向量模

向量模

-生活中的数学故事

2023年2月16日发(作者：女生宿舍管理员)

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.-可修编-.

龙文教育一对一个性化辅导教案

学生家肃学校86中年级高一次数第4次

科目数学教师肖瑶日期2016-3-26时段19：30-21：30

课题平面向量的模与夹角

教学

重点

平面向量的坐标运算

教学

难点

平面向量的坐标的运用

教学

目标

1、掌握平面向量的坐标运算；

2、掌握模的运算方法。

教

学

步

骤

及

教

学

容

一、课前热身：

1、检查学生的作业，及时指点；

2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习容。

二、容讲解：

题型1、平面向量的坐标运算；

题型2、平面向量的数量积；

题型3、平面向量的模；

题型4、模与夹角公式；

题型5、平面向量的简单应用。

三、课堂总结与反思：

带领学生对本次课授课容进行回顾、总结

四、作业布置：

安排少量具有代表性的题目让学生回家后巩固练习

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.-可修编-.

管理人员签字：日期：年月日

作

业

1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差

备注：

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.-可修编-.

高中的教案

平面向量的模与夹角

学习要点：

1、向量的坐标运算：设

1122

(,),(,)axybxy，则：

（1）向量的加减法运算：

12

(abxx，

12

)yy。

（2）实数与向量的积：

1111

,,axyxy。

布

置

2、本次课后作业：

课

堂

小

结

家长签字：日期：年月日

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.-可修编-.

（3）若

1122

(,),(,)AxyBxy，则

2121

,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线

段的终点坐标减去起点坐标。

（4）平面向量数量积：

1212

abxxyy•

（5）向量的模：2

22222||,||axyaaxy

2、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量

a

，

b

，作

,OAaOBb

，AOB0称为向量

a

，

b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝

2



时，

a

，

b

垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量

a

，

b

，它们的夹角为，我们把数量

||||cosab叫做

a

与

b

的数量积（或积或点积），记作：

a

•

b

，即

a

•

b

＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）向量数量积的性质：设两个非零向量

a

，

b

，其夹角为，则：

①0abab•；

②当

a

，

b

同向时，

a

•

b

＝ab，特别地，

2

22,aaaaaa•；当

a

与

b

反向时，

a

•

b

＝－ab；当为锐角时，

a

•

b

＞0，且

ab、

不同向，0ab可得为锐角；当为钝角时，

a

•

b

＜

0，且

ab、

不反向，0ab不可得为钝角；

③非零向量

a

，

b

夹角的计算公式：cos

ab

ab



•

；

④

||||||abab•

。

（4）乘法公式：2

2

22abababab；2

222abaabb2

22aabb

例题选讲：

题型1：向量的坐标运算法则

例1：已知MA=(-2，4)，

MB

=(2，6)，则

2

1

AB=()

A．(0，5)B．(0，1)C．(2，5)D．(2，1)

例2：若向量

a

=(1，1)，

b

=(1，－1)，

c

=(－1，2)，则

c

等于（）

.-

.-可修编-.

A．－

2

1

a

+

2

3

b

B．

2

1

a

－

2

3

b

C．

2

3

a

－

2

1

b

D．－

2

3

a

+

2

1

b

例3：已知点5,1A和向量3,2a，若

aAB3

，则点B的坐标是．

练习：

1、已知：4,2M、3,2N，那么

MN

；

NM

．

2、已知向量

a

=(3，-2)，

b

=(-2，1)，

c

=(7，-4)，且

c

=λ

a

+μ

b

，则λ=，μ=．

3、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD=2

AB

-3

BC

，则点D的坐标为．

4、已知

AB

=(5，-3)，C(-1，3)，

CD

=2

AB

，则点D坐标是．

例4：若A(x，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x的值为（）

A．－3B．－1C．1D．3

练习：

1、若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x=．

2、若向量

a

=(－1，x)，

b

=(－x，2)，且

a

与

b

同向，则

a

－2

b

=．

例5：已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，AD=(2，5)，AB=(-2，3)，则

CD

坐标为，

DO

坐

标为，

CO

的坐标为．

练习：

已知平行四边形ABCD的顶点2,1A、1,3B、6,5C，求顶点D的坐标．

例6：已知向量

a

=（1，x），

b

=（y，1），

1

e=

a

+2

b

，

2

e=2

a

-

b

且

1

e=2

2

e，求x、y的值．

练习：

已知向量

a

=（1，2），

b

=（x，1），

1

e=

a

+2

b

，

2

e=2

a

-

b

且

1

e∥

2

e，求x．

.-

.-可修编-.

例7：已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE=

3

1

AC，BF=

3

1

BC

（1）求点E、F及向量EF的坐标；

（2）求证：EF∥AB．

题型2：向量的模与夹角

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）00a；（2）00a；（3）若0,aabac，则

bc

；

（4）若abac，则bc当且仅当0a时成立；

（5）()()abcabc对任意,,abc向量都成立；

（6）对任意向量a，有2

2aa。

例2：如果)4,1()3,22(xxbxa与互相垂直，则实数x等于（）

A．

2

1

B．

2

7

C．

2

1

或

2

7

D．

2

7

或－2

练习：

已知平面向量

a

=（1，－3），

b

=（4，－2），ab与

a

垂直，则是（）

A.－1B.1C.－2D.2

例3：已知)(),3,2()4,3(baaba则（）

A．－13B．7C．6D．26

练习：

1、已知的夹角为则baba,),3,3(),3,1(（）

A．

6



B．

3



C．

2



D．



3

2

2、已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，则a与b的夹角是多少?

例4：若向量

a

，

b

满足12ab，且

a

与

b

的夹角为

3



，则ab。

.-

.-可修编-.

练习：

1、已知平面向量(24)，a，(12)，b，若()caabb，则c．

2、已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么

ba•

的值为

3、已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为（）

A.63B.83C.23D.57

4、已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），求2ab。

例5：已知两单位向量a与

b

的夹角为0120，若2,3cabdba，试求c与d的夹角。

例6：已知向量

a

与

b

的夹角为120o，3,13,aab则b等于（）

A．5B．4C．3D．1

练习：

1、平面向量a与b的夹角为060，a＝(2,0),|b|＝1，则|a＋2b|等于（）

A.

3

B.2

3

C.4D.12

2、若非零向量,ab满足32abab,则,ab夹角的余弦值为_______.

例7：若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值围为（）

A.（

10

3

，+∞）B.［

10

3

，+∞）C.（－∞，

10

3

）D.（－∞，

10

3

］

例8：在平行四边形ABCD中,AD=1,60BAD,E为CD的中点.若

·1ACBE

,则AB的长为______.

.-

.-可修编-.

练习：

在四边形ABCD中,)2,4(),2,1(BDAC,则该四边形的面积为（）

A．5B．52C．5D．10

题型3：平面向量的简单应用

例1：已知

||2||0ab

,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值围是

()

A.[0,

6



]B.[,]

3



C.

2

[,]

33



D.[,]

6





例2：已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－

π

2

＜θ＜

π

2

．

（1）若a⊥b，求θ；

（2）求｜a＋b｜的最大值．

平面向量的模与夹角作业

1．COBOOCOA等于（）

A．ABB．BAC．ACD．DO

2.若向量,ab满足||||1ab，

,ab

的夹角为60°，则

aaab

=______；

3．已知的夹角为则baba,),3,3(),3,1(（）

A．

6



B．

3



C．

2



D．



3

2

4.已知向量

a

与

b

的夹角为120o，3,13,aab则b等于（）

（A）5（B）4（C）3（D）1

5.已知向量(3,1)a，

b

是不平行于x轴的单位向量，且

3ab

，则

b

（）

A．（

31

,

22

）B．（

13

,

22

）C．（

133

,

44

）D．（1,0）

6.已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则

b

a

（）

A.

4

1

B.4C.

2

1

D.2

.-

.-可修编-.

7.设向量a



与

b



的夹角为，且)3,3(a



，)1,1(2ab





，则cos_______。

8.已知向量(1sin)a，，

(1cos)b，

，则ab的最大值为_______。

9.已知向量||).,5(),2,2(bakba若不超过5，则k的取值围是_______。

10、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)，

(1)求方向与



AB一致的单位向量；

（2）过点C作向量



CD与



AB共线，且4



CD，求D点坐标；

（3）若A、B、C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标．