对数求导法则公式

对数求导法则公式

-倚澜观邸

§2求导法则

上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明

确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导

数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导

数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,

计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一

个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我

们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数

的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.

因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能

较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：

xxxfcossin)(

1

xxg2sin)(

1



xxxfcossin)(

2

)sin()(

2

axxg

x

x

xf

a

log

cos

)(

3

xxgarcsin)(

3



xcxfsin)(

4

xxgarccos)(

4



一、导数的四则运算

问题1设xxxfcossin)(,求)('xf.

分析利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos)'(sinsincos)('xxxxxf.即

)'(cos)'(sin)'cos(sinxxxx

一般地,有如下和的导法则：

定理1（和的导数）设

)(xf

,

)(xg

在

x

点可导,则

)()(])()([xgxfxgxf













（求导是线性运算）

证明令

)()()(xgxfxy

。时当0)()(

)()()()(

)]()([)]()([

































xxgxf

x

xgxxg

x

xfxxf

x

xgxfxxgxxf

x

y

问题2设xaxxfsin)(,则aaxaxxfxxlncos)'()'(sin)('对吗？

分析一般地,有如下乘积的求导法则：

定理2（积的导数）设

)(xf

,

)(xg

在

x

点可导,则

)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf













（它导它不导,它不导它导,然后加起来）

证明令

)()()(xgxfxy

。时当

分子

0)()()()(

)()(

)()(

)()(

))()()()((

)()()()(



































xxgxfxgxf

x

xgxxg

xfxxg

x

xfxxf

xxgxfxxgxf

x

xgxfxxgxxf

x

y

推论1

)(')()()()(')()()()(')())'()()((

xwxvxuxwxvxuxwxvxuxxwxvxu.

推论2若函数)(xv在

0

x知可导,C为常数,则)('))'(cos(

0

0

xvCx

xx





.

问题3设

x

a

xf

a

x

log

)(,求)('xf.

一般地,存如下商的运算法则：

定理3（商的导数）设

)(xf

,

)(xg

在

x

点可导,则

)(

)()()()(

)(

)(

2xg

xgxfxgxf

xg

xf























.

证明令

)(

1

)(

xg

xy

。时当0

)(

)(

)()(

1)()(

)(

1

)(

11

2











































x

xg

xg

xgxxgx

xgxxg

xgxxgxx

y

)(

1

)(

)(

)(

xg

xf

xg

xf



给出（3）.

推论(1)

)(])([xfcxfc







.(2)





















n

i

i

n

i

i

xfxf

11

)()(

.

(3)

)()()()(,)()(

1

11

xfxfxfxKxKxf

nkk

n

k

k

n

j

i

























.

.利用导数的四则运算法则举例.

例1xxxxf95)(23,求)('xf,)0('f.

例2xxylncos,求

x

y'.例3证明：1)'(nnnxx,Nn.

例4证明：xx2sec)'(tan,xx2csc)'(cot.

例5证明：xxxtansec)'(sec,xxxcotcsc)'(csc.

.利用导数的四则运算法则求导数举例：

1．xxxfsin)(2;2．xxxxfcossin)(3;

3．22)(xxf;4．xxxfcos)(2;

5．xxxxf7sin)(;6．xxxxxfcos)(32;

7．

x

tgx

xxxxflnsin)(2;8．

x

tgxx

xf

3sin5

)(



;

9．xx

tgx

xe

y

x

ln

1

sin

2



.

二、反函数的导数

问题1设xxfarcsin)(,求)('xf.

定理4设

)(yx

在区间

),(dc

上连续,严格上升,在

),(

0

dcy

点可导,且

0)(

0





y

,

)(

00

yx

.则反函数

)(xfy

在0

x

点可导,且

)]([

1

)(

1

)(

00

0xfy

xf











.

注若

)(yx

在

),(dc

可导,导数

)0(0或

,则反函数

)(xfy

存在,且

)(

)(

1

)]([

1

)(

1

)(

xfy

yxfy

xf



















.

这里导数

)0(0或

可推出

)(y

严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成

dy

dxdx

dy

1

.

定理的证明要证0

0

)()(

lim

0xx

xfxf

xx





存在,注意到这个比式是函数

)()(

)(

0

0

yy

yy

yg







与

)(xfy

的复合,由定理条件知

)(

1

0

)

0

()(

1

lim

)()(

)()(

lim

00

0

00y

yy

yy

yy

xfxf

yyyy



















.

再由反函数连续性,0

xx

时,0

yy

,由复合函数求极限定理得

)(

1

)(lim)]([lim

)()(

lim

00

0

000y

ygxfg

xx

xfxf

yyxxxx







.

例6

)1,0(aaayx

,求

y



.

解

yx

a

log

,

a

x

a

x

ay

e

y

x

ay

y

a

aa

xln

log)(log

1

)(













,反过来,如果

)(

xa

已知,也可求

y

e

aa

y

a

x

a

xa

xx

a

log

ln

1

log

)(

1

)(log









.

例7

xy

,求

y



.

解

xeyln

,

1ln







x

x

e

x

y

.

例8

xyarcsin

,求

y



.

解

yxsin

,

。

21

1

)cos(arcsin

1

arcsin

)(sin

1

)(arcsin

x

x

xy

y

x















例9

xyarccos

,求

y



.

例10

xarctgy

,求

y



.

三、复合函数的导数

问题1设xxf2sin)(,求)('xf;2）.设)sin()(xaxf,求)('xf;3）.设

xxf)(,求)('xf.

定理5设

)(

0

uf



与

)(

0

xg



存在,

)(

00

xgu

,则复合函数

)]([)(xgfxF

在0

x

点可

导,且

)()]([)(

000

xgxgfxF











.

注若

)(uf

的定义域包含

)(xgu

的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数

)]([)(xgfxF

在

)(xg

的定义域上可导,且

)()]([)(xgxgfxF











（怀中抱月）或

xux

uyy











,

dx

du

du

dy

dx

dy



.

定理的证明定义函数























。

00

0

0

0

,)(

,,

)()(

)(

uuuf

uu

uu

ufuf

uA

)(uA

在0

u

点连续,

)()()(lim

00

0

ufuAuA

uu







.

由恒等式,

))(()()(

00

uuuAufuf

,我们有

0

0

0

0

0

0

)()(

)]([

)]([)]([)()(

xx

xgxg

xgA

xx

xgfxgf

xx

xFxF

















令0

xx

,得

)()]([)(

000

xgxgfxF











.

我们引进

)(uA

是为了避免再直接写表达式

0

0

0

0

0

0

)()()()()()(

xx

xgxg

uu

ufuf

xx

xFxF

















中当0

xx

时,可能会出现0

uu

情况.

例1

21xy

,求

y



.

解

。

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

)2()1(

2

1

)1()1(

2

1

x

x

xx

xxy

















例2

2sinxy

,求

y



.

解

222cos2)(cosxxxxy







.

例3

)sin(sin3xy

,求

y



.

解

)cos(sincos3)(cos)cos(sin332333xxxxxxy







.

例4

)1ln(2xxy

,求

y



.

解

22

2

2

2

1

1

1

12

2

1

1

)1(

xxx

x

x

xx

xx

y























.

例5

||lnxy

,求

y



.

解

0x

时,

x

y

1



;

0x

时,

x

x

x

xy

1

)(

1

))ln((











,

0x

时,

x

x

1

)||ln(



.

例6

)2sin(lnxy

,求

y



.

解

)2sin(

)2cos(2

)2cos(

)2sin(

2

x

x

x

x

y



.

四、隐函数微分法

若可微函数

)(xyy

满足方程

0),(yxF

,则其导数可以从

0),(yxF

dx

d

求出.一个

方程

0),(yxF

何时能唯一决定一个可微函数

)(xyy

,留待日后解决,现在我们通常假定

能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.

例7

222ayx

,求过点

),(

00

yx)0(

0

y

的切线方程.

解对方程

222ayx

求导,心中记住

)(xyy

是

x

的函数,得

022



yyx

，

y

x

xy



)(

，

在

),(

00

yx

点上,0

0

0

)(

y

x

xy



,过

),(

00

yx

切线方程为

)(

0

0

0

0

xx

y

x

yy

,

2

0

2

000

yxyyxx

,

即

2

00

ayyxx

.

五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法

例8

)0(

3





a

ax

x

y

,求

y



.

解函数定义域

)0,(

和

),(a

,取对数

||ln

2

1

||ln

2

3

lnaxxy

,两边对

)(xyy

求导,采用隐函数微分法,得

)(2

321

2

11

2

3

axx

ax

axxy

y













,所以

ax

x

axx

ax

y









3

)(2

32

.

例9

vuy

,

)(xuu

,

)(xvv

,求

y



.

解取对数,得

uvylnln

,两边求导,得

u

u

vuv

y

y











1

ln

,

)ln()ln(uv

u

uv

uuv

u

uv

yyv



















.

如

xxy

,

)ln1(xxyx



.

六、双曲函数及其反函数之导数

)(

2

1

xxeexshy

,

)(

2

1

xxeexchy

,

xch

xsh

xthy

xsh

xch

xcthy

性质

122xshxch

xchxshxch222

xchxshxsh22

yshxchychxshyxsh)(

yshxshychxchyxch)(

xch

xth

2

2

1

1

xsh

xcth

2

2

1

1

x

x

exshxch

exchxsh





由























i

i

ei

ei

sincos

sincos

xchxsh



)(

xshxch



)(

xch

xth

2

1

)(



反双曲函数

)1ln(2xxxArsh

21

1

][

1

)(

1

)(

x

xArshch

xArshy

ysh

xArsh













xArch

不是单值函数,可选一个分支来研究

x

x

xArth







1

1

ln

2

1

21

1

)(

x

xArth







小结

一、基本求导法则

1．'')'(vuvu；2．'')'(uvvuuv,')'(cucu；

3．

2

''

)'(

v

uvvu

v

u

,

2

1

)'

1

(

v

v

；4．反函数导数

dx

du

du

dy

dx

dy

.

二、基本初等函数导数公式

1．0)'(c;

2．1)'(xx)(R;

3．xxcos)'(sin,xxsin)'(cos;

4．x2sec(tan)',x2csc(cot)',

xxxtansec)'(sec,ctgxxxcsc)'(csc;

5．aaaxxln)'(,xxee)'(;

6．

ax

x

aln

1

)'(log,

x

x

1

)'(ln;

7．

21

1

)'(arcsin

x

x





,

21

1

)'(arccos

x

x





;

21

1

)'(arctan

x

x



,

21

1

)'cot(

x

xarc



.