江苏省阜宁中学
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2023年2月12日发(作者：)1
一类三角函数式的求解妙法
江苏省阜宁中学（224400）张敬祝
例：求cos36°－cos72°的值。
解：设cos36°－cos72°=x
则2sin36°x=2sin36°cos36°－2sin36°cos72°
=sin72°－[sin108°+sin（－36°）]
=sin36°
∴x=
2
1
解：设cos36°－cos72°=x
则x2=cos236°－2cos36°cos72°+cos272°
=
2
72cos1
+
2
144cos1
－[cos108°+cos（36°－72°）]
=1+
cos
2
3
72°－
cos
2
3
36°=1
x
2
3
∴x2+
x
2
3
－1=02x2+3x－2=0（2x－1）（x+2）=0
∵x>0∴x>
2
1
解：根据定理
cos（α
n
2
）+……+cos[α+
n
n)1(2
]=0
得cos36°+cos108°+cos180°+cos252°+cos324°=0
∴cos36°－cos72°－1－cos72°+cos36°=0
∴2cos36°－2cos72°=1
∴cos36°－cos72°=
2
1
点评解法一体现了求值过程中的方程思想。
解法二巧妙地应用了三角函数的特殊性质，体现了数学的创造性和和谐美。
2
向量法的一个妙用
——正多边形的定理的证明及应用
江苏省阜宁中学（224400）张敬祝
定理一：正多边形中心到各顶点的向量和为零向量。
已知正多边形A
1
A
2
……A
n
，中心为O
求证：易证存在实数λ≠2，使
1
OA
3
OA
2
OA
2
OA+
4
OA=λ
3
OA
……
1n
OA
1
OAλ
n
OA
n
OA+
2
OA=λ
1
OA
则2（
1
OA
2
OA+……+
n
OA）=λ（
1
OA……+
n
OA）
∵λ≠2
∴
1
OA+
2
OA+……+
n
OA=
0
应用定理
求证：（1）cosα+cos（α+
n
2
）+……+cos[α+
n
n)1(2
]=0
（2）sinα+sin（α+
n
2
）+……+cos[α+
n
n)1(2
]=0
证明：设直角坐标平向上一个正多边形A
1
A
2
……A
n
，外接图径为1，
1
OA、
2
OA……
n
OA分别是α
n
2
，……α+
n
n)1(2
的终边向量
1
OA、
2
OA……
n
OA的坐标分别
为（cosα，sinα）……（（cosα+
n
n)1(2
），sin（α+
n
n)1(2
））
∵
1
OA
+
2
OA
+……+
n
OA
=
0
∴cosα+cos(α
n
2
)+……+cos（α+
n
n)1(2
）=0
3
sinα+sin(α
n
2
)+……+sin（α+
n
n)1(2
）=0
例1求值
（1）cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°
（2）sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°
解（1）原式=cos（5°）+cos（5°+
5
360
）+……+cos（5°+
5
4360
）
=0
（2）同理原式=0
例2求cos36°—cos72°
解：∵cos36°+cos108°+cos180°+cos252°+cos324°
=cos36°+cos（36°+72°）+cos（36°+2×72°）+cos（36°+3×72°）
（36°+4×72°）=0
∴cos36°－cos72°－1－cos72°+cos36°=0
∴cos36°－cos72°=
2
1
点评：
①定理一通过引入向量进行证明，使复杂的问题得以简化。
②应用定理，实现了从多边形到三角恒等式的转化。
③三角恒等式的定理为三角求值提供了一条捷径。