二项分布方差
-养猪场设计图
2023年2月16日发(作者：产品的生命周期分为四个阶段).
精选文本
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给
出一推导过程仅供参考。
预备公式一
1
1
k
n
k
n
nCkC
（1n），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式二
2
2)()()(EED，证明过程可见教材。
预备公式三
2
2
)1()1(
k
n
k
n
CnnCkk
（
2,2kn
），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式四
),,,,(022110nkmkNknmCCCCCCCCCk
nmm
k
n
k
mn
k
mn
k
mn
，利用恒等
式mnnmxxx)1()1()1(的二项展开式中kx的系数相等可证。
一、二项分布
在n次独立重复试验中，每次试验中事件A发生的概率为p（
10p
），事件A发生
次数为
，则
的概率分布列为：
012…k…n
P
no
n
ppC)1(011)1(no
n
ppC22)1(no
n
ppC
…
knko
n
ppC)1(
…
0)1(ppCno
n
1.二项分布的数学期望
npppnpppCnp
ppnCppkCppkCE
n
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
1
1
11
1
1
1
1
10
)1()1(
)1()1()1()(
2.二项分布的方差
.
精选文本
)1(
)1()1()1()1(
)1()1()()1()1(
)1()1()1(
)1()()1()()()(
222222
n
2
22
2
2
22
n
2
2
2
22
n
2
22
n
1
n
1
22
n
1
22
n
0
2
2
2
pnp
pnnppppnnpnnpppCpnn
pnnpppCnnpnEppCkk
pnppkCppCkk
pnppCknpppCkEED
n
k
knkk
n
k
knkk
n
k
knkk
n
k
knkk
n
k
knkk
n
k
knkk
n
k
knkk
n
二、超几何分布
一批产品共N件，其中有M件不合格品，N-M件合格品，从中随机取出n件产品中，不
合格品数X的概率分布列为：
X012…k…m
P
n
N
n
MNM
C
CC
0
n
N
n
MNM
C
CC11
n
N
n
MNM
C
CC22
…
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
…
n
N
mn
MN
m
M
C
CC
其中m=min（n，M）。
1.超几何分布的数学期望
N
nM
nNnN
NnNnM
C
C
M
CCCCCC
C
M
CC
C
M
C
CC
k
C
CC
kXE
n
N
n
N
mn
MN
m
M
n
MNM
n
MNM
n
N
kn
MN
m
k
k
M
n
N
m
k
n
N
kn
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k
M
m
k
n
N
kn
MN
k
M
)!()!1(!
)!1()!(!
)(
1
1
1
1
21
1
10
1
1
1
1
10
）（利用预备公式四可得
2.超几何分布的方差
.
精选文本
)
1
1
1)(1(
1
1
1)1(
)1(
)1(
1
)()()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
2
0
2
2
2
N
n
N
M
N
nM
NN
MNnN
N
nM
N
nM
N
nM
NN
nnMM
N
nM
N
nM
C
C
MM
N
nM
N
nM
CC
C
MM
N
nM
C
CC
k
C
CC
kk
N
nM
C
CC
k
N
nM
C
CC
kXEXEXD
n
N
n
N
kn
MN
m
k
k
M
n
N
m
k
n
N
kn
MN
k
M
m
k
n
N
kn
MN
k
M
m
k
n
N
kn
MN
k
M
m
k
n
N
kn
MN
k
M
3.超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系
根据极限知识，很容易得到：
在超几何分布中，当N时，
p
N
M
（二项分布中的p）
（1）当N时，超几何分布的数学期望
)()(XEnp
N
M
nXE
（二项分布
的数学期望）
（2）当N时，超几何分布的方差
)1(
1
1
11)(pnp
N
n
N
M
N
M
nXD
（二项分布的方差）
（3）当N时，超几何分布可近似为二项分布。