三心定理
biref-频数分布直方图
2023年2月17日发(作者：环境分析报告)1
在不同的参考体中研究同一个物体的运动，看到的运动情况是不同的。例如，图7-1a
所示的自行车沿水平地面直线行驶，其后轮上的点M，对于站在地面的观察者来说，轨迹
为旋轮线，但对于骑车者，轨迹则是圆。
同一个物体相对于不同的参考体的运动量之间，存在着确定的关系。例如，图7-1a中，
点M相对于地面作旋轮线运动，若以车架为参考体，车架本身作直线平动，点M相对于车
架作圆周运动，点M的旋轮线运动可视为车架的平动和点M相对于车架的圆周运动的合成。
将一种运动看作为两种运动的合成，这就是合成运动
的方法。
在点的合成运动中，将所考察的点称为动点。动
点可以是运动刚体上的一个点，也可以是一个被抽象
为点的物体。在工程问题中，一般将静坐标系（简称
为静系）Oxyz固连于地球，而把动坐标系（简称为动
系）O'x'y'z'建立在相对于静系运动的物体上，习惯上
也将该物体称为动系。
选定了动点、动系和静系以后，可将运动区分为三种：(1)动点相对于静系的运动称为
绝对运动。在静系中看到的动点的轨迹为绝对轨迹。(2)动点相对于动系的运动称为相对运
动。在动系中看到的动点的轨迹为相对轨迹。(3)动系相对于静系的运动称为牵连运动。牵
连运动为刚体运动，它可以是平动、定轴转动或复杂运动。仍以图7-1a为例，取后车轮上
的点M为动点，车架为动系，点M相对于地面的运动为
绝对运动，绝对轨迹为旋轮线；点M相对于车架的运动
为相对运动，相对轨迹为圆；车架的牵连运动为平动。
例如，在图7-2所示的曲柄摇杆机构中，取点A为动
点，杆O
1
B为动系，动点的相对轨迹为沿着AB的直线。
若取杆O
1
B上和点A重合的点为动点，杆OA为动系，
动点的相对轨迹不便直观地判断，为一平面曲线。对比这
两种选择方法，前一种方法是取两运动部件的不变的接触
点为动点，故相对轨迹简单。
将某一瞬时动系上和动点相重合的一点称为牵连点
2
科氏加速度的方向垂直于角速度矢量和相对速度矢量。
①牵连运动为平动时科氏加速度为零
②牵连运动为转动时科氏加速度不为零
如图的导杆机构中构件2、3的重合点B的加速度合成关系中绝对运动为2构件上B点
绕A的转动，牵连运动为3构件绕C的转动，相对运动为2对3的移动，科氏加速度不为
零。
当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等于它的牵连加速度、相
对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
假设将右手（除了大拇指以外）的手指顺着转动的方向朝内弯曲，则大拇指所指的方向
即是角速度向量的方向
（3）在一些特殊情况下科氏加速度a
C
等于零：
ω
e
=0的瞬时；
v
r
=0的瞬时；
ω
e
∥v
r
的瞬时。
（1）科氏加速度是牵连转动（ω
e
）和相对运动（v
r
）相互
影响的结果。
rC
ω2va
e
sin2
rC
va
e
（2）a
C
的大小根据矢积运算规则：
a
C
的方向：
垂直于ω
e
与v
r
所确定的平面，
由右手规则确定。
ⅱ：科氏加速度
3
1.本章的教学目的及教学要求
1)明确机构运动分析的内容、目的及方法。
2)深入理解速度瞬心(绝对瞬心和相对瞬心)的概念,并能运用“三心定理”确
定一般平面机构各瞬心的位置。
3)能用瞬心法对含高、低副的简单平面机构进行速度分析。
4)能用图解法和解析法对平面Ⅱ级机构进行运动（速度和加速度）分析。
2.本章教学内容的重点及难点
本章讲述的重点是速度瞬心及“三心定理”的运用、平面Ⅱ级机构速度及加速
度矢量方程的图解法。至于矢量方程的解析法，则着重介绍机构位移方程的建
立问题。
3.本章教学工作的组织及学时分配
本章基本内容共讲授6学时。除理论教学外,本章安排实验课2学时（选做）,
使学生对机械运动参数测试方法有一个初步的认识。
3.1第1讲（2学时）
1)教学内容
本讲的教学内容包括机构运动分析的的内容、目的和方法；速度瞬心的概
念，瞬心的位置，“三心定理”及瞬心法在简单平面高、低副机构速度分析中的
应用。第1学时讲完“三心定理”。第2学时则着重举例说明“三心定理”的运用，
和应用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析。
4
2)教学方法
先讲机构运动分析的内容、目的和方法。为此提出：如果机构符合具有确
定运动的条件，则当其原动件按已知运动规律运动时，其他构件的运动也应都
是确定的。那么如何根据机构原动件的已知规律来确定其余构件的运动呢？这
就是机构运动分析要解决的问题。具体的说，机构运动分析的内容就是根据机
构中原动件已知的运动规律，分析确定该机构其他构件某些点的轨迹、位移、
速度和加速度，以及这些构件的角位移、角速度和角加速度。显然，机构运动
分析，不论是对于了解现有机械的运动性能以便合理有效地运用这些机器，还
是设计新的机械，都是十分必要的。
机构运动分析方法有两大类，一是解析法，二是图解法。解析法是将机构
中已知的运动参数与未知的运动参数和尺寸参数之间的关系用数学方程式表达
出来，然后求解。其特点是可以得到很高的计算精度。这种方法，在数学和理
论力学知识的基础上，掌握并不困难，而且运用算法语言和计算机的知识，可
以利用计算机求解。而图解则是列出机构运动的矢量方程之后以作图法求解。
由于其比较形象直观，而且对一般平面机构的运动分析来说使用也比较方便，
所以在工程上得到广泛地应用。正因为因此，必须熟练地掌握。然后提出，当
用图解法对一些简单的平面机构进行速度分析时，利用速度瞬心显得十分方便，
引出小标题“速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用”。
关于速度瞬心可按以下内容和顺序介绍：
速度瞬心的概念；绝对速度瞬心和相对速度瞬心；机构中瞬心的数目；机
构中各瞬心位置的确定：（a）通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置；（b）
不直接相联的两构件的瞬心位置。提出问题，介绍“三心定理”。再具体举例说
5
明应用三心定理确定有关瞬心的位置。并提示学生：在利用三心定理确定有关
瞬心位置时，可用瞬心代号脚注标号消去的简便方法。例如,在确定瞬心P13的
位置时，由于当瞬心代号P12和P23相同的脚注标号“2”去掉后，剩下的是“1”
和“3”，所以P13必在P12和P23的连线上。同理，P13也一定在P14和P34
的连线上,故P13的位置是P12,P23连线和P14,P34连线的交点。
最后介绍瞬心法在平面机构速度分析中的应用。可分别举一个低副机构和
一个高副机构的例子。在举例中，一定要强调“速度瞬心是互作平面相对运动的
两构件上的瞬时等速重合点”这一基本概念。
3)教学手段
本节的教学手段主要是利用课堂黑板画图，特别是讲授图解方法时，应边
讲边画，到一定阶段时小结、提问并适当讨论，以加深学生的理解和印象。
4)注意事项
本章的重点有两个，一是要使学生掌握确定机构中各瞬心位置的方法。为
此可以指导学生在确定机构中各瞬心的位置时，先列出所有的瞬心，然后确定
出以运动副直接相联的两构件的瞬心位置；至于不直接相联的两构件瞬心位置
的确定是本节的难点内容，可根据“三心定理”运用瞬心代号脚注标号消去法来
确定。二是使学生明确“速度瞬心是互作平面相对运动的两构件上的等速重合
点”，这一基本概念在讲解时一定要反复强调。因为瞬心法正是利用这一概念来
进行速度分析的。
3.2第2讲（2学时）
1)教学内容
6
用矢量方程图解法作平面机构的速度分析和加速度分析。矢量方程图解法
的基本原理和方法讲1学时；另1学时讲授用矢量方程图解法作平面机构的的
速度及加速度分析。
2)教学方法
开始可先提出:上讲说明，对简单的平面机构用瞬心法进行速度分析十分方
便。但对于多杆机构，由于瞬心数目多，所以瞬心法就比较繁琐。加之有时瞬
心往往落在了图纸的外面，给解题带来一定的困难。而且瞬心法只能用来进行
机构的速度分析，如需要进行加速度分析，瞬心法就无能为力。还必须介绍另
外一种方法—矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析。从而引出本讲的标
题“用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析”。
用矢量方程图解法对机构进行运动分析所依据的基本原理是我们在理论力
学中已经很熟悉的“相对运动原理”。我们先介绍这种方法的基本原理和方法。
引出小标题“矢量方程图解法的基本原理和方法”。下面分别就同一构件上两点
之间的速度及加速度关系和组成移动副的两构件上重合点之间的速度及加速度
关系两种情况加以介绍。先讲相对运动原理，再根据相对运动原理列出矢量方
程式，然后逐项分析各矢量的大小及方向，并用有向线段表示各个矢量，即对
各矢量的方程进行作图求解。在讲授过程中要介绍长度比例尺、速度比例尺及
加速度比例尺的意义和运用。并要着重讲清楚法向加速度和哥氏加速度方向的
确定问题。同时应注意归纳总结出影象原理。
矢量方程图解法的基本原理和方法讲完后，再介绍本讲的第二部分内容：
“用矢量方程图解法作机构的速度分析及加速度分析”。通过两个例子，一个无
7
哥氏加速度，一个有哥氏加速度（如时间紧张，也可介绍一个有哥氏加速度的
例子），着重讲清解题的思路、步骤和方法。边讲边讨论。
3)教学手段
讲解时主要利用黑板画图，边讲，边提问，边讨论，边作图，要使学生至
始至终参与矢量方程的图解过程。主要概念要以提问的方式启发学生思考，讨
论清楚。在解题过程中重点使学生掌握基本原理和基本方法，至于具体数据和
计算结果教师可直接给出。
4)注意事项
i)关于比例尺的问题。在用图解法解题时，要把一个实际量（如长度、速度、
加速度、角度、角速度、角加速度等）用一线段在图面上表示出来，这就有个
比例尺问题。本课程所用的比例尺的共同特点是实际量（按法定计量单位）在
分子，表示该实际量的线段图示长度（以mm记）为分母。因此，如果用图中
量出的代表某实际量的线段的长度（mm），乘以相应的比例尺，即可得到该
实际量。反之，如果已知的是某实际量，则除以相应的比例尺，即可求得在图
中表示该实际量的线段的长度（mm）。关于这些特点要特别提醒学生注意。
特别是本课程采用的长度比例尺μl与机械制图课程中图纸的比例尺M的区别，
学生在思想上容易混淆，所以要着重强调。
ii)关于法向加速度和哥氏加速度的方向的确定问题。学生在作机构的速度
多边形时一般不会发生什么错误，但在做加速度多边形时却常常把法向加速度
和哥氏加速度的方向搞错。例如法向加速度anBA的方向是沿机构图中的AB
杆由B指向A，而不是在加速度多边形中由b＇点指向a＇点。哥氏加速度的
方向是将相对速度沿牵连角速度转90°来确定的。显然，如果把相对速度或牵
8
连角速度的方向搞错了，哥氏加速度的方向也就错了，这是学生常犯的一个错
误。在讲授这些问题时都要反复的交待清楚。
3.3第3讲（2学时）
1)教学内容
用矢量方程解析法对平面机构进行运动分析。
2)教学方法
上面我们介绍了机构运动的矢量方程图解法。这种方法比较形象直观，而
且对一般平面机构的速度及加速度分析应用也比较方便。但由于是图解法，所
以精度不会高，而且当需对机构的一系列位置进行运动分析时，必须反复作图，
也比较繁琐，特别是这种方法不便于把机构的分析问题和综合问题联系起来，
所以随着科学技术和工业的发展，已显得不能满足要求。但解析法是把机构中
已知的运动参数（即原动件运动参数）和各构件的尺度参数与未知的运动参数
（即从动件的运动参数）之间的关系用数学方程式表达出来，然后求解。而这
类方程，应用现代计算技术求解一般并不困难，并可得到很高的精度。而且如
果我们已知的是机构原动件和从动件运动参数之间的关系，也可利用这类方程
定出机构各构件未知的尺度参数，这便是机构综合问题了。这就是说解析法便
于把机构的分析问题和综合问题联系起来。正因如此，所以解析法得到越来越
广泛的应用。
机构分析的解析法也有多种不同的具体方法，如复数法、矩阵法等等。但
它们的具体方法虽有所不同，而解题的思路和步骤却是大同小异的。在课堂上
9
可以只介绍一种方法，如矩阵法。介绍时以四杆机构为例，着重介绍位置方程
的建立，至于速度方程和加速度方程则不必过多的推导。
基本方法介绍完后，再举一个六杆机构的例子，进一步介绍机构位置方程
的建立。
3)教学手段
本讲主要是利用黑板进行分析讲解。边讲边写，逐步推导。可利用计算机
软件，将所讲例题具体参数输入，进行计算结果和图像显示，效果会更好。
4)注意事项
本讲的讲述重点是机构位置方程的建立包括坐标系、封闭矢量方程、位置
方程的建立，着重介绍思路和步骤，在具体公式的推导方面不要花过多的时间。