ax的导数

ax的导数

-潮间带

2023年2月16日发(作者：天津钓鱼网)

§5简单复合函数的求导法则

学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法

则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

知识点一复合函数的概念

已知函数y＝2x＋5＋lnx，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．

思考1这三个函数都是复合函数吗？

答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋lnx不是复合函数．

思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？

答案设u＝2x＋5，则y＝lnu，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝lnu和u＝2x＋5，经过“复

合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．

梳理一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而

确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合

函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．

知识点二复合函数的求导法则

(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′

x

＝[f(φ(x))]′＝

f′(u)φ′(x)．

(2)复合函数求导的步骤

①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．

②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．

③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．

1．函数y＝e－

x的导数为y′＝e－

x.(×)

2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(×)

3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cosu，u＝3x＋1复合而成．(√)

类型一复合函数的概念

例1指出下列函数的复合关系．

(1)y＝(a＋bx)x；(2)y＝ln

3

ex＋2；

(3)y＝3log

2

(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3









x＋

1

x

.

考点简单复合函数的导数

题点复合函数的概念

解函数的复合关系分别是：

(1)y＝ux，u＝a＋bx.

(2)y＝lnu，u＝

3v，v＝ex＋2.

(3)y＝3log

2

u，u＝x2－2x＋3.

(4)y＝u3，u＝sinv，v＝x＋

1

x

.

反思与感悟要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写

出构成它的内、外层函数．

跟踪训练1下列函数不可以看成是复合函数的是()

A．y＝xcosxB．y＝

1

lnx

C．y＝(2x＋3)4D．y＝sin









π

2

－x

考点简单复合函数的导数

题点复合函数的概念

答案A

解析B中函数y＝

1

lnx

是由函数f(u)＝

1

u

和函数u＝φ(x)＝lnx复合而成的，其中u是中间变量；

C中函数y＝(2x＋3)4是由函数f(u)＝u4和函数u＝φ(x)＝2x＋3复合而成的，其中u是中间变

量；D中函数y＝sin









π

2

－x

是由函数f(u)＝sinu和函数u＝φ(x)＝

π

2

－x复合而成的，其中u是

中间变量．故选A.

类型二复合函数的求导

例2求下列函数的导数：

(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；

(3)y＝e2x＋1；(4)y＝2x－1；

(5)y＝sin









3x－

π

4

；(6)y＝cos2x.

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

解(1)y′＝2×(3x－2)·(3x－2)′＝6×(3x－2)

＝18x－12.

(2)y′＝

1

6x＋4

·(6x＋4)′＝

3

3x＋2

.

(3)y′＝e2x

＋

1·(2x＋1)′＝2e2x

＋

1.

(4)y′＝

1

22x－1

·(2x－1)′＝

1

2x－1

.

(5)y′＝cos









3x－

π

4

·









3x－

π

4

′＝3cos









3x－

π

4

.

(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.

反思与感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系

学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、

化繁为简的目的．

(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公

式，由外及内逐层求导．

跟踪训练2求下列函数的导数．

(1)y＝

ln3x

ex；

(2)y＝x1＋x2；

(3)y＝xcos









2x＋

π

2

sin









2x＋

π

2

.

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数

解(1)∵(ln3x)′＝

1

3x

×(3x)′＝

1

x

，

∴y′＝

ln3x′ex－ln3xex′

ex2

＝

1

x

－ln3x

ex＝

1－xln3x

xex.

(2)y′＝(x1＋x2)′

＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′

＝1＋x2＋

x2

1＋x2

＝

1＋2x21＋x2

1＋x2

.

(3)∵y＝xcos









2x＋

π

2

sin









2x＋

π

2

＝x(－sin2x)cos2x＝－

1

2

xsin4x，

∴y′＝









－

1

2

xsin4x

′

＝－

1

2

sin4x－

x

2

cos4x·4

＝－

1

2

sin4x－2xcos4x.

类型三复合函数导数的应用

例3设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝

3

2

x在

(0,0)点相切，求a，b的值．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

解由曲线y＝f(x)过(0,0)点，

可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.

由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，

得f′(x)＝

1

x＋1

＋

1

2x＋1

＋a，

则f′(0)＝1＋

1

2

＋a＝

3

2

＋a，

即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．

由题意，得

3

2

＋a＝

3

2

，故a＝0.

反思与感悟复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给

点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点

是解决问题的关键．

跟踪训练3曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方

程．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

解由y＝esinx，

得y′＝(esinx)′＝cosxesinx，

即当x＝0时，y′＝1，

则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.

若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.

两平行线间的距离d＝

|c－1|

2

＝2，得c＝3或c＝－1.

故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.

1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()

A．ln(2x＋5)－

x

2x＋5

B．ln(2x＋5)＋

2x

2x＋5

C．2xln(2x＋5)

D.

x

2x＋5

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案B

解析y′＝[xln(2x＋5)]′

＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′

＝ln(2x＋5)＋x·

1

2x＋5

·(2x＋5)′

＝ln(2x＋5)＋

2x

2x＋5

.

2．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一

条切线的斜率是

3

2

，则切点的横坐标为()

A．ln2B．－ln2C.

ln2

2

D．－

ln2

2

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案A

解析f′(x)＝ex－a·e－

x，

由f′(x)为奇函数可得a＝1，

故f(x)＝ex＋e－

x，f′(x)＝ex－e－

x.

设点P(x

0

，f(x

0

))处的切线斜率为

3

2

，

则0ex－0ex－＝

3

2

，解得x

0

＝ln2.

3．已知函数f(x)＝ax2－1，且f′(1)＝2，则实数a的值为()

A．1B．2C.2D．a>0

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案B

解析由题意得f′(x)＝

1

2

·(ax2－1)

1

2



·2ax＝

ax

ax2－1

，所以f′(1)＝

a

a－1

＝2，所以a＝2.

故选B.

4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′









π

9

sin3x＋cos3x，则f′









π

9

＝________.

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案33

解析∵f(x)＝f′









π

9

sin3x＋cos3x，

∴f′(x)＝f′









π

9

·3cos3x－3sin3x，

令x＝

π

9

可得f′









π

9

＝f′









π

9

×3cos

π

3

－3sin

π

3

＝

3

2

f′









π

9

－3×

3

2

，

解得f′









π

9

＝33.

5．曲线y＝2e

x

在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案e2

解析y′＝

1

2

2e

x

，

切线的斜率k＝

1

2

e2，

则切线方程为y－e2＝

e2

2

(x－4)，

令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，

∴切线与坐标轴围成三角形的面积为

1

2

×2×|－e2|＝e2.

求简单复合函数f(ax＋b)的导数

实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再

对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，

u＝ax＋b的形式是关键．

一、选择题

1．函数y＝2sin3x的导数y′等于()

A．2cos3xB．－2cos3x

C．6sin3xD．6cos3x

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案D

解析y′＝2(cos3x)·(3x)′＝6cos3x.

2．已知函数f(x)＝24x－3，则f′









1

4

的值是()

A.

1

4

B.

1

4

ln2

C．ln2D．1

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案C

解析∵f′(x)＝24x

－

3·ln2·(4x－3)′＝24x

－

1·ln2，∴f′









1

4

＝ln2.

3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()

A．0B．1

C．2D．3

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案D

解析y′＝a－

1

x＋1

，由题意得当x＝0时，y′＝2，

即a－1＝2，所以a＝3.

4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()

A.

1

3

B.

1

2

C.

2

3

D．1

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案A

解析∵当x＝0时，y′＝－2e－

2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.

由











y＝－2x＋2，

y＝x，

得x＝y＝

2

3

，

∴A









2

3

，

2

3

，

则围成的三角形的面积为

1

2

×

2

3

×1＝

1

3

.

5．若f(x)＝e2xln2x，则f′(x)等于()

A．e2xln2x＋

e2x

2x

B．e2xln2x＋

e2x

x

C．2e2xln2x＋

e2x

x

D．2e2x·

1

x

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案C

解析f′(x)＝(e2x)′ln2x＋e2x(ln2x)′＝2e2xln2x＋

1

x

e2x.

6．已知函数f(x)＝eax＋3x(x∈R)，a为实数，若f′(x)＝0有大于零的解，则()

A．a>－3B．a－

1

3

D．a<－

1

3

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案B

解析∵f′(x)＝aeax＋3，

由aeax＋3＝0，得eax＝－

3

a

(a<0)．

又f′(x)＝0有大于零的解，

∴0<－

3

a

<1，∴a<－3.

7．要得到函数f(x)＝sin









2x＋

π

3

的导函数f′(x)的图像，只需将f(x)的图像()

A．向右平移

π

2

个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B．向左平移

π

2

个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的

1

2

(横坐标不变)

C．向右平移

π

4

个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的

1

2

(横坐标不变)

D．向左平移

π

4

个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案D

解析∵f(x)＝sin









2x＋

π

3

的导函数f′(x)＝2cos









2x＋

π

3

＝2sin









2x＋

π

3

＋

π

2

＝2sin









2









x＋

π

4

＋

π

3

，

∴将f(x)＝sin









2x＋

π

3

的图像向左平移

π

4

个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横

坐标不变)，得到f′(x)＝2sin









2









x＋

π

4

＋

π

3

的图像．

二、填空题

8．函数y＝cos(π－3x)的导数y′＝________.

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案3sin3x

解析∵y＝－cos3x，

∴y′＝－(－sin3x)·(3x)′＝3sin3x.

9．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案2

解析y′＝ex

－

1＋xex

－

1＝(x＋1)ex

－

1，

故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e1

－

1＝2.

10．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.

考点简单复合函数的导数

题点简单的复合函数的导数

答案1

解析令u＝2x＋a，

则y

x

′＝y

u

′·u

x

′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，

则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.

11．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案(－ln2,2)

解析设P(x

0

，0ex－)，

当x＝x

0

时，y′＝－0ex－＝－2，得x

0

＝－ln2，

∴P(－ln2,2)．

12．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案2

解析设切点坐标是(x

0

，x

0

＋1)，

依题意有





1

x

0

＋a

＝1，

x

0

＋1＝lnx

0

＋a，

由此得x

0

＝－1，a＝2.

三、解答题

13．曲线y＝e2xcos3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为5，求直线l的方程．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

解由y′＝(e2xcos3x)′

＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′

＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)

＝e2x(2cos3x－3sin3x)，

得当x＝0时，y′＝2.

则切线方程为y－1＝2(x－0)，

即2x－y＋1＝0.

若直线l与切线平行，可设直线l的方程为

2x－y＋c＝0，

两平行线间的距离d＝

|c－1|

5

＝5，得c＝6或c＝－4.

故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.

四、探究与拓展

14．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是

________．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

答案2x－y＝0

解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex

－

1＋x.

因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex

－

1＋x，f′(x)＝ex

－

1＋1，f′(1)＝2，

即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，

即2x－y＝0.

15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．

考点简单复合函数的导数

题点简单复合函数的导数的综合应用

解作出直线l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln(2x－1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移

直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝

1

2x－1

(2x－1)′＝

2

2x－1

.

设切点为P(x

0

，y

0

)，

所以

2

2x

0

－1

＝2，所以x

0

＝1，

所以y

0

＝ln(2×1－1)＝0，即P(1,0)．

所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3

＝0的距离，

最短距离d＝

|2×1－0＋3|

22＋－12

＝

5

5

＝5.