秦皇岛学校
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2023年2月13日发(作者：)河北省秦皇岛市部分学校2023届高三上学期开学摸
底数学试题
一、单选题
1.已知集合，则（）
A．B．C．D．
2.命题“”的否定为（）
A．B．
C．D．
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的
点数不小于3，则事件A与事件B（）
A．相互独立B．对立C．互斥但不对立D．概率相等
4.已知向量满足，且，则
（）
A．4
B．C．D．
5.已知角的终边在射线上，则（）
A．或B．
C．
D．
6.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角
为，则直线与平面所成的角为（）
A．B．C．D．
7.若直线与圆交于A，B两点，
则面积的最大值为（）
A．4B．8
C．D．
8.已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为
（）
A．e
B．
C．
D．
二、多选题
9.已知函数，则（）
A．为其定义域上的增函数B．为偶函数
C．的图象与直线相切D．有唯一的零点
10.某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进
行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和
年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的
平均值分别为．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员
得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，则以下结论
正确的为（）
A．当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润
估计值为75.6（百万元）（取）
B．
C．方程比方程拟合效果好
D．y与x正相关
11.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，
再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，
均成立，且相邻的两个最小值点间的距离为，则（）
A．的最大值为1
B．
C．在上单调递减
D．对任意的，均有成立
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，且
，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直
线与斜率的乘积为1，则（）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
三、填空题
13.若复数z满足（i为虚数单位），且z为实数，则实数a的值
为_____________．
14.已知函数满足：①，都有成立；
②．请写出一个符合上述两个条件的函数_____________．
15.已知数列中，，且则
_____________．
16.在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，点M
为的垂心，且平面，若三棱锥的外接球体积为，
则_____________．
四、解答题
17.已知数列的前n项和为，当时，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
18.已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量
，且．
(1)求角C
(2)若，D为的中点，，求的面积．
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，
，平面平面，M，N分别为线段和的中
点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
20.“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以
斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平
的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛
采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局
乙开球，第三局甲开球……），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局
比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并
且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为，求．
21.已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴
的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P
与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
22.已知函数．
(1)若在处的切线l与直线平行，求切线l的方程；
(2)证明：当时，对任意的恒成立．