线性代数习题
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2023年2月16日发(作者：脾动脉)线性代数习题册答案
第一章行列式
练习一
班级学号
1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）τ(3421)=5;
（2）τ(135642)=6;
（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42)=2+4+6+…+（2n-2）=n（n-1）.
2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8、j=3.
3．在四阶行列式中，项
12233441
aaaa的符号为负.
4．
003
042
215
=－24.
5．计算下列行列式：
（1）
122
212
221
=－1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）=－5
或
（2）
11
11
11
=－3＋1＋1－（－）－（－）―（－）
=－3＋3+2=2(2)(1)
练习二
班级学号
1．已知3阶行列式det()
ij
a=1，则行列式det()
ij
a=－1.3(1)11
2．
111
234
4916
=2.
3．已知D=
1012
1103
1110
1254
,则
41424344
AAAA=—1.
用1，1，1，1替换第4行
4．计算下列行列式：
(1)
1
1
1
abc
abc
abc
=
132331
101100
11
,0110111
1
11
rrrrccabc
bc
abcabc
(2)
xyxy
yxyx
xyxy
(3)
2151
1306
0212
1476
(4)
1214
0121
1013
0131
5．计算下列n阶行列式：
(1)
n
xaa
axa
D
aax
（每行都加到第一行，并提公因式。）
(2)
211
131
111n
(3)
123
123
123
n
n
n
abaaa
aabaa
aaaab
练习三
班级学号
1．设线性方程组
123
123
123
1
1
1
xxx
xxx
xxx
有惟一解，则满足的条件是什么？
1,0,1
2.求解线性方程组
1234
1234
1234
1234
5
242
2352
32110
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
3.已知齐次线性方程组
123
123
123
0
0
0
xxx
xxx
xxx
有非零解，求的值。
1,0,1
4.求三次多项式32
3210
()fxaxaxaxa，使得：
(2)3,(1)4,(1)6,(2)19ffff。
自测题
1.n阶行列式D=det()
ij
a，则展开式中项
1223341,1nnn
aaaaa
的符号为1(1)n.
2.已知3阶行列式det()
ij
a=
1
2
，则行列式
det(2)
ij
a=3
1
(2)4
2
.
3.方程
2
3
1111
122
0
144
188
x
x
x
的根为1,2，-2.
4.已知齐次线性方程组
0
30
0
xyz
xyz
yz
仅有零解，则的值应为0,1.
11
312(1)0,
01
5.设
212
111
321
111
xx
x
D
x
x
，则D的展开式中3x的系数为-1.
6.计算下列行列式：
（1）
1322
3409
2262
3383
（2）
1222
2222
2232
222
n
D
n
第二章矩阵及其运算
练习一
班级学号
1.设
111123
111,124,
111051
AB
求32ABA及TAB。
2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
由题意，得：,TTAABB.
3.矩阵A和B满足什么条件时，222()2ABAABB恒成立？
恒成立的条件是：AB=BA.
4.设
1
123,1,
0
AB
求AB，BA及100()BA。
100
123
()123
000
BABA
5.设
10
21
A
，求23,,,kAAA。
练习二
班级学号
1.求下列矩阵的逆矩阵：
（1）
12
25
（2）
123
012
001
2.设方阵A满足220AAE，证明A及2AE都可逆，并求1A及1(2)AE。
3.已知
100
020
001
A
，28ABABAE，求B。
4.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：
（1）若0A，则0A；（2）
1nAA
。
5.设1,PAP其中
1410
,,
1102
P
求11A。
练习三
班级学号
1.设
3400
4300
0020
0022
A
，求8A及4A。
2.求下列逆矩阵：
（1）
11200
0300
0020
0034
（2）
1OA
BO
，其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。
自测题
一．填空题：
1．若
1201
,,
3410
AP
那么20072008PAP=
34
12
.
2．A、B为三阶矩阵，12AB，，则2T-12（AB）=8.
3．已知2
0
35,,
0
a
fxxxA
b
（）=则()fA=
2
2
350
035
aa
bb
.
4．若A、B、C均为n阶矩阵，且ABBCCAE，则222ABC=3E.
5．是三维列向量，
111
111
111
T
，则T=3.
2223Tabc
二．用初等变换法求
152
2113
151
A
的逆矩阵.
1
457
111
101
A
三．设矩阵
100
110
011
A
，求nA.
四．证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是TAA对称。
五．A、B为三阶可逆矩阵，124ABBE，若
120
120
102
B
，求A.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
练习一
班级学号
1．判断题（正确打√，错误打×）：
1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的（×）
2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的（×）
3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的（×）
4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类（√）
5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形（√）
2．已知线性方程组
1234
234
124
21
2262
2329
xxxx
xxx
xxx
，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变
换化为阶梯形、行最简形。
3．已知
210
132
A
，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。
4．已知
021
213
334
A
，利用矩阵的初等变换，求1A。
1
5117
132
364
A
5．已知
110
011
101
A
，2AXXA，求X。
练习二
班级学号
1.选择题：
1）
mn
A
的行阶梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行为非零行，则()RA为（C）
（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.
2）非零矩阵
mn
A
（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（D）
（A）
0
00
m
mn
E
；（B）
00
0
m
mn
E
；（C）
00
00
mn
；（D）
10
00
mn
3）方阵
n
A的秩()RA=n，则
n
A必定不满足（D）
（A）
n
A可逆；（B）
n
A与E等价；（C）()RAn；（D）存在,BO使ABO
4）
n
A为奇异矩阵，下列的错误的是（C）
（A）()()TRARA；（B）()RAn；（C）0A；（D）
n
A不与单位阵E等价
2.已知矩阵
3102
1121
1344
A
，求()RA。
()RA=2
3.设
123
123
23
k
Ak
k
，问k为何值时，可分别使（1）()RA=1；（2）()RA=2；（3）()RA=3？
4.已知n阶方阵A，使2AE为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。
练习三
班级学号
1．选择题：
1）当（D）时，齐次线性方程组0
mn
Ax
一定有非零解。
（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.
2）设A为n（≥2）阶方阵，且()RA=n-1，
12
,是0Ax的两个不同的解向量，k为
任意常数，则AxO的通解为（C）
（A）
1
k；（B）
2
k；（C）
12
()k；（D）
12
()k.
2．填空题:
1）设4阶方阵
1234
()A，且
1234
，则方程组Ax的一个解
向量为
(1111)。
2）设方程组
(1)nn
Axb
有解，则其增广矩阵的行列式Ab=0。
3）若
121
232
343
414
xxa
xxa
xxa
xxa
有解，则常数
1234
,,,aaaa应满足条件
4
1
0
i
i
a
。
4）已知方程组
1
2
3
1211
2323
120
x
ax
ax
无解，则
a
=-1。
12111211
2323011
120
00(3)(1)3
aa
a
aaa
3．求齐次线性方程组
125
123
345
0
0
0
xxx
xxx
xxx
的解。
4．解矩阵方程：
12310
23101
X
5．取何值时，非齐次线性方程组
123
123
2
123
1xxx
xxx
xxx
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有
无穷多解？并在有解时，求解。
解：
13
2
2
11111
1111
11111
rrA
21
31
32
2
2
23
2
2
232
2
2
11
011
0111
11
011
0021
11
011(1)
00(2)(1)(1)(1)
rr
rr
rr
（1）当2,1时，有唯一解；
2
2
11
011
(1)
001
2
A
23
22
22
22
(1)(1)
110100
22
(1)(1)
010010
22
(1)(1)
001001
22
1
2
2
3
1
2
1
2
(1)
2
x
x
x
（2）当2时，无解；
（3）当1时，有无穷多解。
1111
0000
0000
A
，
1
212
3
111
100
010
x
xcc
x
，（其中
12
,cc是任意实数）
自测题
1．选择题：
1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素
ij
a的代数余子式0
ij
A，则方程组AxO
的基础解系所含向量个数为（B）
（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.
2）方程组
2
123
123
123
0
0
0
xxx
xxx
xxx
的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO，
使得ABO，则（A）
（A）1，0B；（B）1，0B；（C）1，0B；（D）1，0B.
3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AxO，BxO有相同的基础解系
123
,,，
则以下方程组以
123
,,为基础解系的是（D）
（A）()ABxO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）
A
xO
B
.
2．判断题:
1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（√）
2）任一秩为r的矩阵A必与r
EO
OO
等价（√）
3）AxO与TAAxO为同解方程组（√）
4）方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解（√）
3．设n阶方阵A的列向量为
i
（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为
122311
,,,,
nnn
，试问：当()RAn时，BxO是否有非零解？
试证明你的结论。
4．若齐次线性方程组
mn
AxO
的解均为齐次线性方程组
ln
BxO
的解，
试证明()()RARB。
5．求方程组12
24
0
0
xx
xx
与123
234
0
0
xxx
xxx
的非零公共解。
解：
3132
42
2
11
2
rrrr
rr
A
43
12
11001001
01010101
00120012
00000000
rr
rr
非零公共解为
1
2
3
4
1
1
2
x
xc
x
x
（0,cc是任意实数）
6．设非齐次线性方程组
mn
Axb
的系数矩阵
mn
A
的秩为r，
12
,,,
nr
是
0
mn
Ax
的
一个基础解系，是
mn
Axb
的一个解。证明：
mn
Axb
的任一解可表示为
11221121
()()(),(1)
nrnrnrnr
xkkkkkkk
7．设
1234
,,,,为四维列向量，
1234
(,,,)A，已知Ax的通解为
12
111
121
201
110
xkk
，其中
1
2
0
1
，
1
1
1
0
为对应的齐次方程组的基础解系，
12
,kk为
任意常数，令
123
(,,)B，试求By的通解。
第四章向量组的线性相关性
练习一
班级学号
1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，试求向量32.
解：3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6)
2．已知向量组
123
:0,1,2,3,3,0,1,2,2,3,0,1,TTTA
123
:2,1,1,2,0,2,1,1,4,4,1,3,TTTB证明B组能由A组线性表示，但A
组不能由B组线性表示。
解：
1
21
321213028179
AB
1
135
()3()RARAB，所以B组能由A组线性表示。
2
3
2
2
BA
0
()2,()3RBRBA，所以A组不能由B组线性表示。
3．设可由
12
,,,
m
线性表示，但不能由
121
,,,
m
线性表示，证明：
m
可由
121
,,,,
m
线性表示，而不能由
121
,,,
m
线性表示。
4．已知
123
1,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,,3,10,,4TTTTab，问：
（1）,ab取何值时，不能由
123
,,线性表示？
（2）,ab取何值时，可由
123
,,线性表示？并写出此表达式。
解：
123
12031203
471100112
,,,
011011
234012
A
bb
aa
12031203
01120112
00020010
00100002
ba
ab
（1）当1,2ab或1,2ab时，()()RARA，不能由
123
,,线性表示。
（2）当1,2ab时，
12031001
01120102
00100010
00000000
A
a
()()3RARA，可由
123
,,线性表示，
123
20
当1,2ab时，
12031021
01120112
00000000
00000000
A
，
()()2RARA，可由
123
,,线性表示。
123
(12)(2)kkk（kR）
练习二
班级学号
1．判断向量组
1234
1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1TTTT的线性
相关性。
2．讨论向量组
123
1,1,0,1,3,1,5,3,TTTt的线性相关性？即
t
取何值时，
向量组线性无关？
t
又取何值时，向量组线性相关？
3．已知向量组
123
,,线性无关，判断
1223123
23,3,的线性相关性。
4．如果向量可以用向量组
12
,,,
r
线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是
12
,,,
r
线性无关。
练习三
班级学号
1．已知向量组
1234
1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7，求该向量
组的秩。
2．求向量组
1234
1,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,2,2,0的秩和最大
无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。
3．利用初等行变换求矩阵
1324
3142
2342
4139
的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量
用最大无关组线性表示。
4．设A为
n
阶矩阵（
n
≥2），A为A的伴随矩阵，证明：
,()
()1,()1
0,()2
nRAn
RARAn
RAn
当
当
当
练习四
班级学号
1．求齐次线性方程组
1245
12345
12345
12345
30
20
42650
2424160
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的基础解系。
2．求非齐次线性方程组
12345
1234
12345
12345
3323
2632
321
39455
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
的通解。
3．已知
123
,,是四元非齐次线性方程组Axb的解，()2RA，且
122331
112
201
,,,
012
123
求该方程组的通解。
4．设是齐次线性方程组Axb的一个解，
12
,,,
nr
是对应的齐次线性方程组的一
个基础解系，证明：（1）
12
,,,,
nr
线行无关；（2）
12
,,,,
nr
线行无关。
练习五
班级学号
1．试判定集合1212
(,,,)1,
nni
VxxxxxxxR是否构成向量空间？
2．求向量空间4R的基
1234
1,2,1,0,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,0,1
到基
1234
2,1,0,1,0,1,2,2,2,1,1,2,1,3,1,2的过渡矩阵和向量的
坐标变换公式。
自测题
一、选择题：
1．设向量组（1）：
123
,,与向量组（2）：
12
,等价，则（A）。
（A）向量组（1）线性相关；（B）向量组（2）线性无关；
（C）向量组（1）线性无关；（D）向量组（2）线性相关。
2．设n维向量组
12
,,,
m
线性无关，则（B）。
（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；
（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；
（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。
3．设三阶行列式0
ij
Da，则（A）。
（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；
（B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；
（C）D中至少有两行向量线性相关；（D）D中每一行向量都线性相关。
4．设
124
:,,,A是一组n维向量，且
123
,,线性相关，则（D）。
（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。
5．设不能由非零向量
12
,,,
s
线性表示，则（D）。
（A）
12
,,,
s
线性相关；（B）
12
,,,,
s
线性相关；
（C）与某个
i
线性相关；（D）与任一
i
都线性无关。
二、填空题：
1．设n维向量
123
,,线性相关，则向量组
122331
,,的秩r=0，1，2。
2．向量组,,线性相关的充分必要条件为秩<3。
3．设
12
,线性无关，而
123
,,线性相关，则向量组
123
,2,3的极大无关组为
12
,。
4．已知
12
1,3,2,4,2,6,,8k线性相关，则k=4。
5．已知向量组,,线性相关，而向量组,,线性无关，则向量组,,的秩为2。
三、已知
1123
2123
3123
2
23
，证明
123
,,与
123
,,等价。
四、设有向量组
122
21
:2,1,1
1054
a
A
，又向量
1
b
c
，试问当,,abc满
足什么条件时，则：
（1）可由
123
,,线性表示，且表示式唯一；
（2）不能由
123
,,线性表示；
（3）可由
123
,,线性表示，但不唯一，并求一般表达式。
（1）
（2）
（3）
五、已知
12
,,,
s
及都是n维向量，且
12s
，证明向量组
12
,,,
s
线性无关的充分必要条件是向量组
12
,,,
s
线性无关。
六、设n维向量组（1）：
12
,,,
s
的秩为
1
r；（2）
12
,,,
s
的秩为
2
r；（3）
1122
,,,
ss
的秩为
3
r。证明：
123
rrr。
七、取何值时，线性方程组
123
123
123
(21)(1)1
(2)(1)(2)
(21)(1)(21)
xxx
xxx
xxx
有惟一解、无解、无
穷多解？在有无穷多解时求通解。
八、已知
123
,,aaa为三维向量空间3R的一个基，设
3
233,22,53,baaabaaabaaa
（1）证明：
123
,,bbb也是3R的一个基；
（2）求由基
123
,,bbb到
123
,,aaa的过渡矩阵；
（3）若向量在基
123
,,aaa下的坐标为1,2,0T，求在基
123
,,bbb下的坐标。
第五章相似矩阵及二次型
练习一
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练习二
班级学号
练习三
班级学号
练习四
班级学号
练习五
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