奇数点
-青铜葵花好词好句
2023年2月16日发(作者：惠安广海中学)《概率论与数理统计》习题及答案
第一章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A‘两次点数之和为10’，B
‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时
取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；
（4）将,ab两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，
A‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A‘通过汽车不足5台’，
B‘通过的汽车不少于3台’。
|
解（1）
123456
{,,,,,}Seeeeee其中
i
e‘出现i点’1,2,,6i，
135
{,,}Aeee。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；
{(4,6),(5,5),(6,4)}A；
{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B。
、
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S
(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A
（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),Sabababababba
(,,),(,,,),(,,)}baabba，其中‘’表示空盒；
{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}Aabababbaba。
（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}SAB。
2．设,,ABC是随机试验E的三个事件，试用,,ABC表示下列事件：
（1）仅A发生；
（2）,,ABC中至少有两个发生；
？
（3）,,ABC中不多于两个发生；
（4）,,ABC中恰有两个发生；
（5）,,ABC中至多有一个发生。
解（1）ABC
（2）ABACBC或ABCABCABCABC；
（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；
（4）ABCABCABC；
（5）ABACBC或ABCABCABCABC；
3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)
i
Ai表示第i件产品是正品，试
用
i
A表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；
（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解（1）
123
AAA；（2）
123
AAA；（3）
123123123
AAAAAAAAA；
（4）
121323
AAAAAA。
)
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
4
10
4
126
()0.504
10250
P
PA
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解（1）设A‘5只全是好的’，则
5
37
5
40
()0.662
C
PA
C
；
（2）设B‘5只中有两只坏的’，则
23
337
5
40
()0.0354
CC
PB
C
.
…
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解（1）设A‘最小号码为5’，则
2
5
3
10
1
()
12
C
PA
C
；
（2）设B‘最大号码为5’，则
2
4
3
10
1
()
20
C
PB
C
.
7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解（1）设A‘他们的生日都不相同’，则
￥
365()
365
r
r
P
PA；
（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
21222321
42
4
41
()
1296
CCPCCCPC
PB
；
或
4
12
4
41
()1()1
1296
P
PBPB.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星
期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
26
7
6
(22)
()0.01107
7
C
PA
.为什么
9．将,,,,,,CCEEINS等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单
词SCIENCE的概率是多少
解
1
设A‘恰好排成SCIENCE’
、
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母C在7个位置中占两个位置，共有2
7
C
种占法，字母E在余下的5个位
置中占两个位置，共有2
5
C种占法，字母,,INC剩下的3个位置上全排列的方
法共3！种，故基本事件总数为22
75
3!1260CC，而A中的基本事件只有一
个，故
22
75
11
()
3!1260
PA
CC
；
解
2
七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异
元素的全排列。一般地，设有
n
个元素，其中第一种元素有
1
n个，第二种元素
有
2
n个…，第k种元素有
k
n个
12
()
k
nnnn，将这n个元素排成一排
称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
12
!
!!!
k
n
nnn
，
对于本题有
141
()
7!
7!1260
2!2!
PA.
10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事
件的概率：
1
A‘三个数字中不含0和5’，
2
A‘三个数字中不含0或5’，
3
A
‘三个数字中含0但不含5’.
解
3
8
1
3
10
7
()
15
C
PA
C
.
333
998
2
333
101010
14
()
15
CCC
PA
CCC
，
'
或
1
8
22
3
10
14
()1()1
15
C
PAPA
C
，
2
8
3
3
10
7
()
30
C
PA
C
.
11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每
堆各成一双’的概率.
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共
(2)!(2)!
2!2!2!(2!)n
nn
‘每堆各成一双’共有!n种情况，故
2!
()
(2)!
nn
PA
n
12．设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3PAPB，求()PAB与
()PAB
解()1()1()()0.3PABPABPAPB
因为,AB不相容，所以AB，于是
()()0.6PABPA
!
13．若()()PABPAB且()PAP，求()PB.
解()1()1()()()PABPABPAPBPAB
由()()PABPAB得
()1()1PBPAp
14．设事件,AB及AB的概率分别为,,pqr，求()PAB及()PAB
解()()()()PABPAPBPABpqr
()()()()()1()()()PABPAPBPABPAPBPAPAB
11qpqrpr.
15．设()()0.7PAPB，且,AB仅发生一个的概率为，求,AB都发生
的概率。
解
1
由题意有
：
0.5()()()PABABPABPAB
()()()()PAPABPBPAB
0.72()PAB，
所以
()0.1PAB.
解
2,AB仅发生一个可表示为ABAB，故
0.5()()()()2(),PABPABPAPBPAB
所以
()0.1PAB.
16．设()0.7,()0.3,()0.2PAPABPBA，求()PAB与()PAB.
^
解0.3()()()0.7()PABPAPABPAB，
所以
()0.4PAB，
故
()0.6PAB；
0.2()()()0.4PBPABPB.
所以
()0.6PB
()1()1()()()0.1PABPABPAPBPAB
17．设ABC，试证明()()()1PAPBPC
{
[证]因为ABC，所以
()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB
故
()()()1PAPBPC.证
毕.
18．对任意三事件,,ABC，试证
()()()()PABPACPBCPA.
[证]()()()()()()PABPACPBCPABPACPABC
()PABAC{()}()PABCPA.证
毕.
19．设,,ABC是三个事件，且
1
()()(),()()0
4
PAPBPCPABPBC，
1
()
8
PAC，求,,ABC至少有一个发生的概率。
解()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC
！
因为0()()0PABCPAB，所以()0PABC，于是
315
()
488
PABC
20．随机地向半圆202yaxx（
a
为正常数）内掷一点，点落在园
内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与
x
轴的夹角小于
/4的概率.
解：半圆域如图
设A‘原点与该点连线与
x
轴夹角小于/4’
0
y
x
a
/4
x
:
由几何概率的定义
22
2
11
42
()
1
2
aa
A
PA
a
的面积
半园的面积
11
2
21．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解
1
设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,xyaxy，
则0,0,0xayaxya，不等式构成平面域S.
A发生
0,0,
222
aaa
xyxya
不等式确定S的子域A，所以
?
1
()
4
A
PA
的面积
S的面积
解
2
设三段长分别为,,xyz，则0,0,0xayaza且
xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.
A发生xyz
xzy
yzx
不等式确定S的子域A，所以
1
()
4
A
PA
的面积
S的面积
.
22．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与
y之和不超过1，积不小于的概率.
解01,01xy，不等式确定平面域S.
A‘1,0.09xyxy’则A发生的
充要条件为01,10.09xyxy
不
等式确定了S的子域A，故
S
0
a/2
a/2
a
a
A
x
z
y
《
A
1
y
1/0
A
S
y
0.9
0.1
0.9
()(1)
A
PAxdx
x
的面积
S的面积
》
0.40.18ln30.2
23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)aa的一些平行线，向平面
上随机地投掷一根长()lla的针，求针与任一平行线相交的概率.
解设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设x为针的中点到最近的一条平行线的距
离。
为针与平行线的夹角，则
0,0
2
a
x，不等式确定了平面
上
的一个区域S.
A发生sin
2
L
x，不等式确定S的子域
A
故
0
12
()sin
2
2
LL
PAd
a
a
a
a
2
a
x
0
A
Ssin
2
l
x