方差的计算
-减小误差的方法
2023年2月16日发(作者：直线电机原理)1
方差计算公式的证明
（1）用新数据法求平均数
当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：=+a.其中，常
数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，=-a,=-a,…,=-a○1
=(+)是新数据的平均数（通常把,,…,,叫做原数据，
,,…,,叫做新数据）。证明：
把○1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式：
+=-a+-a+…+-a
+=++…+-na
=—a即
○2
亦即=+a
（2）方差的基本公式
方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据，，，中，
各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”
表示，即:
=[+]
(3)方差的简化计算公式
=[++…+)-n]
也可写成=[++…+)]-
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
证明：
=[+]
=[
+
+
+
+…+
+
]
=[++…+)-2++…++n]
=[++…+)-2n
=[++…+)-2n
=[++…+)-n]
=++…+)-………………..(I)
2
根据○1，有=+a,=+a,…=+a,和=+a(详见（1）的证明)
代入简化公式（I）,则有：
=[（
）
+（
）
+…（
）-
=[(++…+)+2a(++…+)+n]-(+2a+)
=(++…+)+2a+-
2
a-
=(++…+)+2a+
=(++…+)…………………….(II)
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等
量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方
差都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据,,…,计算方差；简化公
式（II）按新数据,,…,计算方差，计算出的方差相同。
(4)用新数据法计算方差
原数据,,…,的方差与新数据=-a,=-a,…,=-a的方差相等。也就
是说，根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据
,,…,的方差。
证明：
把○1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有：
-=(-a)-(-a)=-
-=(-a)-(-a)=-
…………
-=(-a)-(-a)=-
再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2：
（）=（
）
（）=（
）
…………
（）=（）
最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：
[（）+（）+…+（）]=[+]
这就是根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据
,,…,的方差。