cos导数

cos导数

-国际货币体系

2023年2月16日发(作者：小说开头的作用)

1.2导数的计算

1.2.1几个常用函数的导数

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

学习目标核心素养

1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝

1

x

，

y＝x的导数．(难点)

2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单

的应用．(重点、易混点)

3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、

易混点)

1.通过基本初等函数的导数公式、导数

运算法则的学习，体现数学运算的核心

素养.

2.借助导数运算法则的应用，提升学生

的逻辑推理核心素养.

1．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinxf′(x)＝cosx

f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx

f(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0)

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝log

a

x

f′(x)＝

1

xlna

(a＞0，且a≠1)

f(x)＝lnx

f′(x)＝

1

x

2.导数的运算法则

(1)和差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)积的导数

①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

②[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)商的导数







fx

gx

′

＝

f′xgx－fxg′x

[gx]2

(g(x)≠0)．

1.









1

2

′

等于()

A．

1

2

B．1

C．0D．

1

22

C[因常数的导数等于0，故选C.]

2．若函数y＝10x，则y′|

x＝1

等于()

A．

1

10

B．10

C．10ln10D．

1

10ln10

C[∵y′＝10xln10，∴y′|

x＝1

＝10ln10.]

3．(1)









x

2x

′

＝________；(2)(xex)′＝________.

(1)

1－xln2

2x

(2)(1＋x)ex[(1)









x

2x

′

＝

2x－x2xln2

2x2

＝

1－xln2

2x

；

(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]

4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________.

1[f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.]

利用导数公式求函数的导数

【例1】求下列函数的导数．

(1)y＝cos

π

6

；(2)y＝

1

x5

；(3)y＝

x2

x

；

(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos









π

2

－x

.

[解](1)∵y＝cos

π

6

＝

3

2

，∴y′＝0.

(2)∵y＝

1

x5

＝x－

5，∴y′＝－5x－

6.

(3)∵y＝

x2

x

＝

x2

x

1

2

＝x

3

2

，∴y′＝

3

2

x

1

2

.

(4)∵y＝lgx，∴y′＝

1

xln10

.

(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.

(6)y＝cos









π

2

－x

＝sinx，∴y′＝cosx.

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不

必要的运算失误．

3．要特别注意“

1

x

与lnx”，“ax与log

a

x”，“sinx与cosx”的导数区别．

[跟进训练]

1．下列结论，

①(sinx)′＝cosx；②













x

5

3

′

＝x

2

3

；

③(log

3

x)′＝

1

3lnx

；④(lnx)′＝

1

x

.

其中正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

C[①(sinx)′＝cosx，正确；

②(x

5

3

)′＝

5

3

x

2

3

，错误；

③(log

3

x)′＝

1

xln3

，错误；

④(lnx)′＝

1

x

，正确；所以①④正确，故选C.]

利用导数的运算法则求导数

[探究问题]

1．如何求函数y＝tanx的导数？

[提示]y＝tanx＝

sinx

cosx

，

故y′＝

sinx′cosx－cosx′sinx

cosx2

＝

cos2x＋sin2x

cos2x

＝

1

cos2x

.

2．如何求函数y＝2sin

x

2

cos

x

2

的导数？

[提示]y＝2sin

x

2

cos

x

2

＝sinx，故y′＝cosx.

【例2】求下列函数的导数．

(1)y＝x－2＋x2；

(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝

lnx

x2＋1

；

(4)y＝x2－sin

x

2

cos

x

2

.

[解](1)y′＝2x－2x－

3.

(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.

(3)y′＝

x2＋1－2x2·lnx

xx2＋12

.

(4)∵y＝x2－sin

x

2

cos

x

2

＝x2－

1

2

sinx，

∴y′＝2x－

1

2

cosx.

1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y＝xtanx”，求其导数．

[解]y′＝(x·tanx)′＝









xsinx

cosx

′

＝

xsinx′cosx－xsinxcosx′

cos2x

＝

sinx＋xcosxcosx＋xsin2x

cos2x

＝

sinxcosx＋x

cos2x

.

2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程．

[解]∵y′|

x＝1

＝

1

2

，

∴函数y＝

lnx

x2＋1

在点(1,0)处的切线方程为y－0＝

1

2

(x－1)，即x－2y－1＝0.

利用导数公式求曲线的切线方程

【例3】求过曲线y＝sinx上点P









π

6

，

1

2

且与过这点的切线垂直的直线方程．

[解]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，

曲线在点P









π

6

，

1

2

处的切线斜率是：

y′|

x＝

π

6

＝cos

π

6

＝

3

2

.

∴过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－

2

3

，

故所求的直线方程为y－

1

2

＝－

2

3









x－

π

6

，

即2x＋3y－

3

2

－

π

3

＝0.

导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解

题的关键．

[跟进训练]

2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．

1

2

e2[∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，

∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.

∴切线与坐标轴所围成三角形的面积为：S＝

1

2

×1×|－e2|＝

1

2

e2.]

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好

导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2

x

2

的导数，因为y＝1－2sin2

x

2

＝

cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.

3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．

1．给出下列命题：

①y＝ln2，则y′＝

1

2

；

②y＝

1

x2

，则y′|

x＝3

＝－

2

27

；

③y＝2x，则y′＝2xln2；

④y＝log

2

x，则y′＝

1

xln2

.

其中正确命题的个数为()

A．1B．2C．3D．4

C[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－

2

x3

，∴y′|

x＝3

＝－

2

27

，故②正确；显然

③，④正确，故选C.]

2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝

1

4

，则α等于()

A.

1

3

B．

1

2

C．

1

8

D．

1

4

D[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα

－

1，∴f′(1)＝α＝

1

4

.]

3．设y＝－2exsinx，则y′等于()

A．－2excosxB．－2exsinx

C．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)

D[∵y＝－2exsinx，∴y′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．]

4．曲线y＝

9

x

在点M(3,3)处的切线方程是________．

x＋y－6＝0[∵y′＝－

9

x2

，∴y′|

x＝3

＝－1，

∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]

5．求下列函数的导数：

(1)y＝

5

x3；(2)y＝log

2

x2－log

2

x；

(3)y＝

cosx

x

；

(4)y＝－2sin

x

2







1－2cos2

x

4

.

[解](1)y′＝(

5

x3)′＝(x

3

5

)′＝

3

5

x

3

5

－1

＝

3

5

x

－

2

5

＝

3

5

5

x2

.

(2)∵y＝log

2

x2－log

2

x＝log

2

x，

∴y′＝(log

2

x)′＝

1

xln2

.

(3)法一：y′＝









1

x

·cosx

′

＝









1

x

′

cosx＋

1

x

(cosx)′＝(x

－

1

2

)′cosx－

1

x

sinx＝－

1

2

x

－

3

2

cosx

－

1

x

sinx＝－

cosx

2x3

－

1

x

sinx＝－

cosx

2xx

－

1

x

sinx＝－

cosx＋2xsinx

2xx

.

法二：y′＝









cosx

x

′

＝

()cosx

′x－cosxx′

x2

＝

－sinx·x－cosx·

1

2

·x

－

1

2

x

＝－

xsinx＋

cosx

2x

x

＝－

cosx＋2xsinx

2xx

.

(4)∵y＝－2sin

x

2







1－2cos2

x

4

＝2sin

x

2







2cos2

x

4

－1

＝2sin

x

2

cos

x

2

＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx.