安徽高考试卷
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2023年2月12日发(作者：)(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）
A．B．C．D．
3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条D．既不充分也不必要条件
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5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和
五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为
88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解
集为（）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|＜﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}
7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1
D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x
1
，
x
2
，…，x
n
，使得=…=，则n的取值范围是（）
A．{3，4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3}
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9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，
则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）
A．B．C．D．
10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）=x
1
，则关于x的方
程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．
12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，
则角C=_________．
13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB
为直角，则a的取值范围为_________．
14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
，…，A
n
，…和B
1
，B
2
，…，B
n
，…分别在角O的
两条边上，所有A
n
B
n
相互平行，且所有梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积均相等，设OA
n
=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2，
则数列{a
n
}的通项公式是_________．
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15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC
1
上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出
所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
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（2）设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F
2
P交y轴于点Q，并且
F
1
P⊥F
1
Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和
CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
20．（13分）（2013•安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+），证明：
（1）对每个n∈N
+
，存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0；
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．
21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由
李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），
假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记
该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
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2013年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．
专题：计算题．
分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组
求解a，b，则复数z可求．
解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，
由，得（a+bi）（a﹣bi）i=2（a+bi），
整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．
则，解得．
所以z=1+i．
故选A．
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当是不等于实
部，虚部等于虚部，是基础题．
2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）
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A．B．C．D．
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：
分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出S=++的值
∵S=++=．
故选D．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分
析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数
据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一
步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
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考点：平面的基本性质及推论．
专题：规律型．
分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命
题和原理就是公理．
解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故
是公理；
而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选A．
点评：本题考查了公理的意义，比较简单．
4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：先看当“a≤0”时，去掉绝对值，结合二次函数的图象求出函数f（x）=|（ax﹣1）x|是否在在区间
（0，+∞）内单调递增；再反过来当函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增时，a≤0
是否成立即可．
解答：解：当“a≤0”时，x∈（0，+∞）
f（x）=|（ax﹣1）x|=﹣a（x﹣）x，结合二次函数图象可知
函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．
若a＞0，如取a=1，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|=|（x﹣1）x|，当x∈（0，+∞）时
f（x）=，如图所示，它在区间（0，+∞）内有增有减，
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从而得到函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增得出a≤0．
”a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．
故选C．
点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数的单调性及单调区间，单调性是函数的
重要性质，属于基础题．
5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和
五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为
88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
考点：极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据
中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x
1
﹣）2+（x
2
﹣）2+…+（x
n
﹣）2]求
解即可．
解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．
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五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，
方差=[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．
五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，
方差=[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．
故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
故选C．
点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再
根据方差公式求解．
6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解
集为（）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|＜﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}
考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．
解答：
解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，
而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选D
点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．
7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
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A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1
D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．
专题：直线与圆．
分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．
故选B．
点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》
8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x
1
，
x
2
，…，x
n
，使得=…=，则n的取值范围是（）
A．{3，4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3}
考点：变化的快慢与变化率．
专题：函数的性质及应用．
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分析：
由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答
案．
解答：
解：∵表示（x，f（x））点与原点连线的斜率
若=…=，
则n可以是2，如图所示：
n可以是3，如图所示：
n可以是4，如图所示：
但n不可能大于4
故选B
点评：
本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关
键．
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9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，
则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）
A．B．C．D．
考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：
由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设
出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表
示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．
解答：
解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．
由，得：．
所以，解得①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于或或或．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，
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则区域面积为．
故选D．
点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了
数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．
10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）=x
1
，则关于x的方
程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）
A．3B．4C．5D．6
考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：
求导数f′（x），由题意知x
1
，x
2
是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））
2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解答：
解：f′（x）=3x2+2ax+b，x
1
，x
2
是方程3x2+2ax+b=0的两根，
由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x
1
=f（x
1
），x
2
＞x
1
=f（x
1
），
如下示意图象：
如图有三个交点，
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故选A．
点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．
解答：
解：由通项公式T
r+1
==，
∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．
故答案为．
点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．
12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，
则角C=．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
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∴cosC==﹣
∵C∈（0，π）
∴C=
故答案为：
点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB
为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB
为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．
解答：解：如图所示，可知A，B，
设C（m，m2），，．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴=．
化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．
∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．
∴a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．
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点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能
力．
14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
，…，A
n
，…和B
1
，B
2
，…，B
n
，…分别在角O的
两条边上，所有A
n
B
n
相互平行，且所有梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积均相等，设OA
n
=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2，
则数列{a
n
}的通项公式是．
考点：数列的应用；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
设，利用已知可得A
1
B
1
是三角形OA
2
B
2
的中位线，得到==，梯形
A
1
B
1
B
2
A
2
的面积=3S．由已知可得梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的
比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因
此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a
n
．
解答：
解：设，∵OA
1
=a
1
=1，OA
2
=a
2
=2，A
1
B
1
∥A
2
B
2
，
∴A
1
B
1
是三角形OA
2
B
2
的中位线，∴==，∴梯形A
1
B
1
B
2
A
2
的面积=3S．
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故梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积=3S．
∵所有A
n
B
n
相互平行，∴所有△OA
n
B
n
（n∈N*）都相似，∴，，，…，
∵，∴，，…．
∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．
∴．
因此数列{a
n
}的通项公式是．
故答案为．
点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技
能，考查了推理能力和计算能力．
15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC
1
上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出
所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
考点：命题的真假判断与应用．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
专题：计算题．
分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
解答：
解：如图
当CQ=时，即Q为CC
1
中点，此时可得PQ∥AD
1
，AP=QD
1
==，
故可得截面APQD
1
为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD
1
上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD
1
至N，使D
1
N=，连接AN交A
1
D
1
于S，连接NQ交C
1
D
1
于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD
1
∽△QRC
1
，可得C
1
R：D
1
R=C
1
Q：D
1
N=1：2，故可得C
1
R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为
五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C
1
重合，取A
1
D
1
的中点F，连接AF，可证PC
1
∥AF，且PC
1
=AF，
可知截面为APC
1
F为菱形，故其面积为AC
1
•PF==，故正确．
故答案为：①②③⑤
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数
的周期，求实数ω的值；
（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在
区间[0，]上的单调性．
解答：
解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx
=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，
所以T==π，∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，
因为0≤x≤，所以≤2x+≤，
当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，
当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，
所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．
点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．
17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）
的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
解答：
解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x
1
=0，＞0，
故f（x）＞0的解集为{x|x
1
＜x＜x
2
}，
因此区间I=（0，），区间长度为；
（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调
递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．
点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综
合运用数学知识解决问题的能力．
18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
（2）设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F
2
P交y轴于点Q，并且
F
1
P⊥F
1
Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；
（2）设P（x
0
，y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式
即可得出直线F
1
P的斜率=，直线F
2
P的方程为．即可得出
Q．得到直线F
1
Q的斜率=．利用F
1
Q⊥F
1
P，可得
=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐
标．
解答：
解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．
（2）设P（x
0
，y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中．
由题设可知：x
0
≠c．则直线F
1
P的斜率=，直线F
2
P的斜率=．
故直线F
2
P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F
1
Q的斜率=．
∵F
1
Q⊥F
1
P，∴=．
化为．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
联立，及x
0
＞0，y
0
＞0，
解得.．
即点P在定直线x+y=1上．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基
本技能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力．
19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和
CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面
与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可
求得cos∠COD．
解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD⊂平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设，∠OPF=60°
设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=
∵∠OCP=22.5°，∴
∵tan45°==1
∴tan22.5°=
∴OC==
在Rt△OCF中，cos∠COF===
∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12
点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．
20．（13分）（2013•安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+），证明：
（1）对每个n∈N
+
，存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0；
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：
题干错误：n∈N+，应该是对每个n∈N
+
，
（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f
n
（1）＞0，f
n
（）＜
0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
（2）由题意可得f
n+1
（x
n
）＞f
n
（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0，由f
n+1
（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得x
n+1
＜x
n
，故x
n
﹣x
n+p
＞0．用f
n
（x）的解析式减去f
n+p
（x
n+p
）的
解析式，变形可得x
n
﹣x
n+p
=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于
，综上可得要证的结论成立．
解答：
证明：（1）对每个n∈N
+
，当x＞0时，由函数f
n
（x）=﹣1+x+），可
得
f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f
1
（0）=0，当n≥2时，f
n
（1）=++…+＞0，即f
n
（1）＞0．
又f
n
（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣
+×=﹣•＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0．
（2）对于任意p∈N+，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}，当x＞0时，∵f
n+1
（x）=f
n
（x）+＞
f
n
（x），
∴f
n+1
（x
n
）＞f
n
（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
由f
n+1
（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x
n+1
＜x
n
，即x
n
﹣x
n+1
＞0，故数列{x
n
}为减数列，
即对任意的n、p∈N
+
，x
n
﹣x
n+p
＞0．
由于f
n
（x）=﹣1+x
n
+++…+=0①，
f
n+p
（x
n+p
）=﹣1+x
n+p
+++…++[++…+]②，
用①减去②并移项，利用0＜x
n+p
≤1，可得
x
n
﹣x
n+p
=+≤≤＜=＜．
综上可得，对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．
点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考
查推理以及运算求解能力，属于难题．
21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由
李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），
假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记
该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．
专题：综合题；分类讨论；转化思想；概率与统计．
分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信
息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；
（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n
时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，
表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是
相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=
（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、
随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所
发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：
事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（X=M）==
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣
假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，
k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣
处达到最大值；
当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不
超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣＜t
因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0
而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k
(完整word版)2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
因此k≤2k﹣＜t
点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻
辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白
事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分