弧长计算公式

弧长计算公式

当代大学德语1-大班安全教育目标

2023年2月16日发(作者：海南政法职业学院)弧 长 公 式（二） 清华附中 李娜 教学目标： 1．使学生灵活应用弧长公式解决相关问题． 2． 进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力， 提高学生综合运用所学知识分 析问题和解决问题的能力，培养学生逻辑思维能力． 3．创设情境激发学生对数学的"好奇心、求知欲"；营造"民主、和谐"的课堂氛围，让学 生在愉快的学习中不断获得成功的体验．培养学生以严谨求实的态度思考数学． 教学重点：应用弧长公式进行计算． 教学难点：弧长公式的灵活应用． 教学方式：体验式． 教学手段：常规教学用具，计算机及课件． 教学过程： 一、复习提问 复习弧长公式： ，并请学生说出对公式的理解． 二、创设情境，解决问题 例 1：同学们看到的这个由九个小正三角形、一个大正三角形和一些曲线组成的优美的 图案，它不仅是旋转对称图形，也是轴对称图形．已知小正与大正三角形的边长比为 1：3， ， 求美丽的外围曲线的长度． 计算机演示曲线的形成过程，闪动外围曲线．学生思考并回答问题： ① 你看到了什么在做什么运动？ ② 外围曲线是怎样形成的？ ③ 在大三角形每条边上滚动的情况一样吗？ 学生回答，补充完善后，教师说明：我们观察到，正在绕着大正三角形滚动．在滚动的 过程中，外围的曲线就是三角形的一个顶点 A 所走过的路径．我们可以简化研究在一条直线 上滚动时，点所经过的路径的长度． 设计意图：由一个美丽的图形引出问题，激发学生探询新知的欲望． 步骤 1：如图，在正中， ，正在一条直线顺时针滚动一周，求点所经过的路径的长度．教师几何画板演示图形的运动过程，同时启发学生思考并回答下面几个问题： ① 点所经过的路径是什么图形，为什么？ ② 每一段圆弧所在圆的圆心和半径如何？圆心角如何？ 教师板书： 圆心 半径 圆心角 弧长 (1) 点 ． (2) 点 ． (3) 点 0 0 所以，点所经过的路径的长度为． 教师总结：三角形在滚动的过程中，点经过的路径是两段圆弧．对于每一段圆弧，考虑 到应用弧长公式，解决此类问题的关键是确定每一段圆弧的圆心、半径和圆心角． 步骤 2：在大正三角形的边缘顺时针滚动后回到原来的位置，求点所经过的路径的长度． 教师引发学生思考并回答下面的问题：x0c①我们在步骤 1 中解决了什么问题？ ③求出外围曲线的长度． 外围曲线的长度为． 设计意图：在这个过程中，学生体验研究类似问题的过程和方法．体验到研究复杂问题 可以从简单问题入手，同时体验到解决这个问题的关键是确定每一段圆弧的圆心、半径和圆 心角，这样突出重点，突破难点． 例 2：有一历史遗留的圆弧形桥拱，由于时间久远，桥拱面已经损坏，市政府要对桥拱 面重新修复．已知桥拱的跨度为米，拱高为 5 米，拱面宽为 10 米，求所要修复的桥拱面的面 积． （结果用表示） 教师引发学生思考下面的问题： ① 如何将实际问题转化为数学问题？ ② "有一圆弧形桥拱"这句话给我们解题提供什么信息？ ③ 画出解决此实际问题的几何图形？ ④ 要求拱桥面的面积，缺少什么条件？ 学生画图，写出计算过程，然后交流、反思、总结．此问题的答案是． 设计意图：这是一个实际问题，首先应该把实际问题转化为数学问题，这是数学建模的 过程．然后挖掘条件，解决此问题的关键是求桥拱的截面图的弧长． 三、巩固练习 1．练习：如图，在中，,在直线上滚动一周后，求点所经过的路径的长度．设计意图：学生类比联想，总结反思解决这个问题的过程和方法． 2．思考题：如图，为正三角形，曲线叫"正三角形的渐开线"，其中弧，弧，弧的圆心依 次按、 、循环，它们依次相连接，如果，求曲线的长． （依时间而定，也可课后思考． ） 四、课堂小结 1．学生自己总结，并在班上交流 2．结合学生所述，教师给予指导 ①解决问题要抓住事物的本质．这节课解决问题的关键是先确定曲线为圆弧，然后应用 弧长公式，要找准所在圆的半径和对应的圆心角． ②将生活中的实际问题自觉的转化为数学问题， 体会到"数学源于生活， 又服务于生活"． ③研究问题，一般遵循着从简单到复杂的原则． 五、布置作业 必做题：三新练习册 P61． 思考题：秋千拉绳长 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高 处踩板离地面 2 米（左右对称） ，求该秋千所荡过的圆弧长．x0c教学反思： 一、 设计思想： 本节课是华东师大版教材九年级 （上） 24 章 23.3 圆中的计算问题―― 第 弧长公式的第二节课．从知识结构来看，它是旋转问题和圆中的计算问题――弧长公式的延 续；从解决问题的思想方法来看，体现了从简单到复杂的研究问题的方法．在教学的过程中， 培养学生自主探索、合作交流，在观察与反思中体验解决问题的方法．同时教师借助于图形 运动、多媒体教学手段，促进学生不断体验、不断反思，引发学生的学习积极性，培养他们 合作、交流解决问题，充分发挥学生在学习过程中的主体作用．在教学中同时完成三项基本 任务：掌握知识和技能，发展学生的智力和能力，渗透数学教育的德育观点． 二、学生情况：11 班是普通班，学生基础比较扎实，上课气氛一直不错．虽然初三年级 的学生在课堂中已不象初一、初二年级时那样活跃，他们的学习行为趋于理性化，即使有想 法也不会贸然举手发言．但是思维的成熟度、求知欲望要比以往强．因此营造的课堂气氛要 能充分激活学生的创造欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇心的学，留给学生足够的 自主活动、相互交往活动的空间，让学生在实践与观察中不断体验与反思，发现数学问题， 在实践中日益领悟数学思想． 三、教学内容特点：第一个例题是一个纯数学问题，从一个漂亮的图案提出问题，学生 分析曲线的形成过程后，可以简化研究正三角形在一条直线上滚动时，某一顶点所经过的路 径的长度．解决这类问题关键是先明确曲线为几段圆弧，然后引导学生弄清每一个分段过程 的旋转中心、旋转半径和旋转角度．根据扇形的弧长公式求出某顶点经过的路径有多长．在 这一过程中，学生体验解决问题的过程和方法．第二个例题是一个实际问题，学生应该自觉 的将实际问题转化为数学问题，这是数学建模的过程．解决这个问题的关键是求出圆弧所在 圆的半径和圆心角的度数，然后代入弧长公式求弧长．随后两道练习题是检验学生对前面所 学知识的掌握情况．学生在解决问题的过程中，应不断体验、不断反思，学会解决问题的思 想方法．学生的思维和体验达到高点． 四、流程框图： 数学问题 化简研究 解决问题实际问题数学问题解决问题五、教学方式及其实用性：根据本节课的教学内容特点及学生的实际水平，我采用体验 式的教学方式．让学生体验解决类似问题的过程和方法，并在对经验与体验进行反思中获得 成长性发展．注重循序渐进的原则，采取观察、类比、讨论等方法，注重创设问题情景，充 分暴露思维过程，发展学生的思维能力． 六、课后反思：本节课是弧长公式的第二节课，这节课是应用弧长公式解决更复杂的求x0c弧长的问题．一个例题是求运动过程中形成的几段弧长，第二个例题是在实际问题中求弧 长． 在教学的过程中， 培养学生自主探索、 合作交流， 在观察与反思中体验解决问题的方法． 同 时教师借助于图形运动、多媒体教学手段，促进学生不断体验、不断反思，引发学生的学习 积极性，培养他们合作、交流解决问题，充分发挥学生在学习过程中的主体作用．在研究问 题的过程中，体现了从简单到复杂的解决问题的方法． 这节课体现了新课程标准的理念，充分发挥了学生在学习活动中的主体作用．当然也有 不足之处，比如：当学生回答到在大三角形的三边上翻滚时，我应该继续追问，让学生解释 对于这个问题，翻滚就是我们以前学过的旋转变换，并且具体指明旋转变换中的旋转中心、 旋转半径和旋转角度，这样新旧知识联系的更加紧密了．?? ?? ?? ??北京市高中示范校数学教学研讨会教案1 清华大学附属中学李娜x0c