工程问题公式
地下防水工程质量验收规范-崔忠华
2023年2月17日发(作者：三官经全文)小学数学中工程问题的公式应用
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某
项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它
们之间的基本数量关系是
工作量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做
“工程问题”.
举一个简单例子.
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几
天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效
率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，甲、
乙的工作效率就分别是1/10、1/15，再根据基本数量关系式，得到
所需时间=工作量÷工作效率=1÷[（1/10）＋(1/15)]=6（天）•
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题。
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），还可以把工作量多
设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.
那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是：
30÷（3+2）=6（天）
另外，因为“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙
工作效率的比是（1/10）：（1/15）=15∶10=3∶2.当知道了两者工
作效率之比，从比例角度考虑问题，也就马上明确甲乙所需需时间比
是2：3.
因此，我们在解工程问题时，既可以用“把工作量设为整体1”
的做法，也可以采用“整数化”或“从比例角度出发”的做法，从而
使我们的解题思路更灵活一些.
《一》、两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集
体.
例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在
甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全
部工作？
解一，用“把工作量设为整体1”的作法：
{1-[(1/9)×3]}÷(1/6)=4(天)
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天
完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18-2×3）÷3=4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
（1/9）：（1/6）=6∶9=2∶3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.已知乙单独完成全部工作需要
6天。那么，乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
例2，一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6
天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙
单独完成各需要多少天？
解：共同做了6天后，
余下的工程，本来应该是甲做24天，乙做24天的工作量，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明，乙除了用24天做完了自己本来能够完成的24天的工
作量，还用16天做完了原来甲24天能够做的工作量。因此甲的工作
效率与乙的工作效率的比是（1/24）：（1/16）=2：3，
因为甲乙工作效率的和是1/30，所以
甲的工作效率是，（1/30）÷（2+3）×2=1/75
乙的工作效率是，（1/30）÷（2+3）×3=1/50
如果甲独做，所需时间是，1÷1/75=75(天)
如果乙独做，所需时间是，1÷1/50=50（天）
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3，某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；
如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后
再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解一：先对比如下：
独做，甲先独做63天，再由乙独做28天；
合作，甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由
此得出结论，甲的少做的15天的工作量等于乙多做的的20天的工作
量，就是说在同样工作量的前提下，甲、乙独做需要的工作天数比是，
15：20=3：4，
现在甲先单独做42天，比48天少做了48-42=6（天），这样甲
少做的6天的工作量，就要由乙在做完自己48天的工作量的基础上，
多做相当于甲6天的工作量。在都做相当于甲6天的工作量的时候，
甲所用的6天和乙所用的天数的比与3：4成正比。就是：
3：4=甲在48天之内少做的天数6：乙在48天之外要多做的天数，
乙在48天之外还要做的天数就是，4×6÷3=8
因此，乙还要做48+8=56（天）.
答：乙还需要做56天.
解二，先对比如下：
独做，甲先做63天，乙后做28天；
合做，甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由
此得出结论，甲的15天的工作量等于乙的20天的工作量，
由此得出，甲的工作效率是乙的工作效率的倍数：
（1/15）÷（1/20）=4/3倍，
因为如果由甲、乙两人合作，需48天完成.所以甲、乙工作效率
的和是1/48，
根据和倍问题的解题法则可求出，
乙的工作效率=（1/48）÷[(4/3)+1]=1/112
甲的工作效率=（1/112）×（4/3）=1/84
现在甲先单独做42天，那么甲在42天中的工作量就是：
（1/84）×42=1/2
乙要单独完成的工作量就是：1-（1/2）=1/2
乙需要做的时间就是：（1/2）÷（1/112）=56（天）
答：乙还需要做56天.
例4，一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完
成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在
两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：因为已知，“其间甲队休息了2天，乙队休息了8天”，
所以甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量：
（1/10）×8+（1/30）×2=13/15
余下的工作量是，
1-（13/15）=2/15
由两队共同合作的需要的天数是，
（2/15）÷[(1/10)+(1/30)]=1
从开始到完工共需要的天数是，
2+8+1=11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1
份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）,8+2+1=11
（解法二最简单）
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）的工作
量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙
队）6-2=4（天）工作量.
乙队独做4天的工作量，正好是甲乙两队合做一天的工作量，其
中乙队3天的工作量可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
8+2+1=11（天）
（解法三也很简单）
例5，一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完
成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.
从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是
[（1/20）+(1/30)]×16=1+(1/3)
因为这[1+(1/3)]的工作量是在假设16天两队都不休息的情况
下发生的，实际是不可能的。因为一个工程的全部工作量就是“1”，
为什么会多出了（1/3），实际上这（1/3）是两队休息期间未做的工
作量。
两队休息期间未做的工作量是
[1+(1/3)]-1=1/3
这（1/3）中首先包括甲队休息了3天的工作量，（1/20）×3=3/20
乙队休息期间未做的工作量是（1/3）-（3/20）=11/60
乙队休息的天数就是：（11/60）÷（1/30)）=5.5（天）
答：乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2
份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16-60=20（份）.
因此乙休息天数是
（20-3×3）÷2=5.5（天）.
【解二的解法很简捷，很便利，也很好理解，这种解法是很有意思的。】
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
假设：如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当
于乙队6天工作量；
假设：如果乙队也16天不休息的话，那么，甲队余下的4天相
当于乙队6天的工作量，肯定要有乙队去完成；
另外甲队休息的3天相当于乙队4.5天的工作量，也一定要由乙
队去完成。
所以乙休息天数是：16-6-4.5=5.5（天）.
例6，有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完
成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20
天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需
要多少天？
解一：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效
率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成
4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.
由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
解二：[1-（1/15）×8]÷[(1/15)+(1/20)]=48+4=12
例7，一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，
乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的
乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需
多长时间？
解一，分析：从已知条件可知，
如果甲单独做，可比规定时间提前2天完成；
如果乙单独做，则要超过规定时间3天完成；
甲比乙所需天数少5天。
又因为甲乙合作2天后，乙单独接着干并在规定日期内完
成，所以合作期间甲干的2天的工作量就等于乙3天的工作量。
所以甲的工作效率就是乙的3/2倍.
因为工作效率和工作时间成反比，所以，完成同样的工作量，
乙所需要的的工作时间就是甲的3/2倍。
根据差倍问题解题规律可知，甲单独干需要的天数就是：
5÷[（3/2）—1]=10
乙单独干需要的天数就是：10+5=15
甲乙合作需要的天数就是：
1÷[（1/10）+（1/15）]=6（天）
答：甲乙合作完成工作需要6天。
《二》，多个人的问题
例8，一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合
作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少
天完成？
解一：设这件工作的工作量是1.
甲乙两人的工作效率的和（1/36），乙丙两人的工作效率的和是
（1/45），甲丙两人的工作效率的和是（1/60），
甲、乙、丙三人合作每天可完成：
[（1/36）+（1/45）+（1/60）]÷2=1/30
甲、乙、丙三人的工作效率的合减去乙、丙两人的工作效率的和，
就等于甲的工作效率：（1/30）-（1/45）=1/90
甲一人独做需要的天数就是：1÷（1/90）=90（天）
答：甲一人独做需要90天完成.
解二，例7也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合
作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3
份。那么，甲一人独做需要的天数就是：
180÷{[（5+4+3）÷2]-4}=90(天)
例9，一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24
天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲
做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，
终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
解一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
按照这样的轮做天数的比例，甲每做一天，甲乙丙共做10天，
因为丙做的最慢才是24天，那么三人轮做需要的天数一定会少
于24天，
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），
三人一共做了，2+6+12=20（天）.
答：总共用了20天.
解二，本题整数化会带来计算上的方便.
12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.
设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成
3.
按照甲1天、乙3天、丙6天的比例求出三人共10天的工作量
是，（6×1）+（4×3）+（3×6）=36
总共用了72÷36×10=20（天）
答：总共用了20天
解三：1÷[1×(1/12)+3×(1/18)+6×(1/24)]×(1+3+6)=20
例10，一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休
息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程
由甲独做需要多少天？
解一：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是
乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.
也就是说甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率
的3倍.
那么，甲、乙、丙三人工作效率之比就是3∶1∶2，
甲、乙、丙三人工作效率的和是1/13，那么甲的工作效率就是，
[（1/13）÷（3+1+2）]×3=1/26
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要
1÷(1/26)=26(天)
答：甲独做需要26天
解二，丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙
的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也
就是说甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的
3倍.
那么，甲、乙、丙三人工作效率之比就是3∶1∶2，
那么，甲做1天，相当于乙、丙合作1天.
他们3人合作13天完成的工程，甲自己用13天的时间完成了其
中的一半，如果要甲一个人完成全部工程的话，那就要甲再干13天，
就行了。）
13×2=26（天）答：甲独做需要26天
例11，某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也
能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成1÷（3×8）=1/24
乙组每人每天能完成1÷（4×7）=1/28
甲组2人和乙组7人每天能完成
[（1/24）×2]+[(1/28)×7]=(1/12)+(1/4)=4/12=1/3
1÷(1/3)=3(天)
答：合作3天能完成这项工作.
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天也能完成；乙组4
人7天能完成，因此7人4天也能完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
这时甲组的工作效率是1/12，乙组的工作效率是1/4，
1÷[(1/12)+(1/4)]=3(天)答：合作3天能完成这项工作.
例12，制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车
间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能
完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件
2400个.问丙车间制作了多少个零件？
解一：仍设总工作量为1.
甲车间工作效率是1/10；
乙车间的工作效率是（1/6）-（1/10）=1/15；
丙车间的工作效率是（1/8）-（1/15）=7/120
那么，甲每天比乙多完成，或者说甲、乙的工作效率之差是
（1/10）-（1/15）=1/30，
因为上述的1/10、1/15、1/30分别也是工作总量1/10、1/15、
1/30，并且已知甲比乙多完成了2400个，那么，2400个就是工作
总量的1/30，
根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法的原则，
因此这批零件的总数是，2400÷（1/30）=72000
丙车间制作的零件数目是，72000×（7/120）=4200（个）
答：丙车间制作了4200个零件.
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30
份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完
成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14
（份），
乙、丙工作效率之比就是，16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合起来，甲、乙、丙三人工作效率之比是，12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷（12-8）×7=4200（个）.
答：丙车间制作了4200个零件.
例13，搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，
丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时
开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两
个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解一：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共
同完成工作量2，所需时间是
2÷[（1/10）+（1/12）+（1/15）]=2÷(1/4)=8
甲在A仓库8小时的工作量是，（1/10）×8=4/5
甲需要丙帮忙的工作量是，1-（4/5）=1/5
丙需要帮甲搬运的时间是，（1/5）÷（1/15）=3（小时）
乙在B仓库8小时的工作量是，（1/12）×8=2/3
乙需要丙帮忙的工作量是，1-（2/3）=1/3
丙需要帮乙搬运的时间是，（1/3）÷（1/15）=5（小时）
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解二，解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.
本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库的全部工作量为60
（10、12、15的最小公倍数）.那么，甲每小时搬运6，乙每小时搬
运5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60×2÷（6+5+4）=8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60-6×8）÷4=3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60-5×8）÷4=5（小时）.
《三》、水管问题。从数学的内容来看，水管问题与工程
问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量
就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有
注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题
与工程问题的解题思路基本相同.
例14，甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开
甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙
管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
解，已知甲管注水9分钟，乙管注水9分钟，水池注满，
现在甲管注水13分钟，乙管注水3分钟，水池注满
甲管多注了4分钟，乙管少注了6分钟，
这说明：甲管4分钟的注水量=乙管6分钟的注水量，
因为甲管每分钟比乙管多注0.6立方米，那么，
甲管4分钟的注水量=乙管4分钟的注水量+4×0.6（立
方米），
即：乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管6分钟的注水量
也就是：乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管4分钟的注水量+乙
管2分钟的注水量，
由此得出：2.4立方米=乙管2分钟的注水量，
乙管每分钟注入水量就是：2.4÷2=1.2（立方米）
甲管每分钟注水量是：1.2+0.6=1.8（立方米）
水池的容积就是（1.2+1.8.）×9=27（立方米）
答：水池的容积是27（立方米），
例15，有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中
若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，
就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增
开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
分析：
增开水管后，水管的根数是原来的2倍，
注水时间是原来的2倍即[1-（1/3）]÷（1/3）=2（倍）
因为时间和水管都增加了1倍，所以，增开水管后（即预定时间的
后2/3时间段）的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。
前后两段时间的注水量之比为，1：4，
那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量就是全部注水量
的1/5，即：1/（1+4）=1/5。
如果开始时，10根水管同时打开，能按预定时间注满水，所以，
在预定时间段，每根水管的注水量是1/10，（设水池容量是1），
预定的1/3时间内，每根水管的注水量是（1/10）×（1/3）=1/30
那么，要在预定的1/3时间段注满水池的1/5，需要水管，
（1/5）÷（1/30）=6（根）
解：设水池的容量为1，
前1/3的时间内1倍的水管和后2/3的时间内2倍的水管的注
水量之比为，
[（1/3）×1]：{[1-（1/3）]×2}=1：4
前1/3的时间段的注水量是：1÷（1+4）=1/5
因为已知在预定时间段，每根水管的注水量是1/10，所以
每根水管在预定1/3的时间注水量为：（1/10）×（1/3）=1/30
所以，开始时打开水管根数是：（1/5）÷（1/30）=6（根）
答：开始时打开6根水管。
例16，一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙
头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把
水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
解一：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
蓄水池，每分钟流入4立方米水；
5个水龙头，2小时半就把水池水放空；
8个水龙头，1小时半就把水池水放空；
2小时半比1小时半多60分钟，60分钟多流入水是
4×60=240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
240÷（5×150-8×90）=8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8×8×90，
其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水
8×8×90-4×90=5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去要放出每分钟
流入的4，其余将放出原存的水，放空原存的5400（立方米），需要
5400÷（8×13-4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
注意：水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要
分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是
隐含着的.
解二，本题用列方程解可能更容易理解。
设1根水管每分钟放出水X立方米，那么，
5根水管150分钟放水为，5X×150=750X（立方米），
8根水管90分钟放水为，8X×90=720X（立方米），
依题意得方程为，
5X×150－8X×90=240，
解方程，750X－720X=240X=8
因此，5根水管150分钟放水为，5×8×150=6000
其中，150分钟内流入水量是4×150=600
所以，原来水池中存有水是，6000-600=5400
打开13个龙头每分钟可放出水8×13，除去每分钟流入的4，，
其余将放出愿存的水，将水池放空需要的时间是，
5400÷（8×13-4）=54（分钟）
例17，一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固
定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满
池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，
要几小时才能将满池水排空？
解：设满水池的水量为1.
A管每小时排出
（1/8）+（1小时渗水量）
A管4小时能排出
[（1/8）+（1小时渗水量）]×4=（1/2）+（4小时渗水量）
因为A、B两管4小时可以将水排空，所以B管4小时可排出，
1-[（1/2）+（4小时渗水量）]=(1/2)-（4小时渗水量）
所以B管每小时可排出，
[(1/2)-（4小时渗水量）]÷4=（1/8）-（1小时渗水量），
C管每小时排出
（1/12）＋（1小时渗水量）
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是，
[（1/8）-（1小时渗水量）]+[（1/12）+（1小时渗水量）]=5/24，
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是
1÷(5/24)=4+(4/5)(小时)=4（小时）48（分）
答：B，C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量，由于不知
具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样，把满水池的水量
设成“1”，但这两种量要避免混淆.就把渗水量以“1小时渗水量”
设定为计量单位。事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的
最小公倍数24。
例18，蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满
一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开
乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、
丙、丁、甲、乙„„的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水
池？
分析：甲管每小时进水量1/3，丙管每小时进水量1/5，乙管每小
时排水量1/4，丁管每小时排水量1/6，
因此，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙„„的顺序轮流打开1小时，那么
每4小时循环一次，每一次循环后水池的容积的增加量也就是
[（1/3）-（1/4）+（1/5）-（1/6）]=7/60（水池容量），
因为在水池内原来有六分之一的水，那么，在开始工作前，池内
尚有空间，1-（1/6）=5/6
为了防止最后一次甲乙丙丁4管循环还没有进行结束，水就开始
溢出，但4管循环一次的时间（4小时）已经计算在内了的情况发生，
我们把进水量最大的甲管一小时进水量（水池容量的1/3）预留出来，
那么，池内的空间就变成：
1－（1/6）－（1/3）=（5/6）－（1/3）=1/2（水池容量），
1/2（水池容量）可供四管循环供水的次数就是：
（1/2）÷（7/60）=30/7=4又2/7（次）
4又2/7（次）就是说循环4次还灌不满水池，水池还有（2/7）
×（7/60）=1/30的空间需要灌水，如果仅凭这1/30的空间是不
够再一次的循环的，但是因为，我们已经提前预留了1/3的水池容量，
所以，再进行第五次循环，是完全可以的，那么循环5次的灌水量
就是：（7/60）×5=7/12；
加上池内原有1/6池水，现在，池内有水：
（7/12）＋（1/6）=9/12=3/4
这就是说，还需要灌水：1－（3/4）=1/4
因为，甲管一小时进水量是1/3，需要单开甲管灌水时间是：
（1/4）÷（1/3）=3/4（小时）=45（分钟）
之前5次循环已用时间4×5=20（小时）
所以20小时45分钟后，水开始溢出。
解：
1－（1/6）－[（1/3）-（1/4）+（1/5）-（1/6）]×5
=（5/6）－（7/60）×5=1/4（水池容量）
4×5=20（小时）
（1/4）÷（1/3）=3/4（小时）=45（分钟）
答：20小时45分钟后，水开始溢出。
《四》青蛙爬井问题（从数学的内容来看，青蛙爬井问
题与工程问题是一样的.青蛙爬井相当于一项工程，上爬量和下滑量
就是工作量.单位时间里的上爬量或下滑量就是工作效率.至于又有
上爬又有下滑的问题，不过是工作效率有加有减罢了.因此，青蛙爬
井问题与工程问题的解题思路基本相同）
例19，一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，
每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬
到井口？
解：因为青蛙爬枯井的速度有两种，
第一种是在离井口3米以下，每小时爬上3尺，又滑下2尺，这
段时间的速度，实际上就是每小时上爬了1尺；
第二种是在离井口最后的3尺的时候，青蛙就直接爬到井口上
了，而不能再滑下来了，此时的速度就是每小时3尺；
所以，青蛙爬井所需时间要有在两种不同速度下而产生的两种不
同的时间段相加所得。即
（30－3）÷（3－2）＋3÷3＝27＋1＝28（小时）
答：青蛙需要28小时才能爬到井口.