青岛化工学院
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2023年2月13日发(作者：)判定函数极值存在性的新方法
李长辉
【摘要】函数极值的研究,是建立在微积分学理论基础之上的.文章将函数极值与微
积分学中值定理基础理论相融合,给出判定函数极值存在性的一种新方法,为解决此
类问题带来了极大的方便.
【期刊名称】《辽东学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(022)003
【总页数】2页(P228,封3)
【关键词】微积分;极值;中值定理
【作者】李长辉
【作者单位】辽东学院师范学院,辽宁丹东118003
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【基础科学理论与应用】
极值问题是工程技术和经济领域中的常见问题，是微积分应用的重要方面之一。判
定函数极值的存在性及计算极值，是经典微积分学最成功的应用。其研究不仅具有
理论价值也具有实际意义。作为微积分中一个非常重要的概念，极值描述的是函数
的局部性质。函数
y=
f(
x)在其定义域内极值的具体确定方法，是通过微积分学的基础理论来探讨
的。通常情况下，判定一元函数极值点有三种常用方法,一是用一阶导数在驻点或
不可导点附近(邻域)的符号,二是用二阶导数在函数驻点处的函数值的符号(二阶导
数存在，不为零),三是用高阶导数的符号。这些方法各有其适用的范围和优点，用
一阶导数可判断驻点和不可导点是否为极值点，优点是适用范围比较广，缺点是需
要判断这些点左右两边的导数符号是否异号，略显麻烦；用二阶导数只能判断二阶
导数不为零的驻点是否为极值点，优点是计算量小，缺点是对于二阶导数等于零的
驻点和不可导点方法失效；高阶导数的方法更适用于高阶导数易于求解的函数类，
当驻点的二阶导数为零时，可以考虑它的更高阶导数符号，可利用该驻点首次不为
零的高阶导数阶数的奇偶性进行判断。
虽然一元函数的极值理论已经相对比较完善，但在判断函数极值点个数方面，方法
仍不够简捷。尤其是当函数只有唯一极值点时，若利用一阶导数判断，需要考虑它
的所有驻点，计算繁琐。文章将导数与微积分中值定理结合起来，给出利用二阶导
数判定函数存在唯一极值点的一种新方法，为判断函数在所给区间内是否存在唯一
极值带来了极大的方便。
定义
[1]
函数
y=
f(
x)在其定义域内点
x
0处的极值，是指函数
f(
x)在点
x
0的某个
δ邻域(
x
0-
δ,
x
0+
δ)内，对任意的
x∈(
x
0-
δ,
x
0)∪(
x
0,
x
0+
δ)，如果总有
f(
x)<
f(
x
0)成立，则
f(
x
0)为函数
y
=
f(
x)的极大值；如果总有
f(
x)>
f(
x
0)成立，则
f(
x
0)为函数
y=
f(
x)的极小值。
引理
[2]
如果函数
y=
f(
x)满足：
(1)
y=
f(
x)在闭区间
[a,
b]上连续；
(2)
y=
f(
x)在开区间(
a,
b)内可导；
(3)
f(
a)=
f(
b)
则至少存在一点
ξ∈(
a,
b)，使得
f′(
ξ)=0(证明略)。
定理如果函数满足：
(1)
y=
f(
x)在闭区间
[a,
b]上连续；
(2)
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有二阶导数，并且，在区间(
a,
b)内
f″(
x)≠0；
(3)
f(
a)=
f(
b).
则函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有且仅有一个极值点。
证明：第一步，证明函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内必有极值点。
首先，利用引理，证明函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内必有导数等于零的点。即存在
ξ∈(
a,
b)，使得
f′(
ξ)=0。验证条件如下：
(1)函数
y=
f(
x)在闭区间
[a,
b]上连续；
(2)由
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有二阶导数，可知
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内一阶可导；
(3)
f(
a)=
f(
b).
即
y=
f(
x)在区间
[a,
b]上满足引理条件，因此，必有一点
ξ∈(
a,
b)，使得
f′(
ξ)=0。
其次，利用函数极值第二判别法，证明函数
y
=
f(
x)在
ξ点处，必定取得极值。
由于
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有二阶导数，并且在区间(
a,
b)内
f″(
x)≠0，因此
f″(
ξ)存在，并且
f″(
ξ)≠0。
此时，如果
f″(
ξ)>0，则
f(
ξ)是函
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内的极小值；如果
f″(
ξ)<0，则
f(
ξ)是函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内的极大值。所以，函数
y
=
f(
x)在点
ξ处取得极值，即
ξ是函数
y=
f(
x)的极值点。
第二步：证明函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内只有一个极值点。
采用反证法。设函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有两个极值点分别为
ξ
1和
ξ
2，不妨设
a<
ξ
1<
ξ
2
<
b，由于
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内一阶可导以及在
ξ
1和
ξ
2点处分别取得极值，因此有：
f′(
ξ
1)=0及
f′(
ξ
2)=0。
此时，由于
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内有二阶导数，因此，导函数
f′(
x)满足：
(1)
f′(
x)在闭区间
[ξ
1,
ξ
2
]上连续；
(2)
f′(
x)在开区间
[ξ
1,
ξ
2)内可导；
(3)
f′(
ξ
1)=
f′(
ξ
2).
即导函数
f′(
x)满足引理全部条件。因此，至少存在一点
ξ
3∈(
ξ
1,
ξ
2)，使得:
f″(
ξ
3)=0。
当
ξ
3∈(
ξ
1,
ξ
2)时，由于
a<
ξ
1<
ξ
2<
b，因此，显然有
a<
ξ
1<
ξ
3<
ξ
2<
b，于是，
f″(
ξ
3)=0与所给条件在区间(
a,
b)内
f″(
x)≠0是相互矛盾的。
因此，函数
y=
f(
x)在区间(
a,
b)内只有一个极值点。
利用零点定理可以判断方程根的存在性，利用本定理可以判断函数极值的存在性。
由此可见，本定理与零点定理有异曲同工之妙。下面通过一个实例进一步说明此定
理的应用。
例求证
f(
x)=
x
4+
x
2-1在(-1,1)内有且只有一个极值点。
证明：由题意可知
f(
x)=
x
4+
x
2-1在上
[-1,1
]连续，
在(-1,1)内，
f′(
x)=4
x
3+2
x,
f″(
x)=12
x
2+2≠0，
又
f(-1)=
f(1)=1
根据定理可知，
f(
x)在(-1,1)内有且只有一个极值点。
文章给出判断函数极值的结论，目的是为工程技术人员和经济管理人员提供一种解
决极值问题的简便有效的判断方法。特别是当函数比较抽象、复杂，方程
f′(
x)=0难以求解，也不便于判断
f′(
x)的符号，同时难以精确计算二阶导数值，而这类问题在实际当中经常遇
到，文章方法解决此类问题比较实用，当然在理论上也有一定的价值。
[1]郭大钧.数学分析[M].济南:山东科学技术出版社,1982.
[2]张筑生.数学分析新讲(一)[M].北京:北京大学出版社,1990.
[3]卢丁.数学分析原理[M].赵慈庚，译，北京:人民教育出版社,1979.
[4]董鹤年.二元函数极值的一阶偏导判定方法[J].青岛化工学院学报,2001(1):96-97.
[5]卜红彧.一类非线性时变种群扩散系统的最优边界控制问题(Ⅱ)[J].辽东学院学报:
自然科学版，2014,21(1):50-52.
Keywords:calculus;extremevalue;meanvaluetheorem