的切向分量。

由式（4.17）可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图4.11中的力矩矢量

的方向向上。在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向总是平行于轴的。若在轴上选定一个正

方向，则力矩均可用代数量来表示。

力对定轴z的力矩是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的分量。若作用在p点的力不

止一个，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。合力的力矩

iii

MrFrFrFM

（4.18）

式中MrF

ii

——各分力的力矩。

图4.11对定轴的力矩图4.12作用力矩和反作用力矩

由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。作用力与反用力的

大小相等，方向相反且在同一直线上，因而有相同的力臂，如图4.12所示，因此作用力矩和

反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。

0



MM（4.19）

4.3.2刚体转动惯量

刚体对定轴的转动惯量，等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积

之和，即

2ii

Jmr（4.20）

对于质量连续分布的物体，式（4.20）中的求和应写为积分形式，即

2ddJJrm（4.21）

式中dm——物体上的质量元；

r——质元到轴的距离；

2ddJrm——质元对轴的转动惯量。

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14

说明：质量分布通常用质量密度来描述。

（1）如果质量在空间构成体分布，则空间任一点的质量体密度定义为该点附近单位体积

内的质量

d

d

m

V

。如果式（4.21）中的质元的体积为dV，该点的质量体密度为，则质元的

质量ddmV，把此式代入式（4.21），积分为体积分。

（2）如果质量构成面分布，则质量面密度定义为该处单位面积内的质量

d

d

m

S

。如果所

取质元的面积为dS，该点的质量面密度为，则质元的质量ddmS，把此式代入式（4.21），

积分为面积分。

（3）对于质量线分布，质量线密度定义为单位长度内的质量

d

d

m

l



。如果质元的长度为

dl，该点的质量面密度为，则质元的质量ddml，把此式代入式（4.21），积分为线积分。

刚体对定轴的转动惯量的大小取决于三个因素，即刚体的总质量、质量对轴的分布情况

和转轴的位置。

引入转动惯量概念以后，定轴转动刚体的角动量式（4.12）可以表示为

2Lωωii

mrJ（4.22）

下面举例说明几种几何形状简单、质量分布均匀的刚体转动惯量的计算方法。

【例4.2】一正方形边长为l，它的4个顶点各有一个质量为m的质点，求此系统对下

列转轴的转动惯量：（1）z1轴；（2）z2轴；（3）z3轴（垂直于纸面）（图4.13）。

解：（1）对z1轴，4个质点的转动惯量均为

2

2

l

m







，故

2

22

1

4

2ii

l

Jmrmml











（2）对z2轴，a、d两质点的转动惯量为0，而b、c两质点的

转动惯量均为ml2，故

2

2

2Jml

（3）对z3轴

2

22

3

2

42

2ii

Jmrmlml













【例4.3】一匀质细杆长度为l，质量为m（图4.14）。求细杆

对下列转轴的转动惯量：（1）通过一端并与杆垂直的轴；（2）通过中心并垂直于杆的轴。

图4.13正方形质点系的

转动惯量

4刚体定轴转动

15

图4.14匀质细杆的转动惯量

解：（1）细杆的质量线密度/ml，如图4.14所示，在距轴r处取一线元dr，线元的

质量为

ddmr

，线元的转动惯量22dddJrmrr，故细杆的转动惯量为

232

1

0

11

dd

33

l

JJrrlml

（2）若轴在杆中心，可以把杆从中心分为两部分，两部分的转动惯量相等，而且每一

部分的转动惯量都可以用问题（1）中的结论来表示。只是每部分的长度只有

2

l

，质量也只

有

2

m

。

2

2

2

11

2

32212

ml

Jml









【例4.4】一质量均匀分布的细圆环，半径为r，质量为m，求圆环对过圆心并与环面

垂直的转轴的转动惯量（图4.15）。

解：在环上取一质量为dm的质元，它对轴的转动惯量2ddJrm，故圆环的转动惯量为

222ddd

m

JJrmrmmr

图4.15细圆环的转动惯量图4.16圆盘的转动惯量

【例4.5】有一质量均匀分布的圆盘，半径为R，质量为m，求圆盘对过圆心并与圆盘

面垂直的转轴的转动惯量（图4.16）。

解：盘的质量面密度为2/πmR，在盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，圆环面积

d2πdSrr，圆环的质量为dd2πdmSrr，利用例4.4的结论，圆环的转动惯量为

23dd2πdJrmrr

故圆盘的转动惯量为

大学物理教程（上册）

16

342

0

11

d2πdπ

22

R

JJrrRmR

常用均匀刚体对定轴的转动惯量如表4.1所示。

表4.1常见刚体的转动惯量

刚体形状转轴位置转动惯量

细棒中垂轴（转轴通过中心与棒垂直）2

1

12

Jml

细棒

一端的垂直轴（转轴通过端点与棒垂直）2

1

3

Jml

薄圆环几何对称轴（转轴通过中心与环面垂直）2Jmr

薄圆环

任意直径为轴2

1

2

Jmr

圆盘

几何对称轴（转轴通过中心与盘面垂直）2

1

2

Jmr

圆盘任意直径为轴2

1

4

Jmr

续表4.1

4刚体定轴转动

17

刚体形状转轴位置转动惯量

球体

任意直径为轴2

2

5

Jmr

圆筒

几何对称轴22

12

1

()

2

Jmrr

在计算刚体对定轴的转动惯量时还常运用以下法则：

平行轴定理刚体对某轴的转动惯量J等于刚体对过质心

C，且与该轴平行的轴z

C的转动惯量JC与刚体质量m和两轴间

距离d的平方的积之和（图4.17）。即

2

C

JJmd（4.23）

定理的证明，读者可以参阅书后列出的有关参考书。

4.3.3刚体定轴转动定律

引入力矩概念以后，质点角动量对时间的变化率式（4.13）成为

d

dt



L

rFM（4.24）

即质点角动量对时间的变化率等于质点所受合力矩。注意式中L、M应对同一参考点计算。

对于质点系，其角动量对时间的变化率为

d

d

LMM外

内

ii

i

iii

t

（4.25）

式中

Li

i

——质点系的总角动量L；

M外i

i

——系统内各个质点所受外力的力矩之和，称为合外力矩，用M

外

表示。

因为任意一对内力对同一参考点的力矩之和为0，故对整个系统而言，

0M内i

i

。则

图4.17平行轴定理

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18

式（4.24）成为

d

d

L

M

外t

（4.26）

即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。

对定轴转动刚体，式（4.26）成为

dd()d

ddd

L

M





轴

J

JJ

ttt

（4.27）

此式称为刚体定轴转动定律，表明力矩的瞬时作用效果是产生角加速度；刚体角加速度的大

小与合外力矩成正比，而与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力矩的方向一致。

将刚体定轴转动定律M

轴

J与牛顿第二定律Fam类比，可以看到：转动问题中力

矩的地位和作用于平动问题中的力相当，而转动惯量的地位与平动问题中的质量相当。因此，

力矩是物体转动状态变化的原因，而转动惯量是物体转动惯性大小的量度。

4.3.4转动定律的应用

刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。牛顿运动定律应用的基础是受力

分析，而对于转动定律的应用，不仅要进行受力分析，还要进行力矩分析。按力矩分析可用

转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。在刚体定轴转动定律的应用中还常

常涉及与牛顿运动定律的综合。下面以具体的例子来介绍刚体定轴转动定律的应用方法。

【例4.6】如图4.18所示，一轻杆（不计质量）长度为2l，两端各固定一小球，A球质

量为2m，B球质量为m，杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成

角时的角加速度。

解：轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。系统运动形式为绕O轴的转动，

利用转动定律求解：

MJ①

先分析系统所受的合外力矩：系统受外力有3个，即A、B受到的重力和轴的支撑作用

力。轴的作用力对轴的力臂为0，故力矩为0，系统只受2个重力矩作用。以顺时针方向作为

运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，2个重力的力臂相等，为

sindl

，

故合力矩

2sinsinsinMmglmglmgl②

系统的转动惯量为2个小球（可看作质点）的转动惯量之和

22223Jmlmlml③

4刚体定轴转动

19

将式②③代入式①，得

2sin3mglml

解得

sin

3

g

l





图4.18轻杆绕中心轴转动图4.19匀质细杆绕一端的水平轴转动

【例4.7】如图4.19所示，有一匀质细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的水平轴O

在铅垂面内自由转动。当它自水平位置自由下摆到角位置时角加速度有多大？

解：杆受到2个力的作用，一个是重力，一个是O轴作用的支撑力。O轴的作用力的力

臂为0，故只有重力提供力矩。重力是作用在物体的各个质点上的，但对于刚体，可以看作

合力作用于重心，即杆的中心，力臂为cos

2

l

d。杆对O轴的转动惯量为2

1

3

ml。由刚体定

轴转动定律MJ，有

2

1

cos

23

l

mgml

解得

3

cos

2

g

l



【例4.8】如图4.20（a）所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A作为定滑轮，轮

上绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B和C。已知A、B、C的质量均为m，轮半径为

r，斜面倾角30。若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求装置启动后两

重物的加速度及绳中的张力。

大学物理教程（上册）

20

（a）（b）

图4.20定滑轮系统的运动及受力分析

解：A、B、C构成一个连接体，A轮沿顺时针方向转动，B物体向下运动，C物体沿斜

面向上运动。设A的角加速度为，B、C加速度的大小相等，设为a，绳子中张力的大小在

A、B间设为T

1、

1

T



（

1

TT



），在A、C间设为T

2、

2

T



（

22

TT



），T

1和T2不相等，否则轮

A受合力矩将为0，就不可能随绳子运动了，这显然不符合题意。

对滑轮A，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为0，

故力矩也为0，所以只有绳子的张力T1和T2提供力矩，由刚体定轴转动定律有

2

12

1

2

TrTrmr

对重物B，由牛顿运动定律有

1

mgTma





对重物C，由牛顿运动定律有

2

sin30Tmgma





由于轮子和绳子之间无相对滑动，A轮边缘的切向加速度和B、C加速度的大小相等，

aa



，利用角量与线量关系ar



有

ar

联立以上4个方程可解得

12

0.2,0.8,0.7agTmgTmg