南师附中江宁分校
-
2023年2月12日发(作者：)2021
年江苏省南京师大附中江宁分校中考数学模拟试卷
2021.03
一、选择题（共
6
小题）
.
1
．下列各式计算正确的是（）
A
．
x2•
x3＝
x5B
．
x2+3x2＝
4x4
C
．
x8÷
x2＝
x4D
．（
3x2y
）2＝
6x4y2
2
．如图，
AB
∥
CD
，
DA
⊥
AC
，垂足为
A
，若∠
ADC
＝
35
°，则∠
1
的度数为（）
A
．
65
°
B
．
55
°
C
．
45
°
D
．
35
°
3
．若分式的值为
0
，则
x
的值等于（）
A
．
0B
．
3C
．﹣
3D
．±
3
4
．如图，△
ABC
内接于⊙
O
，若∠
A
＝
45
°，
OC
＝
2
，则
BC
的长为（）
A
．
B
．
2C
．
2D
．
4
5
．如图，抛物线
y
＝
ax2+bx+c
（
a
≠
0
）与
x
轴交于点（
4
，
0
），其对称轴为直线
x
＝
1
，结
合图象给出下列结论：
①
ac
＜
0
；
②
a
﹣
b+c
＜
0
；
③当
x
＞
2
时，
y
随
x
的增大而增大；
④关于
x
的一元二次方程
ax2+bx+c
＝
0
有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
6
．如图，矩形
ABCD
中，
E
为
DC
的中点，
AD
：
AB
＝：
2
，
CP
：
BP
＝
1
：
2
，连接
EP
并延长，交
AB
的延长线于点
F
，
AP
、
BE
相交于点
O
．下列结论：①
EP
平分∠
CEB
；
②
BF2＝
PB
•
EF
；③
PF
•
EF
＝
2AD2；④
EF
•
EP
＝
4AO
•
PO
．其中正确的是（）
A
．①②③
B
．①②④
C
．①③④
D
．③④
二、填空题（每小题
2
分，共
20
分
.
）
7
．贾玲导演的《你好，李焕英》创下了
51.5
亿票房神话，成为全球票房最高女导演，将数
据
51.5
亿用科学记数法表示为．
8
．比较大小：
0.6
（填“＞”或“＜”）．
9
．若一组数据
2
，
3
，
4
，
5
，
x
的方差与另一组数据
5
，
6
，
7
，
8
，
9
的方差相等，则
x
＝．
10
．已知一次函数
y
＝
kx+b
，
k
从
1
、﹣
2
中随机取一个值，
b
从﹣
1
、
2
、
3
中随机取一个值，
则该一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为．
11
．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角
称为等径角．已知△
ABC
是等径三角形，则等径角的度数为．
12
．如图，在直角坐标系中，▱
OABC
的边
OC
落在
x
轴的正半轴上，且点
C
（
8
，
0
），
B
（
12
，
4
），直线
y
＝
2x+1
以每秒
2
个单位的速度向右平移，经过秒该直线可将
▱
OABC
的面积平分．
13
．已知抛物线
y
＝﹣
x2﹣
2x+3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，将这条抛物线的顶点记为
C
，连接
AC
、
BC
，则
tan
∠
CAB
的值为．
14
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
AD
＝
5
，
AD
，
AB
，
BC
分别与⊙
O
相切于
E
，
F
，
G
三点，过点
D
作⊙
O
的切线交
BC
于点
M
，切点为
N
，则
DM
的长为．
15
．如图，在直角坐标系中，正方形
OABC
的顶点
O
与原点重合，顶点
A
，
C
分别在
x
轴，
y
轴上，反比例函数
y
＝（
k
＞
0
，
x
＞
0
）的图象与正方形的两边
AB
，
BC
分别交于点
M
，
N
，
ND
⊥
x
轴，垂足为
D
，连接
OM
，
ON
，
MN
，若∠
MON
＝
45
°，
MN
＝
6
，则点
C
的
坐标为．
16
．在一条笔直的公路旁依次有
A
、
B
、
C
三个村庄，甲、乙两人同时分别从
A
、
B
两村出
发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向
C
村，最终到达
C
村．设甲、乙两人到
C
村的距离
y
1，
y
2（
km
）与行驶时间
x
（
h
）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直
接写出当
x
＝时距甲
5km
．
三
.
解答题
17
．（
1
）解方程组；
（
2
）解不等式组：．
18
．先化简：，然后从﹣
2
≤
a
≤
2
的范围内选取一个合适的整数
作为
a
的值代入求值．
19
．已知点
A
（﹣
1
，﹣
5
），
B
（
1
，
1
），
C
（
2
，
4
），请用两种不同的方法判断这三点是
否在一条直线上．（写出必要的推理过程）
20
．在平面直角坐标系中，△
ABC
的三个顶点的坐标分别是
A
（
1
，
3
），
B
（
4
，
1
），
C
（
1
，
1
）．
（
1
）画出△
ABC
关于
x
轴成轴对称的△
A
1
B
1
C
1；
（
2
）画出△
ABC
以点
O
为位似中心，位似比为
1
：
2
的△
A
2
B
2
C
2．
21
．如图，在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
BA
＝
BC
，
BD
平分∠
ABC
．
（
1
）求证：四边形
ABCD
是菱形；
（
2
）过点
D
作
DE
⊥
BD
，交
BC
的延长线于点
E
，若
BC
＝
5
，
BD
＝
8
，求四边形
ABED
的周长．
22
．为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共
30
名老
人提供居家养老服务，收集得到这
30
名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社
区
676873757678809295
乙社
区
666972747578819698
根据以上信息解答下列问题：
（
1
）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（
2
）现从两个社区年龄在
70
岁以下的
4
名老人中随机抽取
2
名了解居家养老服务情况，
求这
2
名老人恰好来自同一个社区的概率．
23
．如图，点
A
，
B
，
C
是半径为
2
的⊙
O
上三个点，
AB
为直径，∠
BAC
的平分线交圆于点
D
，过点
D
作
AC
的垂线交
AC
的延长线于点
E
，延长
ED
交
AB
的延长线于点
F
．
（
1
）判断直线
EF
与⊙
O
的位置关系，并证明．
（
2
）若
DF
＝
4
，求
tan
∠
EAD
的值．
24
．关于三角函数有如下的公式：
sin
（α
+
β）＝
sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β①
cos
（α
+
β）＝
cos
α
cos
β﹣
sin
α
sin
β②
tan
（α
+
β）＝③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105
°＝
tan
（
45
°
+60
°）＝＝＝＝
﹣（
2+
）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物
CD
上方
A
点处测得建筑物顶端
D
点的俯角α＝
60
°，底端
C
点的俯角β＝
75
°，此时直升飞机与建筑物
CD
的水平距离
BC
为
42m
，求建筑物
CD
的高．
25
．榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了
100
箱榴莲．已
知“线上”销售的每箱利润为
100
元．“线下”销售的每箱利润
y
（元）与销售量
x
（箱）
（
20
≤
x
≤
60
）之间的函数关系如图中的线段
AB
．
（
1
）求
y
与
x
之间的函数关系；
（
2
）当“线下”的销售利润为
4350
元时，求
x
的值；
（
3
）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用
a
元（
0
＜
a
＜
20
），若“线上”与“线
下”售完这
100
箱榴莲所获得的最大总利润为
11200
元，求
a
的值．
26
．红红对函数
y
＝
a|x2+bx|+c
（
a
≠
0
）的图象和性质进行了探究．已知当自变量
x
的值为
0
或
4
时，函数值都为﹣
3
；当自变量
x
的值为
1
或
3
时，函数值都为
0
．探究过程如下，
请补充完整．
（
1
）这个函数的表达式为；
（
2
）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性
质：．
（
3
）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线
y
＝
k
与函数
y
＝
a|x2+bx|+c
有两个交点，则
k
的取值范围是；
②已知函数
y
＝
x
﹣
3
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程
a|x2+bx|+c
＝
x
﹣
3
的解为：．
27
．问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，那么平面内的四点（任意三点均不在同一
直线上），能否在同一个圆上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点
A
、
B
、
C
确定的圆为⊙
O
．
（
1
）当
C
、
D
在线段
AB
的同侧时．
如图①，若点
D
在⊙
O
上，此时有∠
ACB
＝∠
ADB
，理由是．
如图②，若点
D
在⊙
O
内，此时有∠
ACB
∠
ADB
；
如图③，若点
D
在⊙
O
外，此时有∠
ACB
∠
ADB
（填“＝”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上的条件：．
类比学习
（
2
）仿照上面的探究思路，请探究：当
C
、
D
在线段
AB
的异侧时的情形．
由上面的探究，请用文字语言直接写出
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上的条件：．
拓展延伸
（
3
）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
在⊙
O
上，求作：
CN
⊥
AB
作法：①连接
CA
、
CB
②在上任取异于
B
、
C
的一点
D
，连接
DA
，
DB
；
③
DA
与
CB
相交于
E
点，延长
AC
、
BD
，交于
F
点；
④连接
F
、
E
并延长，交直径
AB
与
M
；
⑤连接
D
、
M
并延长，交⊙
O
于
N
，连接
CN
，则
CN
⊥
AB
．
请安上述作法在图④中作图，并说明
CN
⊥
AB
的理由．（提示：可以利用（
2
）中的结
论）
参考答案
一、选择题（每题
2
分，共
12
分
.
）
1
．下列各式计算正确的是（）
A
．
x2•
x3＝
x5B
．
x2+3x2＝
4x4
C
．
x8÷
x2＝
x4D
．（
3x2y
）2＝
6x4y2
解：
A
、
x2•
x3＝
x5，正确；
B
、
x2+3x2＝
4x2，故此选项错误；
C
、
x8÷
x2＝
x6，故此选项错误；
D
、（
3x2y
）2＝
9x4y2，故此选项错误．
故选：
A
．
2
．如图，
AB
∥
CD
，
DA
⊥
AC
，垂足为
A
，若∠
ADC
＝
35
°，则∠
1
的度数为（）
A
．
65
°
B
．
55
°
C
．
45
°
D
．
35
°
解：
∵
DA
⊥
AC
，垂足为
A
，
∴∠
CAD
＝
90
°，
∵∠
ADC
＝
35
°，
∴∠
ACD
＝
55
°，
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
1
＝∠
ACD
＝
55
°，
故选：
B
．
3
．若分式的值为
0
，则
x
的值等于（）
A
．
0B
．
3C
．﹣
3D
．±
3
解：∵分式的值为
0
，
∴
x2﹣
9
＝
0
，
x
﹣
3
≠
0
，
解得：
x
＝﹣
3
．
故选：
C
．
4
．如图，△
ABC
内接于⊙
O
，若∠
A
＝
45
°，
OC
＝
2
，则
BC
的长为（）
A
．
B
．
2C
．
2D
．
4
解：由圆周角定理得，∠
BOC
＝
2
∠
A
＝
90
°，
∴
BC
＝
OC
＝
2
，
故选：
B
．
5
．如图，抛物线
y
＝
ax2+bx+c
（
a
≠
0
）与
x
轴交于点（
4
，
0
），其对称轴为直线
x
＝
1
，结
合图象给出下列结论：
①
ac
＜
0
；
②
a
﹣
b+c
＜
0
；
③当
x
＞
2
时，
y
随
x
的增大而增大；
④关于
x
的一元二次方程
ax2+bx+c
＝
0
有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
解：开口向上则
a
＞
0
，与
y
轴交点在原点下方，
c
＜
0
，故①正确；
对称轴为
x
＝
1
，与
x
轴一个交点是（
4
，
0
），则另一个交点为（﹣
2
，
0
），则点（﹣
1
，
a
﹣
b+c
）在
x
轴下方，故②正确；
x
＞
2
时，图象在对称轴右侧，开口向上，
y
随
x
的增大而增大，故③正确；
图象与
x
轴有两个交点，则关于
x
的一元二次方程
ax2+bx+c
＝
0
有两个不相等的实数根，
故④正确；
故选：
D
．
6
．如图，矩形
ABCD
中，
E
为
DC
的中点，
AD
：
AB
＝：
2
，
CP
：
BP
＝
1
：
2
，连接
EP
并延长，交
AB
的延长线于点
F
，
AP
、
BE
相交于点
O
．下列结论：①
EP
平分∠
CEB
；
②
BF2＝
PB
•
EF
；③
PF
•
EF
＝
2AD2；④
EF
•
EP
＝
4AO
•
PO
．其中正确的是（）
A
．①②③
B
．①②④
C
．①③④
D
．③④
解：设
AD
＝
x
，
AB
＝
2x
，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AD
＝
BC
，
CD
＝
AB
，∠
D
＝∠
C
＝∠
ABC
＝
90
°．
DC
∥
AB
，
∴
BC
＝
x
，
CD
＝
2x
，
∵
CP
：
BP
＝
1
：
2
，
∴
CP
＝
x
，
BP
＝
x
．
∵
E
为
DC
的中点，
∴
CE
＝
CD
＝
x
，
∴
tan
∠
CEP
＝＝＝，
tan
∠
EBC
＝＝，
∴∠
CEP
＝
30
°，∠
EBC
＝
30
°，
∴∠
CEB
＝
60
°，
∴∠
PEB
＝
30
°，
∴∠
CEP
＝∠
PEB
，
∴
EP
平分∠
CEB
，故①正确；
∵
DC
∥
AB
，
∴∠
CEP
＝∠
F
＝
30
°，
∴∠
F
＝∠
EBP
＝
30
°，∠
F
＝∠
BEF
＝
30
°，
∴△
EBP
∽△
EFB
，
∴，
∴
BE
．
BF
＝
BP
．
EF
．
∵∠
F
＝∠
BEF
，
∴
BE
＝
BF
，
∴②
BF2＝
PB
•
EF
．故②正确；
∵∠
F
＝
30
°，
∴
PF
＝
2PB
＝
x
，
过点
E
作
EG
⊥
AF
于
G
，
∴∠
EGF
＝
90
°，
∴
EF
＝
2EG
＝
2x
，
∴
PF
•
EF
＝
x
•
2x
＝
8x2，
2AD2＝
2
×（
x
）2＝
6x2，
∵
6x2≠
8x2，
∴
PF
•
EF
≠
2AD2，故本答案错误；
在
Rt
△
ECP
中，
∵∠
CEP
＝
30
°，
∴
EP
＝
2PC
＝
x
．
∵
tan
∠
PAB
＝＝，
∴∠
PAB
＝
30
°，
∴∠
APB
＝
60
°，
∴∠
AOB
＝
90
°，
在
Rt
△
AOB
和
Rt
△
POB
中，由勾股定理得，
AO
＝
x
，
PO
＝
x
，
∴
EF
•
EP
＝
2x
•
x
＝
4x2
4AO
•
PO
＝
4
×
xx
＝
4x2．
∴
EF
•
EP
＝
4AO
•
PO
．故④正确．
故选：
B
．
二、填空题（每小题
2
分，共
20
分
.
）
7
．贾玲导演的《你好，李焕英》创下了
51.5
亿票房神话，成为全球票房最高女导演，将数
据
51.5
亿用科学记数法表示为
5.15
×
109．
解：
51.5
亿＝
5150000000
＝
5.15
×
109．
故答案为：
5.15
×
109．
8
．比较大小：＞
0.6
（填“＞”或“＜”）．
解：﹣
0.6
＝﹣＝，
∵（
5
）2＝
125
，
112＝
121
，
∴＞
11
，
∴＞
0
，即﹣
0.6
＞
0
，
∴＞
0
，
6
，
故答案为：＞．
9
．若一组数据
2
，
3
，
4
，
5
，
x
的方差与另一组数据
5
，
6
，
7
，
8
，
9
的方差相等，则
x
＝
1
或
6
．
解：∵一组数据
2
，
3
，
4
，
5
，
x
的方差与另一组数据
5
，
6
，
7
，
8
，
9
的方差相等，
∴这组数据可能是
2
，
3
，
4
，
5
，
6
或
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
∴
x
＝
1
或
6
，
故答案为：
1
或
6
．
10
．已知一次函数
y
＝
kx+b
，
k
从
1
、﹣
2
中随机取一个值，
b
从﹣
1
、
2
、
3
中随机取一个值，
则该一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为．
解：画树状图得：
∵共有
6
种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、三象限的有（
1
，
2
），（
1
，
3
），
∴一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为：＝．
故答案为：．
11
．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角
称为等径角．已知△
ABC
是等径三角形，则等径角的度数为
30
°或
150
°．
解：如图边
AB
与半径相等时，
则∠
AOB
＝
60
°，
当等径角顶点为
C
时，∠
C
＝∠
AOB
＝
30
°，
当等径角顶点为
D
时，∠
C+
∠
D
＝
180
°，∠
D
＝
150
°，
故答案为：
30
°或
150
°．
12
．如图，在直角坐标系中，▱
OABC
的边
OC
落在
x
轴的正半轴上，且点
C
（
8
，
0
），
B
（
12
，
4
），直线
y
＝
2x+1
以每秒
2
个单位的速度向右平移，经过
2.75
秒该直线可将
▱
OABC
的面积平分．
解：如图，连接
OB
、
AC
交于
E
，直线
y
＝
2x+1
与
x
轴交于
D
，
当直线过
E
时，▱
OABC
的面积平分，过
E
作直线
y
＝
2x+1
的平行线交
x
轴于
F
，
在
y
＝
2x+1
中令
y
＝
0
得
x
＝﹣
0.5
，
∴
D
（﹣
0.5
，
0
），
∵▱
OABC
，
∴
E
是
OB
中点，
∵
B
（
12
，
4
），
∴
E
（
6
，
2
）
设直线
EF
解析式为
y
＝
2x+b
，
将
E
（
6
，
2
）代入可得：
2
＝
12+b
，
∴
b
＝﹣
10
，
∴直线
EF
解析式为
y
＝
2x
﹣
10
，
令
y
＝
0
得
x
＝
5
，
∴
F
（
5
，
0
），
∴
DF
＝
5.5
．
∴移动直线将▱
OABC
的面积平分所需移动时间是
5.5
÷
2
＝
2.75
（
s
）．
故答案为：
2.75
．
13
．已知抛物线
y
＝﹣
x2﹣
2x+3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，将这条抛物线的顶点记为
C
，连接
AC
、
BC
，则
tan
∠
CAB
的值为
2
．
解：令
y
＝
0
，则﹣
x2﹣
2x+3
＝
0
，解得
x
＝﹣
3
或
1
，不妨设
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
1
，
0
），
∵
y
＝﹣
x2﹣
2x+3
＝﹣（
x+1
）2+4
，
∴顶点
C
（﹣
1
，
4
），
如图所示，作
CD
⊥
AB
于
D
．
在
Rt
△
ACD
中，
tan
∠
CAD
＝＝＝
2
，
故答案为：
2
．
14
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
AD
＝
5
，
AD
，
AB
，
BC
分别与⊙
O
相切于
E
，
F
，
G
三点，过点
D
作⊙
O
的切线交
BC
于点
M
，切点为
N
，则
DM
的长为．
解：连接
OE
，
OF
，
ON
，
OG
，
在矩形
ABCD
中，
∵∠
A
＝∠
B
＝
90
°，
CD
＝
AB
＝
4
，
∵
AD
，
AB
，
BC
分别与⊙
O
相切于
E
，
F
，
G
三点，
∴∠
AEO
＝∠
AFO
＝∠
OFB
＝∠
BGO
＝
90
°，
∴四边形
AFOE
，
FBGO
是正方形，
∴
AF
＝
BF
＝
AE
＝
BG
＝
2
，
∴
DE
＝
3
，
∵
DM
是⊙
O
的切线，
∴
DN
＝
DE
＝
3
，
MN
＝
MG
，
∴
CM
＝
5
﹣
2
﹣
MN
＝
3
﹣
MN
，
在
R
t△
DMC
中，
DM2＝
CD2+CM2，
∴（
3+NM
）2＝（
3
﹣
NM
）2+42，
∴
NM
＝，
∴
DM
＝
3+
＝．
故答案为．
15
．如图，在直角坐标系中，正方形
OABC
的顶点
O
与原点重合，顶点
A
，
C
分别在
x
轴，
y
轴上，反比例函数
y
＝（
k
＞
0
，
x
＞
0
）的图象与正方形的两边
AB
，
BC
分别交于点
M
，
N
，
ND
⊥
x
轴，垂足为
D
，连接
OM
，
ON
，
MN
，若∠
MON
＝
45
°，
MN
＝
6
，则点
C
的
坐标为（
0
，
3+3
）．
解：如图，延长
BA
至
E
，使
AE
＝
CN
，连接
OE
，
∵正方形
OABC
，
∴
OC
＝
CB
＝
BA
＝
AO
，∠
OCN
＝∠
B
＝∠
BAO
＝
90
°，
∴∠
OCN
＝∠
OAE
＝
90
°，
在△
OCN
和△
OAE
中，
，
∴△
OCN
≌△
OAE
（
SAS
），
∴
ON
＝
OE
，
CN
＝
AE
，∠
CON
＝∠
AOE
，
∵∠
MON
＝
45
°，
∴∠
AOM+
∠
CON
＝∠
AOM+
∠
AOE
＝
45
°，
∴∠
MON
＝∠
MOE
＝
45
°，
在△
MON
和△
MOE
中，
，
∴△
MON
≌△
MOE
（
SAS
），
∴
MN
＝
ME
，
∵
MN
＝
6
，
∴
ME
＝
6
，
而
S
△
CON＝
S
△
AOM＝，
∴
OC
×
CN
＝
OA
×
AM
，且
OC
＝
OA
，
∴
AM
＝
CN
，
∴
AM
＝
AE
＝
3
，
∴
BM
＝
BN
，
又
MN
＝
6
，
∴
Rt
△
BMN
中可得
BM
＝
BN
＝
3
，
∴
BC
＝
BA
＝
3+3
，
∴
C
（
0
，
3+3
），
故答案为：（
0
，
3+3
）．
16
．在一条笔直的公路旁依次有
A
、
B
、
C
三个村庄，甲、乙两人同时分别从
A
、
B
两村出
发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向
C
村，最终到达
C
村．设甲、乙两人到
C
村的距离
y
1，
y
2（
km
）与行驶时间
x
（
h
）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直
接写出当
x
＝或或时距甲
5km
．
解：设
y
1＝
kx+b
，将（
0
，
120
）和（
0.5
，
90
）代入得：
，解得，
∴
y
1＝﹣
60x+120
，
设
y
2＝
mx+n
，将（
0
，
90
）和（
3
，
0
）代入得：
，解得，
∴
y
2＝﹣
30x+90
，
乙在行驶过程中距甲
5km
分三种情况：
①甲在乙后面
5km
即甲距
C
村远
5km
，则
y
1﹣
y
2＝
5
，
∴（﹣
60x+120
）﹣（﹣
30x+90
）＝
5
，
解得
x
＝，
②乙在甲后面
5km
即乙距
C
村远
5km
，则
y
2﹣
y
1＝
5
，
∴（﹣
30x+90
）﹣（﹣
60x+120
）＝
5
，
解得
x
＝，
③甲已经到
C
村，乙距
C
村
5km
，则
y
2＝
5
，
∴﹣
30x+90
＝
5
，
解得
x
＝，
故答案为：或或．
三
.
解答题
17
．（
1
）解方程组；
（
2
）解不等式组：．
解：（
1
），
将原方程组整理得：，
①
+
②得：
4x
＝
8
，
∴
x
＝
2
，
将
x
＝
2
代入①得：
2
﹣
2y
＝
2
，
∴
y
＝
0
，
∴方程组的解为：；
（
2
），
由不等式①得：
x
≤
3
，
由不等式②得：
x
＞﹣
1
，
∴不等式组的解集为：﹣
1
＜
x
≤
3
．
18
．先化简：，然后从﹣
2
≤
a
≤
2
的范围内选取一个合适的整数
作为
a
的值代入求值．
解：原式＝
[
﹣
]
•
＝
[
﹣
]
•
＝•
＝•
＝，
当
a
＝
1
时，原式＝．
19
．已知点
A
（﹣
1
，﹣
5
），
B
（
1
，
1
），
C
（
2
，
4
），请用两种不同的方法判断这三点是
否在一条直线上．（写出必要的推理过程）
解：
A
、
B
、
C
三点在一条直线上．
方法一：设
AB
两点所在直线的解析式为
y
＝
kx+b
，
将
A
（﹣
1
，﹣
5
），
B
（
1
，
1
）代入，
得：，
解得：，
∴直线
AB
的解析式为：
y
＝
3x
﹣
2
，
当
x
＝
2
时，
y
＝
4
，
∴点
C
也在直线
AB
上，即
A
、
B
、
C
三点在一条直线上．
方法二：∵
A
（﹣
1
，﹣
5
），
B
（
1
，
1
），
C
（
2
，
4
），
∴
AB
＝＝
2
，
BC
＝＝，
AC
＝
＝
3
，
∴
AB+BC
＝
2+
＝
3
，
∴
AB+BC
＝
AC
，
∴
A
、
B
、
C
三点在一条直线上．
20
．在平面直角坐标系中，△
ABC
的三个顶点的坐标分别是
A
（
1
，
3
），
B
（
4
，
1
），
C
（
1
，
1
）．
（
1
）画出△
ABC
关于
x
轴成轴对称的△
A
1
B
1
C
1；
（
2
）画出△
ABC
以点
O
为位似中心，位似比为
1
：
2
的△
A
2
B
2
C
2．
解：（
1
）由题意知：△
ABC
的三个顶点的坐标分别是
A
（
1
，
3
），
B
（
4
，
1
），
C
（
1
，
1
），
则△
ABC
关于
x
轴成轴对称的△
A
1
B
1
C
1的坐标为
A
1（
1
，﹣
3
），
B
1（
4
，﹣
1
），
C
1（
1
，
﹣
1
），
连接
A
1
C
1，
A
1
B
1，
B
1
C
1
得到△
A
1
B
1
C
1．
如图所示△
A
1
B
1
C
1为所求；
（
2
）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，△
A
2
B
2
C
2和△
ABC
在同一侧
则
A
2（
2
，
6
），
B
2（
8
，
2
），
C
2（
2
，
2
），
连接各点，得△
A
2
B
2
C
2．
第二种，△
A
2
B
2
C
2在△
ABC
的对侧
A
2（﹣
2
，﹣
6
），
B
2（﹣
8
，﹣
2
），
C
2（﹣
2
，﹣
2
），
连接各点，得△
A
2
B
2
C
2．
因为在网格中作图，图中网格是有范围的，只能在网格中作图，所以位似放大只能画一
个．
综上所述：如图所示△
A
2
B
2
C
2为所求．
21
．如图，在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
BA
＝
BC
，
BD
平分∠
ABC
．
（
1
）求证：四边形
ABCD
是菱形；
（
2
）过点
D
作
DE
⊥
BD
，交
BC
的延长线于点
E
，若
BC
＝
5
，
BD
＝
8
，求四边形
ABED
的周长．
【解答】（
1
）证明：∵
AD
∥
BC
，
∴∠
ADB
＝∠
CBD
，
∵
BD
平分∠
ABC
，
∴∠
ABD
＝∠
CBD
，
∴∠
ADB
＝∠
ABD
，
∴
AD
＝
AB
，
∵
BA
＝
BC
，
∴
AD
＝
BC
，
∴四边形
ABCD
是平行四边形，
∵
BA
＝
BC
，
∴四边形
ABCD
是菱形；
（
2
）解：∵
DE
⊥
BD
，
∴∠
BDE
＝
90
°，
∴∠
DBC+
∠
E
＝∠
BDC+
∠
CDE
＝
90
°，
∵
CB
＝
CD
，
∴∠
DBC
＝∠
BDC
，
∴∠
CDE
＝∠
E
，
∴
CD
＝
CE
＝
BC
，
∴
BE
＝
2BC
＝
10
，
∵
BD
＝
8
，
∴
DE
＝＝
6
，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AD
＝
AB
＝
BC
＝
5
，
∴四边形
ABED
的周长＝
AD+AB+BE+DE
＝
26
．
22
．为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共
30
名老
人提供居家养老服务，收集得到这
30
名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社
区
676873757678809295
乙社
区
666972747578819698
根据以上信息解答下列问题：
（
1
）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（
2
）现从两个社区年龄在
70
岁以下的
4
名老人中随机抽取
2
名了解居家养老服务情况，
求这
2
名老人恰好来自同一个社区的概率．
解：（
1
）甲社区：这
15
位老人年龄从小到大排列处在中间位置的一个数是
82
岁，因此
中位数是
82
岁，
在这组数据中出现次数最多的是
85
岁，因此众数是
85
岁；
（
2
）年龄小于
70
岁甲社区
2
人，乙社区的有
2
人，从
4
人中任取
2
人，所有可能出现
的结果如下：
共有
12
种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有
4
种，
∴
P
（来自同一个社区）
＝＝．
23
．如图，点
A
，
B
，
C
是半径为
2
的⊙
O
上三个点，
AB
为直径，∠
BAC
的平分线交圆于点
D
，过点
D
作
AC
的垂线交
AC
的延长线于点
E
，延长
ED
交
AB
的延长线于点
F
．
（
1
）判断直线
EF
与⊙
O
的位置关系，并证明．
（
2
）若
DF
＝
4
，求
tan
∠
EAD
的值．
【解答】（
1
）证明：连接
OD
，如图所示：
∵
OA
＝
OD
，
∴∠
OAD
＝∠
ODA
，
∵
AD
平分∠
EAF
，
∴∠
DAE
＝∠
DAO
，
∴∠
DAE
＝∠
ADO
，
∴
OD
∥
AE
，
∵
AE
⊥
EF
，
∴
OD
⊥
EF
，
∴
EF
是⊙
O
的切线；
（
2
）解：在
Rt
△
ODF
中，
OD
＝
2
，
DF
＝
4
，
∴
OF
＝＝
6
，
∵
OD
∥
AE
，
∴，
∴＝＝，
∴
AE
＝，
ED
＝，
∴
tan
∠
EAD
＝＝．
24
．关于三角函数有如下的公式：
sin
（α
+
β）＝
sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β①
cos
（α
+
β）＝
cos
α
cos
β﹣
sin
α
sin
β②
tan
（α
+
β）＝③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105
°＝
tan
（
45
°
+60
°）＝＝＝＝
﹣（
2+
）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物
CD
上方
A
点处测得建筑物顶端
D
点的俯角α＝
60
°，底端
C
点的俯角β＝
75
°，此时直升飞机与建筑物
CD
的水平距离
BC
为
42m
，求建筑物
CD
的高．
解：由于α＝
60
°，β＝
75
°，
BC
＝
42
，
则
AB
＝
BC
•
tan
β＝
42tan75
°＝
42
•＝
42
•＝
42
（），
A
、
D
垂直距离为
BC
•
tan
α＝
42
，
∴
CD
＝
AB
﹣
42
＝
84
（米）．
答：建筑物
CD
的高为
84
米．
25
．榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了
100
箱榴莲．已
知“线上”销售的每箱利润为
100
元．“线下”销售的每箱利润
y
（元）与销售量
x
（箱）
（
20
≤
x
≤
60
）之间的函数关系如图中的线段
AB
．
（
1
）求
y
与
x
之间的函数关系；
（
2
）当“线下”的销售利润为
4350
元时，求
x
的值；
（
3
）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用
a
元（
0
＜
a
＜
20
），若“线上”与“线
下”售完这
100
箱榴莲所获得的最大总利润为
11200
元，求
a
的值．
解：（
1
）设
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝
kx+b
，代入点
A
（
20
，
150
），
B
（
60
，
130
）
得：
，
∴．
∴
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝﹣
x+160
．
（
2
）由题意得：
x
（﹣
x+160
）＝
4350
，
整理得：
x2﹣
320x+8700
＝
0
，
∴（
x
﹣
30
）（
x
﹣
290
）＝
0
，
∴
x
1＝
30
，
x
2＝
290
（舍）．
∴
x
的值为
30
．
（
3
）设总利润为
P
，则
P
＝
x
（﹣
x+160
﹣
a
）
+100
（
100
﹣
x
）
＝﹣
x2+
（
60
﹣
a
）
x+10000
，
对称轴为：
x
＝﹣＝
60
﹣
a
，
∵
0
＜
a
＜
20
，
∴
40
＜
60
﹣
a
＜
60
，
∴当
x
＝
60
﹣
a
时，﹣×（
60
﹣
a
）2+
（
60
﹣
a
）（
60
﹣
a
）
+10000
＝
11200
，
（
60
﹣
a
）2＝
2400
，
∴
60
﹣
a
＝±
20
，
∴
a
1＝
60
﹣
20
，
a
2＝
60+20
（舍）．
∵
x
为正整数，
∴
a
为正整数，
∵
2.4
＜＜
2.5
，
∴
60
﹣
20
×
2.5
＜
60
﹣
20
＜
60
﹣
20
×
2.4
，
∴
10
＜
60
﹣
20
＜
12
，
，∴
a
＝
11
．
26
．红红对函数
y
＝
a|x2+bx|+c
（
a
≠
0
）的图象和性质进行了探究．已知当自变量
x
的值为
0
或
4
时，函数值都为﹣
3
；当自变量
x
的值为
1
或
3
时，函数值都为
0
．探究过程如下，
请补充完整．
（
1
）这个函数的表达式为
y
＝
|x2﹣
4x|
﹣
3
；
（
2
）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函
数关于直线
x
＝
2
对称．
（
3
）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线
y
＝
k
与函数
y
＝
a|x2+bx|+c
有两个交点，则
k
的取值范围是
k
＞
2
；
②已知函数
y
＝
x
﹣
3
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程
a|x2+bx|+c
＝
x
﹣
3
的解为：
x
＝
0
或
x
＝
3
或
x
＝
5
．
解：（
1
）将
x
＝
0
，
y
＝﹣
3
；
x
＝
4
，
y
＝﹣
3
；
x
＝
1
，
y
＝
0
代入
y
＝
a|x2+bx|+c
（
a
≠
0
），
得到：
c
＝﹣
3
，
b
＝﹣
4
，
a
＝
1
，
∴
y
＝
|x2﹣
4x|
﹣
3
，
故答案为
y
＝
|x2﹣
4x|
﹣
3
．
（
2
）如图：函数关于直线
x
＝
2
对称，
故答案为函数关于直线
x
＝
2
对称．
（
3
）①观察图像可知，直线
y
＝
k
与函数
y
＝
a|x2+bx|+c
有两个交点，则
k
的取值范围是
k
＞
2
故答案为
k
＞
2
．
②
y
＝
x
﹣
3
与
y
＝
x2﹣
4x
﹣
3
的交点为
x
＝
0
或
x
＝
3
或
x
＝
5
，
结合图象，
y
＝
|x2﹣
4x|
﹣
3
＝
x
﹣
3
的解为
x
＝
0
或
x
＝
3
或
x
＝
5
，
故答案为
x
＝
0
或
x
＝
3
或
x
＝
5
．
27
．问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，那么平面内的四点（任意三点均不在同一
直线上），能否在同一个圆上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点
A
、
B
、
C
确定的圆为⊙
O
．
（
1
）当
C
、
D
在线段
AB
的同侧时．
如图①，若点
D
在⊙
O
上，此时有∠
ACB
＝∠
ADB
，理由是同弧所对的圆周角相等．
如图②，若点
D
在⊙
O
内，此时有∠
ACB
＜∠
ADB
；
如图③，若点
D
在⊙
O
外，此时有∠
ACB
＞∠
ADB
（填“＝”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上的条件：当
C
、
D
在线段
AB
的同侧且∠
ACB
＝∠
ADB
时，
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上．
类比学习
（
2
）仿照上面的探究思路，请探究：当
C
、
D
在线段
AB
的异侧时的情形．
由上面的探究，请用文字语言直接写出
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上的条件：当
C
、
D
在线段
AB
的异侧且∠
ACB+
∠
ADB
＝
180
°时，
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上．
拓展延伸
（
3
）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
在⊙
O
上，求作：
CN
⊥
AB
作法：①连接
CA
、
CB
②在上任取异于
B
、
C
的一点
D
，连接
DA
，
DB
；
③
DA
与
CB
相交于
E
点，延长
AC
、
BD
，交于
F
点；
④连接
F
、
E
并延长，交直径
AB
与
M
；
⑤连接
D
、
M
并延长，交⊙
O
于
N
，连接
CN
，则
CN
⊥
AB
．
请安上述作法在图④中作图，并说明
CN
⊥
AB
的理由．（提示：可以利用（
2
）中的结
论）
解：（
1
）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠
ACB
＝∠
ADB
．
②如图②，延长
BD
交⊙
O
于点
E
，
∵∠
AEB
＝∠
ACB
，∠
AEB
＜∠
ADB
∴∠
ACB
＜∠
ADB
．
③如图③，连接
AF
，
∵∠
AFB
＝∠
ACB
，∠
AFB
＞∠
ADB
∴∠
ACB
＞∠
ADB
．
故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、
当
C
、
D
在线段
AB
的同侧且∠
ACB
＝∠
ADB
时，
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上．
（
2
）①如图④，
∵与的度数之和等于
360
°，
且∠
ADB
的度数等于度数的一半，
∠
ACB
的度数等于度数的一半，
∴∠
ACB+
∠
ADB
＝
180
°．
②如图⑤，延长
AD
交⊙
O
于点
E
，连接
BE
，
∵∠
ACB+
∠
AEB
＝
180
°，∠
AEB
＜∠
ADB
，
∴∠
ACB+
∠
ADB
＞
180
°．
③如图⑥，连接
BF
，
∵∠
ACB+
∠
AFB
＝
180
°，∠
AFB
＞∠
ADB
，
∴∠
ACB+
∠
ADB
＜
180
°．
故答案为：∠
ACB+
∠
ADB
＝
180
°、∠
ACB+
∠
ADB
＞
180
°、∠
ACB+
∠
ADB
＜
180
°．
当
C
、
D
在线段
AB
的异侧且∠
ACB+
∠
ADB
＝
180
°时，
A
、
B
、
C
、
D
四点在同一个圆上．
（
3
）图⑦即为所求作．
∵
AB
是⊙
O
的直径，
∴∠
ACB
＝∠
ADB
＝
90
°，即
BC
⊥
AF
，
AD
⊥
BF
，
∴根据三角形的三条高交于同一点可得：
FM
⊥
AB
．
∴∠
EMB
＝
90
°．
∴∠
EMB+
∠
EDB
＝
180
°．
∴由（
2
）中的结论可得：点
E
、
D
、
B
、
M
在同一个圆上，如图⑦所示．
∴∠
EMD
＝∠
EBD
．
∵∠
CND
＝∠
CBD
，
∴∠
CND
＝∠
EMD
．
∴
CN
∥
EM
．
∴∠
CHB
＝∠
EMB
．
∵∠
EMB
＝
90
°，
∴∠
CHB
＝
90
°，即
CN
⊥
AB
．