三角函数性质
-咖啡厅设计案例
2023年2月16日发(作者：3g模块)1/8
六种三角函数性质、公式
三角函数包括。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
1
-1
y=sinx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-
2
-4
-3
-2
4
3
2
-
o
y
x
1
-1
y=cosx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-
2
-4
-3
-2
4
3
2
-
o
y
x
y=tanx
3
2
2
-
3
2
-
-
2
o
y
x
y=cotx
3
2
2
2
-
-
2
o
y
x
2/8
.反三角函数：
arcsinxarccosx
arctanxarccotx
函数
y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx
定义域
RR
｛x｜x∈R且
x≠kπ+
2
,k∈Z｝
｛x｜x∈R且
x≠kπ,k∈Z｝
值域
[—1，1］x=2kπ+
2
时
ymax=1
x=2kπ-
2
时ymin=—1
［—1,1］
x=2kπ时ymax=1
x=2kπ+π时
ymin=—1
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值
周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π
奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数
单调性
在［2kπ—
2
,2kπ+
2
］
上都是增函数；在
在［2kπ—π，
2kπ］上都是增函
数；在［2kπ，
2kπ+π]上都是减
在
(kπ—
2
,kπ+
2
)
内都是增函数
在(kπ,kπ+π）内
都是减函数
（k∈Z)
3/8
［2kπ+
2
，2kπ+
3
2
π]
上都是减函数(k∈Z)
函数（k∈Z）（k∈Z）
名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数
定义
y=sinx（x∈
〔—
2
,
2
〕的反
函数，叫做反正弦
函数，记作
x=arsiny
y=cosx(x∈
〔0,π〕）的反函
数，叫做反余弦
函数，记作
x=arccosy
y=tanx(x∈
（—
2
，
2
）的
反函数，叫做反正切
函数,记作
x=arctany
y=cotx(x∈(0，
π)）的反函数,叫
做反余切函数，
记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于
[-
2
,
2
]
且正弦值等于x的
角
arccosx表示属
于［0，π］,且余
弦值等于x的角
arctanx表示属于
(-
2
，
2
），且正切
值等于x的角
arccotx表示属于
(0，π)且余切值等
于x的角
性
质
定义域［—1，1］［—1，1］（-∞，+∞)(—∞，+∞)
值域
［—
2
,
2
］
［0，π]
(-
2
，
2
)
（0，π）
单调性
在〔—1，1〕上是
增函数
在[-1，1］上是
减函数
在（—∞,+∞）上是
增数
在(-∞，+∞）上是
减函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinxarccos
（-x)=π—arcco
sx
arctan(—x）
=-arctanx
arccot(—x)=π—
arccotx
周期性都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x（x∈
［—1,1］）
arcsin(sinx)=x
（x∈[-
2
,
2
]）
cos(arccosx)=x(
x∈［—1,1］）
arccos（cosx)=x
（x∈［0，π］）
tan（arctanx)=x
（x∈R)arctan
（tanx)=x（x∈
（—
2
，
2
)）
cot
（arccotx)=x(x
∈R）
arccot(cotx）
=x(x∈(0,π)）
互余恒等式
arcsinx+arccosx=
2
（x∈［-1,1])arctanx+arccotx=
2
(X∈R）
y=secx的性质：
（1）定义域,｛x｜x≠π/2+kπ,k∈Z｝
(2）值域，｜secx|≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数,即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0），最小正周期T=2π．
(5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；
（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；
(7）正割函数是无界函数；
（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx;
（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
y=cscx的性
4/8
1、定义域：｛x｜x≠kπ,k∈Z｝
2、值域:｛y｜y≤-1或y≥1}
3、奇偶性：奇函数
4、周期性：最小正周期为2π
5、图像：
图像渐近线为：x=kπ，k∈Z余割函数与正弦函数互为倒数第一部分
三角函数公式
·两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ—sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan（α—β)=（tanα—tanβ）/（1+tanα·tanβ)
·和差化积［/url]公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2］cos［（α-β)/2]
sinα—sinβ=2cos［（α+β）/2］sin［（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β)/2]cos[(α-β）/2］
cosα—cosβ=—2sin[(α+β)/2］sin[（α-β)/2]
·积化和差［/url]公式：
sinα·cosβ=（1/2)［sin(α+β）+sin（α-β）］
cosα·sinβ=(1/2）［sin（α+β)-sin（α-β）］
cosα·cosβ=(1/2)［cos(α+β）+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2）[cos（α+β)-cos（α—β)]
·倍角公式[/url]：
sin（2α)=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα)
cos（2α）=（cosα）^2—（sinα）^2=2(cosα)^2-1=1—2(sinα）^2
tan(2α）=2tanα/（1-tan^2α）
cot(2α）=（cot^2α-1）/(2cotα）
sec(2α）=sec^2α/(1-tan^2α)
csc(2α）=1/2*secα·cscα
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（60°+α)sin（60°—α)
cos(3α）=4cos^3α—3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos（60°-α）
tan(3α)=(3tanα—tan^3α)/（1—3tan^2α）=tanαtan(π/3+α）
tan(π/3—α)
cot(3α)=（cot^3α-3cotα）/（3cot^2α-1)
·n倍角公式：
sin（nα）=ncos^(n-1）α·sinα-C(n,3）cos^
（n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n—5)α·sin^5α-…
5/8
cos(nα）=cos^nα—C（n,2）cos^（n-2）α·sin^2α+C(n,4)cos^(n—4）
α·sin^4α-…
·半角公式[/url]：
sin(α/2）=±√((1—cosα)/2)
cos（α/2)=±√(（1+cosα)/2)
tan（α/2）=±√((1-cosα）/(1+cosα))=sinα/(1+cosα）=(1—cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα）/(1—cosα))=（1+cosα）/sinα=sinα/（1-cosα)
sec(α/2）=±√（(2secα/(secα+1)）
csc（α/2)=±√（(2secα/(secα-1））
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin（α+φ)(tanφ=B/A）
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2)cos(α—φ）（tanφ=A/B）
·万能公式
sin(a)=（2tan（a/2）)/（1+tan^2（a/2）)
cos(a）=（1—tan^2(a/2)）/（1+tan^2(a/2））
tan(a)=(2tan（a/2)）/(1—tan^2（a/2))
·降幂公式
sin^2α=（1-cos（2α））/2=versin(2α）/2
cos^2α=（1+cos(2α））/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1—cos（2α）)/(1+cos(2α)）
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si
nγ
cos
（α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ—cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·c
osγ
tan(α+β+γ）=(tanα+tanβ+tanγ—tanα·tanβ·tanγ）
/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）
·其它公式
·两角和与差的三角函数
cos(α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ)/（1—tanα·tanβ)
tan（α—β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
=sinα/(1-cosα)·和差化积[/url]公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β）/2]cos[（α-β）/2］
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[(α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos［(α+β)/2］cos[（α—β）/2］
6/8
cosα—cosβ=—2sin［(α+β）/2]sin[(α—β）/2］
·积化和差[/url]公式：
sinα·cosβ=（1/2)[sin(α+β）+sin（α—β）]
cosα·sinβ=（1/2）［sin（α+β）-sin（α-β)]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β)+cos(α-β)］
sinα·sinβ=—（1/2)［cos(α+β）—cos（α—β）]
·倍角公式[/url］：
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα)
cos(2α)=（cosα）^2-（sinα）^2=2(cosα）^2—1=1-2(sinα)^2
tan（2α）=2tanα/（1—tan^2α）
cot(2α)=（cot^2α—1）/（2cotα)
sec（2α)=sec^2α/(1—tan^2α）
csc（2α)=1/2*secα·cscα
·三倍角公式：
sin(3α）=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°—α)
cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan（3α)=(3tanα—tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α）tan（π/3—α)
cot（3α）=(cot^3α-3cotα)/（3cot^2α—1)
·n倍角公式：
sin（nα)=ncos^(n—1）α·sinα-C(n,3）cos^（n-3）α·sin^3α+C（n，5）
cos^(n—5）α·sin^5α-…
cos（nα)=cos^nα—C(n,2)cos^(n-2）α·sin^2α+C（n,4)cos^
（n-4)α·sin^4α—…
·半角公式[/url]:
sin（α/2）=±√（（1-cosα)/2)
cos（α/2）=±√（(1+cosα)/2）
tan(α/2）=±√（（1-cosα)/(1+cosα））=sinα/（1+cosα)=(1—cosα)/sinα
cot（α/2）=±√（（1+cosα)/（1-cosα)）=(1+cosα）/sinα
sec(α/2）=±√((2secα/（secα+1)）
csc(α/2)=±√((2secα/（secα—1）)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）sin(α+φ)（tanφ=B/A)
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）
·万能公式
sin（a）=(2tan（a/2))/（1+tan^2（a/2）)
cos(a）=(1—tan^2(a/2））/(1+tan^2（a/2))
tan（a）=(2tan（a/2）)/(1—tan^2（a/2)）
·降幂公式
sin^2α=（1-cos（2α）)/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α）/2
7/8
tan^2α=（1-cos(2α)）/(1+cos（2α））
·三角和的三角函数：
sin
（α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·si
nγ
cos（α+β+γ）
=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ—tanα·tanβ·tanγ）
/(1—tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）
·其它公式
1+sin(a)=(sin（a/2)+cos(a/2））^21-sin（a）=（sin(a/2)—cos（a/2)）
^2
csc(a)=1/sin(a）sec（a）=1/cos（a)
cos30=sin60
sin30tanα+cotα=2/sin2α
tanα—cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin（α/2）+cos（α/2)]^2
1+sin(a)=(sin（a/2)+cos（a/2））^21—sin(a)=(sin(a/2）—cos（a/2)）
^2
csc(a）=1/sin（a）sec(a）=1/cos（a)
cos30=sin60
sin30=cos60
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα—cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1—cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2）+cos（α/2)］^2
8/8