广东小高考
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2023年2月16日发(作者：stc12c5a60s2)广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷
(时间90分钟，总分150分)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,3}，那么集合A∪B等于()
A．{3}B．{－1,1,2,3}
C．{－1,1}D．{x|－1≤x≤3}
2.函数f(x)＝
1
x＋2
的定义域是()
A．{x|x>－2}B．{x|x<－2}
C．{x|x≠－2}D．{x|x≠2}
3.现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24
名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样
本．
较为合理的抽样方法是()
A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法，②随机数法
4.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()
A．y＝sinxB．y＝
2
x
C．y＝－x2＋4D．y＝3－x
5.若sinαcosα>0，cosαtanα<0，则α的终边落在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6.某校高二年级有50人参加2020“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了
如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为()
分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
频率
0.20.40.30.1
A．70B．73C．78D．81.5
7.已知cosα＝
3
5
，α∈
－
π
2
，0
，则sin2α的值为()
A．－
24
25
B．
24
25
C．－
7
25
D．
7
25
8.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球
的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()
A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7
9.已知向量a＝()2，1
，b＝()x，－2
，若a∥b，则a＋b＝()
A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)
10.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数
D．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数
11.数列{a
n
}前n项和为S
n
，且a
1
＝－10，a
n＋1
＝a
n
＋3(n∈N*)，则S
n
取最小值时，
n的值是()
A.3B.4
C.5D.6
12.设f(x)＝
2x－1，x＜2，
log3x2－1，x≥2，
则f(f(2))的值为()
A．0B．1C．2D．3
13.函数f(x)＝sin
x－
π
4
的图象的一条对称轴是()
A．x＝
π
4
B．x＝
π
2
C．x＝－
π
4
D．x＝－
π
2
14.已知互相垂直的平面α，β交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()
A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n
15.在△ABC中，A＝
π
3
，BC＝3，AB＝6，则C＝()
A．
π
4
或
3π
4
B．
3π
4
C．
π
4
D．
π
6
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16.已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是________
17.已知关于实数x的不等式2x2－bx＋c<0的解集为
－1，
3
2
，则b＋c的值为
________
18.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物
1200只做过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1000只，其
中做过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
19.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
20．(8分)已知函数f(x)＝－cos
2x－
π
6
．
(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间．
21.(14分)已知函数f(x)＝
1
2
(ax＋a－x)(a＞0且a≠1)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若函数f(x)的图象过点
2，
41
9
，求f(x)．
22.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
AP＝AB，
BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B解析：A∪B＝{1,2,3}∪{－1,3}＝{－1,1,2,3}．
2.A解析：x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．故选A．
3.A解析：①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．故
选A．
4.A解析：由题意得函数y＝sinx在(0,1)上为增函数，函数y＝
2
x
，y＝－x2＋4，
y＝3－x在(0,1)上都为减函数．故选A．
5.C解析：sinαcosα>0，说明角α的终边在第一象限或第三象限；cosαtanα<0，
说明角α的终边在第三象限或第四象限．综上，角α的终边在第三象限．故选C．
6.C解析：估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x＝65×0.2＋75×0.4＋
85×0.3＋95×0.1＝78．故选C．
7.A解析：∵cosα＝
3
5
，α∈
－
π
2
，0
，∴sinα＝－
4
5
．∴sin2α＝2sinαcosα＝
－
24
25
．故选A．
8.C解析：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸
出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－
0.28＝0.3．
9.A解析：因为a∥b，所以2×(－2)－x＝0，解得x＝－4．所以a＋b＝(2,1)
＋(－4，－2)＝(－2，－1)．
10.C解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的
平均数为第75百分位数，是9.3，故选C．
11.B解析：在数列{a
n
}中，由a
n＋1
＝a
n
＋3，得a
n＋1
－a
n
＝3(n∈N*)，所以数列
{a
n
}是公差为3的等差数列．
又a
1
＝－10，所以数列{a
n
}是公差为3的递增等差数列．
由a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥
13
3
.
因为n∈N*，所以数列{a
n
}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，S
n
取最小值．故
选B.
12.B解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝f(1)＝21－1＝20＝1．
13.C解析：函数f(x)＝sin
x－
π
4
的图象的对称轴方程为x－
π
4
＝kπ＋
π
2
，
k∈Z．即x＝kπ＋
3π
4
，k∈Z．当k＝－1时，x＝－
π
4
适合，故选C．
14.C解析：选项A错误，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B错误，只
有当m⊥β时，m∥n；选项C正确，由于l⊂β，所以n⊥l；选项D错误，只有
当m∥β或m⊂β时，m⊥n．
15.C解析：由
BC
sinA
＝
AB
sinC
，得sinC＝
2
2
．
∵BC＝3，AB＝6，∴A>C，则C为锐角，故C＝
π
4
．
二、填空题
16.答案：2
17.答案：－2解析：∵一元二次不等式2x2－bx＋c<0的解集是
－1，
3
2
，
∴－1，
3
2
是方程2x2－bx＋c＝0的两根．
由根与系数关系得
－1＋
3
2
＝
b
2
，
－1×
3
2
＝
c
2
，
即b＝1，c＝－3．∴b＋c＝－2．
18.答案：12000解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的
概率是相同的，所以
1200
x
＝
100
1000
，解得x＝12000．
19.答案：4解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为
BC⊥AC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC．
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，综上所述，一共有4
个直角三角形．
三、解答题
20．解：(1)令2x－
π
6
＝2kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋
π
12
(k∈Z)，此时y＝cos
2x－
π
6
取
得最大值1，
所以f(x)＝－cos
2x－
π
6
的最小值为－1，此时x＝kπ＋
π
12
(k∈Z)．
(2)令2kπ－π≤2x－
π
6
≤2kπ(k∈Z)，解得kπ－
5π
12
≤x≤kπ＋
π
12
(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
kπ－
5π
12
，kπ＋
π
12
(k∈Z)．
21.解：(1)函数f(x)＝
1
2
(ax＋a－x)(a>0且a≠1)的定义域为(－∞，＋∞)，
则f(－x)＝
1
2
(a－x＋ax)＝
1
2
(ax＋a－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．
(2)若函数f(x)的图象过点
2，
41
9
，则f(2)＝
1
2
(a2＋a－2)＝
41
9
，
即a2＋a－2＝
82
9
，即a4－
82
9
a2＋1＝0，即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝
1
9
．
∵a＞0且a≠1，∴a＝3或a＝
1
3
．即f(x)＝
1
2
(3x＋3－x)．
22.(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．∴EF∥AD．
又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．
(2)解：连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G．
则EG⊥平面ABCD，且EG＝
1
2
PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝2，EG＝
2
2
．∴S
△ABC
＝
1
2
AB·BC＝
1
2
×2×2＝2，
∴V
E
-
ABC
＝
1
3
S△ABC
·EG＝
1
3
×2×
2
2
＝
1
3
．