cos公式
-会咬人的电
2023年2月16日发(作者：重庆市网上房地产)1
三角函数公式大全
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin2(α)+cos2(α)=1
1+tan2(α)=sec2(α)
1+cot2(α)=csc2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
tanα*cotα=1
一个特殊公式
（sina+sinθ）（sina-sinθ）=sin（a+θ）sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）（sina-sinθ）=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]2
cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]
=sin（a+θ）sin（a-θ）
坡度公式：
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用
字母i表示，
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:m形式，如i=1:5.如果把坡面与水
平面的夹角记作
a(叫做坡角），那么i=h/l=tana.
锐角三角函数公式：
正弦：sinα=∠α的对边/∠α的斜边
余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边
半角公式：
sin2(α/2)=(1-cosα)/2
cos2(α/2)=(1+cosα)/2
tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα)=0
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式推导过程中可得到
一组降次公式，即
2
万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
其他
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(
n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(
n-1)/n]=0
以及
sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B
和差化积：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式：
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
积化和差：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
3
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
4
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=
√{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)}·sin{ωt+arcsin[(A·sinθ+B·sinφ)
/√{A2+B2;+2ABcos(θ-φ)}}
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
(4)对于任意非直角三角形，总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数：
(1)tanA=sinA/cosA
(2)csc(a)=1/sin(a)
(3)sec(a)=1/cos(a)
(4)sec2a+csc2α=sec2α.csc2α
二倍角公式：
sin2A=2sinA·cosA
cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A
tan2A=（2tanA）/（1-tan2A）
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cos3α-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tan（α）(-3+tan2α）/(-1+3tan2α）=tan
a·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3
sina-4sin3a
cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4co
s3a-3cosa
5
sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²6
0°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[
(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-
a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]
{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cos
asin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
四倍角公式：
sin4A=-4((2sin2A-1))
cos4A=1+(-8cos2A+8cos4A)
tan4A=(4tanA-4tan3A)/(1-6tan2A+tan4A)
五倍角公式：
sin5A=16sin5A-20sin3A+5sinA
cos5A=16cos5A-20cos3A+5cosA
tan5A=tanA(5-10tan2A+tan4A)/(1-10tan2A+5tan4A)
六倍角公式：
sin6A=2(cosAsinA(2sinA+1)(2sinA-1)(-3+4sin2A)cos6A=(-1+2cos2A)
16cos4A-16cos2A+1)
tan6A=(-6tanA+20tan3A-6tan5A)/(-1+15tan2A-15tan4A+tan6A)
七倍角公式：
sin7A=-sinA(56sin2A-112sin4A-7+64sin6A)
cos7A=cosA(56cos2A-112cos4A+64cos6A-7)
tan7A=tanA(-7+35tan2A-21tan4A+tan6A)/(-1+21tan2A-35tan4A+7tan6A)
八倍角公式：
sin8A=-8(cosAsinA(2sin2A-1)(-8sin2A+8sin4A+1)
cos8A=1+(160cos4A-256cos6A+128cos8A-32cos2A)
tan8A=-8tanA(-1+7tan2A-7tan4A+tan6A)/(1-28tan2A+70tan4A-28tan6A+tan8A)
九倍角公式：
sin9A=sinA(-3+4sin2A)(64sin6A-96sin4A+36sin2A-3);
cos9A=(cosA(-3+4cos2A)(64cos6A-96cos4A+36cos2A-3);
tan9A=tanA
(9-84tan2A+126tan4A-36tan6A+tan8A)/(1-36tan2A+126tan4A-84tan6A+9tan8A)
十倍角公式：
sin10A=2(cosAsinA(4sin2A+2sinA-1)(4sin2A-2sinA-1)(-20sin2A+5+16sin4A)
cos10A=(-1+2cos2A)(256cos8A-512cos6A+304cos4A-48cos2A+1)
tan10A=-2tanA
(5-60tan2A+126tan4A-60tan6A+5tan8A)/(-1+45tan2A-210tan4A+210tan6A-45ta
n8A+tan10A)
N倍角公式:
根据棣美弗定理，(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)为方便描
6
述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：
cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)n=C(n,0)cn+C(n,2)c(n-2)(is)2+C(n,4)c(n-4)
(is)4+...+C(n,1)c(n-1)(is)1+(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5)c(n-5)(is)5+...=>比较两边
的实部与虚部,实部：
cos(nθ)=C(n,0)cn+C(n,2)c(n-2)(is)2+C(n,4)c(n-4)(is)4+...i*(虚部)：
i*sin(nθ)=C(n,1)c(n-1)(is)1+C(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5)c(n-5)(is)5+...对所有
的自然数n，
(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方关系)，因此全部
都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
(nθ)：(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2(平
方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。(2)当n是偶数时：公
式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至
少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉。(例.c3=c*c2=c(1-s2)，c5=c(c2)
2=c(1-s2)2
幂级数展开式：
sinx=x-x3/3!+x5/5!-……+(-1)(k-1)(x(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ cosx=1-x2/2!+x4/4!-……+(-1)k*(x2k)/(2k)!+……(-∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+……(|x|<1) arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+……)(|x|<1) arctanx=x-x3/3+x5/5-……(x≤1) 无限公式： sinx=x(1-x2/π2)(1-x^2/4π2)(1-x2/9π2)…… cosx=(1-4x2/π2)(1-4x2/9π2)(1-4x2/25π2)…… tanx=8x[1/(π2-4π2)+1/(9π2-4x2)+1/(25π2-4π2)+……] secx=4π[1/(π2-4π2)-1/(9π2-4π2)+1/(25π2-4π2)-+……] (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8…… (1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π arctanx=x-x3/3+x5/5-……(x≤1) 双曲函数： sha=(ea-e–a)/2 cha=(ea+e-a)/2 tha=sinh(a)/cosh(a) 和自变量数列求和有关的公式 sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2) an((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+ cosnx) sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sin2nx)/sinx cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 内容规律： 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会 发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也 是学好三角函数的关键所在。 1．三角函数本质： 7 [1]根据右图，有 sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如 以推导 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD 为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ，sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]2+[sin(α-β)]2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义 在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位 圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。 根据勾股定理，单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺 时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与 单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图象中的 三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cos θ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1 的一种查看无限个三角形的方式。