波函数的物理意义

波函数的物理意义

专职司机-种子成熟

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§3.3波函数及其物理意义

一、微粒的波函数描述

自由粒子平面波

自由粒子不受力，动量不变，所以同

它联系的波长（

p

h

）也不变，是单色

波，设一平面波沿速度



的方向传播，该

方向的单位矢量为

n



，即

n







，t时刻，

代表平面单色波的波动方程：

)(cos

0

n

p

r

t







nrr

r

n







cos

OPr



：原点到波面任意一点矢量

)t(2cos)t

cos

(2cos

00

















nrr



欧拉公式：sincosiei取“＋”

)t(2

0











nr

ie



――沿

n



方向传播的、波长为、频率为的平面简谐波方程。

用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：

hE

n

h

p







)(

0

Etpr

i

e





――自由粒子的波函数，描写动量为

p



、能量为E的自由粒子。

经典力学位置和速度量子力学波函数

波函数体现了波粒二象性，其中的E和

p



是描写粒子性的物理量，却处在一

个描写波的函数中。

二、波函数的物理意义

1926年，德国物理学家玻恩：

2),,,(tzyx

表示t时刻、（x、y、z）处、单

位体积内发现粒子的几率。

如图为电子衍射的强度分布图。用粒

子的观点，极大值处意味着到达的电子多，

2

极小值处意味着到达的电子少。从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极

小值处表示波的强度小。

如果用玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。因为2),,,(tzyx

即波

的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电子的几率密度。如果2),,,(tzyx

大，

则电子出现几率大，因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；反之，如

果

2),,,(tzyx

小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小

值处。

*),,,(2tzyxW表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。

t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元

dxdydzdV

内发现粒子的几率：

dVtzyxtzyxdW2),,,(),,,(

三、波函数的标准条件及归一化

1．波函数必须单值、有限、连续。

单值：在任何一点，几率只能有一个值。

有限：几率不能无限大。

连续：几率一般不发生突变。

2．归一化条件

由于粒子总在空间某处出现，故在整个空间出现的总几率应当为1：

1),,,(2dVtzyx

例：设有波函数2/2)(xCex

（x），试由归一化条件确定归一化

常数C。

解：1*)()(222









CdxeCdxxxx

4/1C――归一化常数。