平面向量平行公式
-秋天的歌谣
2023年2月16日发(作者：朱自清的散文代表作)...
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设a=〔x，y〕，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减〞
a=(x,y)b=(x',y')那么a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压
缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上伸长为原来
的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上缩短为原来
的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?。λb)
向量对于数的分配律〔第一分配律〕：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律〔第二分配律〕：λ(a+b)=λa+.λb
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉
并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量，记作a?b。假设a、b不共线，那么
a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；假设a、b共线，那么a?b=+-∣a∣∣b∣。
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向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a〔交换律〕；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c〔分配律〕；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：
2、向量的数量积不满足消去律，即：由
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
a?b=a?c(a≠，0)推不出b=c。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b那
么a×b的模是：∣a×b∣
按这个次序构成右手系。假
设
的向量积〔外积、叉积〕是一个向量，记作
=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂
直于a、b共线，那么a×b=0。
a×b。假设a、b不共线，
a和b，且a、b和a×b
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
〔λa〕×b=λ〔a×b〕=a×〔λb〕；
（a+b〕×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD〞是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
定比分点公式〔向量P1P=λ?向量PP2〕
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于
量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段
P1、P2的任意一点。那么存在一个实数P1P2所成的比。
λ，使向
...
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若P1〔x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，那么有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；〔定比分点向量公式〕
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+。λ)〔定比分点坐标公式〕
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB且,λ+μ=1那么,A、B、C
三点共线三角形重心判断式
在△ABC中，假设GA+GB+GC=O,那么G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
假设b≠0，那么a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a?b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.