万有引力公式推导
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2023年2月16日发(作者：宁夏红盾网)万有引力定律的应用
总结：两个基本思路
1．万有引力提供向心力：mar
T
mrm
r
v
m
r
M
G
2
2
2
2
2
4m
2.忽略地球自转的影响：mg
R
GM
2
m
（2gRGM，黄金代换式）
一、测量中心天体的质量和密度
测质量：
1．已知表面重力加速度g，和地球半径R。（mg
R
GM
2
m
，则
G
gR
M
2
）一般用于地球
2．已知环绕天体周期T和轨道半径r。(r
T
m
r
Mm
G
2
2
2
4
，则
2
324
GT
r
M
)
3．已知环绕天体的线速度v和轨道半径r。（
r
v
m
r
Mm
G
2
2
，则
G
rv
M
2
）
4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r（rm
r
Mm
G2
2
，则
G
r
M
32
）
5．已知环绕天体的线速度v和周期T（
T
r
v
2
,
r
v
m
r
M
G
2
2
m
，联立得
G
T
M
2
v3
）
测密度：（以2为例说明）
已知环绕天体的质量m、周期T、轨道半径r。中心天体的半径R，求中心天体的密度ρ
解：由万有引力充当向心力
r
T
m
r
Mm
G
2
2
2
4
则
2
324
GT
r
M
——①
又3
3
4
RVM——②
联立两式得：
32
33
RGT
r
当R=r时，有
2
3
GT
注：R中心天体半径，r轨道半径，球体体积公式3
3
4
RV
二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题
1．在星球表面:
2R
GM
mg（g为表面重力加速度，R为星球半径）
2．离地面高h:
2)(hR
GM
gm
（g
为h高处的重力加速度）
联立得g'与g的关系：
2
2
)(
'
hR
gR
g
三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系
1．ma
r
M
G
2
m
，则
2
a
r
M
G（卫星离地心越远，向心加速度越小）
2．
r
v
m
r
Mm
G
2
2
，则
r
GM
v
（卫星离地心越远，它运行的速度越小）
3．rm
r
Mm
G2
2
，则
3r
GM
（卫星离的心越远，它运行的角速度越小）
4．r
T
m
r
Mm
G
2
2
2
4
，则
GM
T
32r4
（卫星离的心越远，它运行的周期越大）
四、三个宇宙速度