概率论讲座讲义

2024年2月14日发(作者：)

2018级数学辅导讲义（十一）：概率论与数理统计2019.5一、随机事件的概率：1.概率的五大公式（1）加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB)；（2）减法公式：P(AB)P(AB)P(A)P(AB)；（3）乘法公式：P(AB)P(B|A)P(A)；（4）全概率公式：P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|Bn)P(Bn)；（5）贝叶斯公式：P(Bi|A)2.随机事件的独立性P(A|Bi)P(Bi).P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|Bn)P(Bn)若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立..【例1】P(BA)0.8，P(B)0.4，则P(A|B)【解】【例2】（1）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则两人中至少一人射中的概率为；（2）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被甲射中的概率为；（3）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为；（4）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为.【解】第1页共9页

二、一维随机变量及其分布：1.一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布、概率和分布：分布概率分布离散型随机变量连续型随机变量概率和分布2.一维连续型随机变量的概率与分布函数、概率密度的关系：3.分布函数的性质：4.分布律的性质：5.概率密度的性质：【例3】（1）设随机变量X的概率密度为kx1,0x2,f(x)0,其他，则P{1X1}.（2）设随机变量X的分布函数为ba,x0,(1x)2F(x)c,x0,则X的概率密度f(x)【解】.第2页共9页

x,0x4【例4】已知X~fX(x)8，求YX21的概率密度.0,其他【解】三、二维随机变量及其分布：1.二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布：分布联合分布分布律概率密度分布函数边缘分布条件分布2.二维随机变量的概率与联合概率密度的关系：3.两个随机变量的独立性：定义充要条件1（连续型随机变量）充要条件2（离散型随机变量）【例5】设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为cexy,x0,0y1,f(x,y)其他.0，（1）求常数c的值；第3页共9页

（2）求X,Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；（3）判断X和Y是否相互独立，并说明理由；（4）求P{max(X,Y)1}.【解】四、随机变量的数字特征：1.离散型随机变量与连续型随机变量的数学期望：随机变量一个随机变量一个随机变量的函数两个随机变量的函数2.方差的计算公式：3.协方差的计算公式：4.相关系数的计算公式：离散型随机变量连续型随机变量第4页共9页

5.常用分布：分布0-1分布记法X~(01)概率分布期望p方差P{Xk}pk(1p)1k,k0,1p(1p)二项分布X~B(n,p)knkP{Xk}Ck,np(1p)npnp(1p)k0,1,2,,n泊松分布X~P()P{Xk}kek!k0,1,,ab2(ba)212均匀分布X~U(a,b)1,axb,f(x)ba其他0,指数分布X~E()ex,x0,f(x)x00,f(x)12πe(x)2221,12正态分布X~N(,)22x【注】【例6】设随机变量X,Y的概率分布分别为Xpk0132123Ypk-113013113且P{XY}1.2第5页共9页

（1）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；（2）求ZXY的概率分布；（3）求X与Y的相关系数XY.【解】【例7】（1）设随机变量X1,X2,X3相互独立，且X1服从均匀分布U[1,3]，X2服从二项分布B2,，X3服从参数为2的指数分布，则Y3X12X2X3的数学期望和方差分别为.212（2）设随机变量X,Y相互独立,且X服从正态分布N(2,1),Y服从正态分布N(1,2),则P{2XY3}【解】.五、中心极限定理：用于计算的“中心极限定理”：第6页共9页

【例8】设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：KWh）在[0,20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少KWh电？（(2.33)0.99）【解】第7页共9页

六、矩估计与最大似然估计：1.矩估计的依据：2.最大似然估计的依据：x(1),x1,【例10】设总体设X的概率密度为f(x)（1），X1,X2,,Xnx10,是来自X的一个样本.ˆ；（1）求的矩估计1ˆ.（2）求的最大似然估计2【解】【例11】设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,)的一个样本，试选择常数C，使2C(Xi1Xi)2是2的无偏估计.i1n1【解】第8页共9页

七、区间估计与假设检验：1.单个正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为1）：待估参数其他参数置信区间单侧置信限已知2未知2zXn2St(n1)Xn2(n1)S2(n1)S22(n1),2(n1)122XXSnnzXXnSnzt(n1)t(n1)2未知(n1)S221(n1)2(n1)S22(n1)22.单个正态总体均值、方差的拒绝域（显著性水平为，拒绝域是选择拒绝H0，接受H1时检验统计量的范围）：检验参数其他参数检验统计量H0H1拒绝域2已知ZX0/n0000000000220220zzzzzz2tt(n1)tt(n1)tt(n1)222(n1)2未知tX0S/n002202未知2(n1)S022220212(n1)22(n1)或222022022(n1)12【例12】现从工厂的产品中抽取11个罐头，100g番茄汁中，测得维C含量（mg/g）如下：1625212318设维C含量服从正态分布，问这批罐头100g番茄汁中的平均维C含量是否等于21mg/g？【解】第9页共9页