复数的几何意义
-亲亲一家人
2023年2月16日发(作者：平均运距)1/8
复数的几何意义及应用
一、教学目标：
(一)知识与技能:
通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、
几何、向量表示法及彼此之间的关系。
(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;
2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；
3、提高知识之间的理解与综合运用能力。
(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及
转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。
二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用
三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用
四、教学工具：计算机、投影仪
五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法
六、教学过程：
(一)设置情境，问题引入
问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z=a+bi（a，b∈
R），连结OZ，则点Z，OZ，复数z=a+bi（a，b∈R）之间具有一一对
2/8
应关系。
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应一一对应
复数z=a+bi
问题2：∣z∣的几何意义？若复数z=a+bi（a，b∈R）对应的向量是
OZ，则向量是OZ的模叫做复数z=a+bi（a，b∈R）的模，|z|=Z0=|a+bi
|=22ba
（a，b∈R）。
问题3：∣z
1
-z
2
∣的几何意义？两个复数的差zzz
21
所对应的向量就是
连结
21
ZZ并且方向指向（被减数向量）的向量,
2
21
2
211221
)()(yyxxZZzzd
(二)探索研究
根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：
1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
设),(yxZ以),(
000
yxZ
为
圆心，)0(rr为半径的圆上任意一点,
则
rZZ
0
)0(r
（1）该圆向量形式的方程是什么?)0(
0
rrZZ
（2）该圆复数形式的方程是什么?
rzz
0
)0(r
一一对
向量OZ
3/8
（3）该圆代数形式的方程是什么?)0()()(22
0
2
0
rryyxx
2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于
21
ZZ
)的
点的集合(轨迹)
设),(yxZ是以),(
211
yxZ),(
222
yxZ为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一
点,
则
aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（1）该椭圆向量形式的方程是什么?aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（2）该椭圆复数形式的方程是什么?
azzzz2
21
)2(
21
ZZa
变式:以),(
211
yxZ),(
222
yxZ为端点的线段
（1）向量形式的方程是什么?aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（2）复数形式的方程是什么?
azzzz2
21
)2(
21
ZZa
3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于
常数(小于
21
ZZ
)的点的集合(轨迹)
设),(yxZ是以),(
211
yxZ),(
222
yxZ为焦点，2a为实轴长的双曲线的上
任意一点,
则
aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（1）该双曲线向量形式的方程是什么?
aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（2）该椭圆复数形式的方程是什么?
azzzz2
21
)2(
21
ZZa
4/8
变式:射线
（1）向量形式的方程是什么?
aZZZZ2
21
)2(
21
ZZa
（2）复数形式的方程是什么?
azzzz2
21
)2(
21
ZZa
变式：以),(
211
yxZ),(
222
yxZ为端点的线段的垂直平分线
（1）该线段向量形式的方程是什么?
aZZZZ2
21
)02(a即
21
ZZZZ
（2）该线段复数形式的方程是什么?
azzzz2
21
)02(a即
21
zzzz
（三）应用举例
例1．复数z满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，
则复数z所对应的点Z的轨迹是（）
（A）双曲线（B）双曲线的右支
（C）线段（D）射线
答案：（D）一条射线
变式探究：
（1）若复数z所对应的点Z的轨迹是两条射线，复数z应满足什么条
件？
（2）若复数z所对应的点Z的轨迹是线段，复数z应满足什么条件？
5/8
（3）若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线的右支，复数z应满足什么
条件？
（4）若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线，复数z应满足什么条件？
（5）若复数z所对应的点Z的轨迹是椭圆，复数z应满足什么条件？
（6）若复数z所对应的点Z的轨迹是线段的垂直平分线，复数z应满足
什么条件？
例2．若复数z满足条件
1z
，
求
iz2
的最值。
解法1：（数形结合法）由
1z
可知，z对应于单位圆上的点Z；
iz2
表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。
由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，
12
min
iz
,此时z=i；
当点Z运动到B（0，-1）点时，
32
max
iz
,此时
z=-i。
解法2：（不等式法）
212121
zzzzzz
iziziz222
,1z22i
，
321iz
解法3：（代数法）设),(Ryxyixz，则122yx
yyxiyixiz45)2(2222
6/8
1y
，即11y
当1y，即
iz
时，
12
min
iz
；
当1y，即
iz
时，
32
max
iz
=3,
解法4：（性质法）
)2)(2()2)(2()2()2(22iziziziziziziz
yiizzzz454)(2
1y
，即11y
当1y，即
iz
时，
12
min
iz
；
当1y，即
iz
时，
32
max
iz
,
变式探究：
（1）
min
iz
，
max
iz
；0；2
（2）
min
2
1
iz，
max
2
1
iz；
2
3
,
2
1
（3）
min
22iz
，
max
22iz
；122;122
（4）
min
1
2
1
iz，
max
1
2
1
iz；
2
1
2;
2
1
2
例3．已知z
1
、z
2
∈C，且
1
1
z
，
若izz2
21
，则
21
zz
的最大值是（）
7/8
（A）６（B）５（C）４（D）３
解法1：
izzizzz
11121
2)2(
2
max
1
iz
21
zz
的最大值是4
解法2：izz2
21
,
21
2ziz
1
1
z
12
2
zi
,即
12
2
iz
1
1
z
表示以原点为圆心，以1为半径的圆；
12
2
iz
表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。
21
zz
的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。
(四)反馈演练：
1．复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，
则∣z+i-1∣的最大值是________5
最小值是__________.1
2．复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，
则∣z∣的取值范围是（B）
8/8
(A)
5,
5
52
(B)
2,
5
52
(C)5,1(D)2,1
3．已知实数x,y满足条件
3
0
05
x
yx
yx
，
iyixz(
为虚数单位），
则|21|iz的最大值和最小值分别
是．
2
2
,262
(五)总结:
1.今天我们探索研究了什么?
2.你有什么收获?