反证法经典例题

反证法经典例题

polysemy-轻粘土作品

反证法的生活例子

【篇一：反证法的生活例子】

甲是乙父，乙是丙父，欲证明甲是丙的爷爷。

设甲不是丙的爷爷，

则甲不是乙的父亲或乙不是甲的父亲

而这与题设相矛盾，

所以甲是丙的爷爷

【篇二：反证法的生活例子】

反证法的例子范文一：【案例】反证法

北京丰台二中张健

内容和内容解析：

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使

用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的

一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了

证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

目标和目标解析：

①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的

作用；

②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证

法思考和证明一些简单的数学问题；

③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，

培养他们的逆向思维能力。

教学重点：了解反证法的思考过程和特点。

教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。

教学问题诊断分析：

学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复

杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。究其原因，反证

法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都

是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生

在学习那部分的知识时就存在一定的困难。

教学过程设计：

1.情境引入

回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：

1.1小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上

结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问

他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘

取一个尝了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

1.2桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，

那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现

象吗？

1.3a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、b都撒谎。

则c在撒谎吗？为什么？

问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法

有什么不同？

设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。

2.数学建构

问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方

法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。你能给反证

法下个定义吗？

设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。

3.数学应用

例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。

设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（存真）

例2.已知直线a,b进和平面??，如果a????,b????，且a//b，求

证：a//??.

设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。

例3.求证；2是无理数。

设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。

问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？问题2：你认为

反证法的使用情形有哪些？

说明：常用的正面叙述词语及其否定：

设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回

答，这样学生才能从本质上掌握反证法。原文地址：【案例】反证

法

北京丰台二中张健

内容和内容解析：

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使

用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的

一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了

证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

目标和目标解析：

①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的

作用；

②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证

法思考和证明一些简单的数学问题；

③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，

培养他们的逆向思维能力。

教学重点：了解反证法的思考过程和特点。

教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。

教学问题诊断分析：

学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复

杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。究其原因，反证

法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都

是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生

在学习那部分的知识时就存在一定的困难。

教学过程设计：

1.情境引入

回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：

1.1小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上

结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问

他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘

取一个尝了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

1.2桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，

那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现

象吗？

1.3a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、b都撒谎。

则c在撒谎吗？为什么？

问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法

有什么不同？

设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。

2.数学建构

问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方

法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。你能给反证

法下个定义吗？

设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。

3.数学应用

例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。

设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（存真）

例2.已知直线a,b进和平面??，如果a????,b????，且a//b，求

证：a//??.

设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。

例3.求证；2是无理数。

设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。

问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？问题2：你认为

反证法的使用情形有哪些？

说明：常用的正面叙述词语及其否定：

设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回

答，这样学生才能从本质上掌握反证法。

范文二：举反例与反证法

李云庄

举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同，学生容易

混淆，为了使学生正确运用举反例和反证法是判断命题真假来解决

问题，就解决以下几个问题。

一、适用对象不同：

1、举反例：适用假命题

2、反证法：适用真命题

二、方法不同：

1、举反例：要证明一个命题为假命题，只要举出一个反例来说明命

题不成立即可．所以反例就是满足命题题设但不满足命题结论的一

个实例。所举的反例要求简单、明确、有说服力．有的几何题要通

过图形来举反例。举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本

质不同.所谓反例,通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例

就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理

数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”

的例子就可以确定这个命题是假命题.,如2与-2。

2、反证法：是间接证明的一种，常常用在直接证明有困难的那些命

题上，它的步骤为：先假设结论不成立（即结论的反面是正确的）

（反设），然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或

已知条件相矛盾（归谬），说明假设的不成立，从而得出原结论是

正确的（结论）．

三、反证法的关键是对结论否定的正确性，要熟悉常用的互为否定

的表述方式：如

是——不是；存在——不存在；平行——不平行；垂直——不垂直；

等于——不等于；都是——不都是；大于——不大于；小于——不

小于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个；

至少有n个——至多有(n-1)个。

范文三：反证法”教学案例

数学组梁华超

教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。

教学目的：

1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问

题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学

习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程

教学方法：互动式教学

教学过程：

（一）导入（3分钟）：

师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这

个故事

呢？

（让学生讲这个故事）

师：这个故事蕴含什么道理？

生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。

师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这

种“以

子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习

的“反证法”。（板书课题）

（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。

师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课

件

演示）

（让学生分组讨论后交流）

生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。

师：可以，有没有比他更简单的方法呢？

生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与

一年有365

天不符合，因此是不可能的。

师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，

引出矛盾，

从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、

方便，请同

学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模

仿1的证明方

式，尝试证明此命题。）

生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角

形内角和

定理矛盾，因此原命题成立

师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法

的证题步

骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分

组讨论后进行

交流）

生：我们小组的讨论结果是：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，

归纳出

反证法证明命题的步骤）

师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，

证明就

没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。下面我们

一起来证明一

个命题，大家仔细体会反证法的证明过程：已知：a、b、c三点在

同一条直线上。

求证：过a、b、c三点不能作圆。

(引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。)

（三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。

师：下面我们做一组练习

练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。

①一个三角形中不可能有两个钝角。

②梯形的两条对角线不能互相平分。

③两条直线相交，交点只有一个。

（让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的

证明过程）。

练习2：已知：如图三角形abc中，d、e两点分别在ab、ac上。

求证：cd、be不能互相平分。

（让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路）

（四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。

1、诸葛亮与反证法（3分钟）。

师：设计情景：三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派

大将魏

延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司

马懿率大队兵

马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸

葛亮冷静思考

之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上

城楼，摆好香c

案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，

心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今

天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入

城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。

②展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这

个问题？诸葛亮是如何考虑的？

③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”

来达到暂时“守住城”的目的。诸葛亮从问题（守住城）的反面（不

守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）

很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。这就是家喻户晓

的“空城计”。

2、律师与反证法（10分钟）。

师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某

酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，

酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方

面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不是苍蝇，

情急之下，把这个疑似红头苍蝇的东西吃了下去。对方一看证物被

毁，更加有恃无恐，一纸诉状将酒店告上法庭，酒店经理对自己的

冲动很后悔，深知庭审对自己将非常不利，但事情已无法挽回，为

打赢官司，他们聘请了一个著名的律师为自己辩护。法庭上，双方

律师围绕着是不是红头苍蝇展开辩论，原告律师自恃证据确凿，咄

咄逼人，形式对被告很不利。这时，被告律师站了起来，要求对原

告方提问，法官允许后，被告律师问：“你真的看到一只红头大苍蝇

吗？”“是的。”“你肯定是红色的吗？”“是的，我肯定。”接着，被告

律师用了一个巧妙的方法证实了原告说了谎话，这个方法就是我们

今天学习的反证法。假如你是被告方律师，你会怎么证实原告说的

是谎话呢？②开讨论：让学生以小组为单位合作探讨，寻找最佳方

法。

③模拟法庭：让各个小组的代表说出自己的做法，发言的同学作为

“律师”，不发言的同学作为“法官”，看看哪位“律师”的说法能让“法

官”们信服。

④真相大白：不少小组的做法非常接近律师的方法，让我们看看这

位律师的做法：把提前准备的五只红头大苍蝇放到酒精锅里，当庭

开煮，几分钟后，呈现在众人面前的是五只黑色的大苍蝇，法官当

场宣布：原告败诉。反证法在社会实践中和数学各个领域中都有着

广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何

的发现都得益于反证法。

（五）矢志不渝——情系反证法（3分钟）。（课件演示）。

师：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反

证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝——情系

反证法的俄国科学家

讲述数学家利用反证法发现非欧几何的故事。

1815年俄国罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已

知直线平行。

1826年非欧几何遭到讥讽和打击高斯欧洲数学之王。

1856年在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。

1868年几何学中的哥白尼。

1893年喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。

师：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？

生：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权

势、锲而不舍的奋斗精神。师：在科学探索的征途中，一个人经得

住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋

斗。我们再学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，

这也是我们学习数学的真谛。

（六）小结：

师：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（2分钟）

生：了解反证法证明命题的过程。

生：感受了反证法的妙用。

生：感受到数学家不畏权势，坚持真理，锲而不舍的奋斗精神。

师：同学们总结的很好。本节课表现较好的是1、3、4、8组。

（让学生归纳总结本节课的收获，根据学生的回答教师及时补充，

并对表现突出的小组和个人给予表扬和鼓励。）

（七）作业（2分钟）：

用反证法证明下列命题：

①等腰三角形的底角必定是锐角。

②直径是圆上的最大弦。

师：通过本节课的学习，我们了解了反证法在生活中有广泛的应用，

由于时间的关系，我们不能一一列举，课后以小组为单位收集相关

的资料，以《生活中的反证法》为题写一篇小论文，时间两个周，

届时我们将评选出优秀论文若干篇。

教学反思：

1、准确定位教学目标。新课程标准十分重视学生“双基”的培养，也

十分关注学生的学习过程以及情感、态度、能力等方面的发展，在

设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情

感态度目标进行了详细准确的定位。体现了“立足双基，着眼发展”

的教育理念。

2、创造性的使用教材。教材的内容相对来说比较简单，具有一定的

权威性，但同时又肯有相对的滞后性、封闭性、静止性等缺陷，不

能适应新课程的要求。因此，再设计本节课时，以课本的基本内容

为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，

尤其是诸葛亮与反证法、律师与反证法、科学家的故事的引入，体

现了学数学、用数学的思想，注重对学生的情感态度和价值观

的教育。努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来

源于生活，同时又服务于生活。

3、突出学生的主体地位。课堂上教师把学习的主动权交给学生，让

学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。本节课师生围绕

情景-问题-解决的思路，步步深入地经历了问题解决的过程。课堂气

氛自始至终和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间

的相互交流、激烈的讨论。

范文四：《反证法》教学设计与反思

德兴二中叶慧敏

“反证法”是九年级上册第二十四章圆和圆的位置关系中的一部分内

容。它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它

有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要。本节课

主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用

反证法证明数学中的一些简单命题。

一、首先从课程分析和学情分析着手。

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数

学问题时常用的思维方式。

反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，

是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思

考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法

的感觉。反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。

二、让学生自己去发现问题，解决问题。

先巧用趣味故事引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴

趣，并从故事中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的

含义：

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从

这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出

与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的

结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命

题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

附：故事一

南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公

下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下

雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：

“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就

吃屎。”

实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物

普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观

点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化

过程也可，那么，根据他的逻辑，即

可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个

事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运

用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看

看故事二。

故事二

相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国

有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法，用两张纸片，一张上

写活字，一张上写死字，处决前由它来抽，抽到活字可赦免，而奸

臣阴险歹毒，命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣

的朋友知道了，悲痛地告诉了他，并表示要和他一起揭露奸臣的阴

谋，这个贤臣想了想，高兴地说：“我有救了！”他叫这个朋友不要

声张，处决前抽纸片时，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下

去，监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。剩下的字无疑是个“死”

字，于是这个贤臣就被赦免了。

贤臣为什么能死里逃生？贤臣运用了反证法。“死”字的反面是“生”

字。

三、从生活实际问题出发：

问题1、13个人中至少有两个人的生日在同一个月。这一结论是否

正确？问题2、a、b、c三个人，a说b撒谎，b说c撒谎，c说a、

b都撒谎。则c必定是在撒谎，为什么？（分析:假设c没有撒谎,

则c话为真.那么a话为假且b话为假，由a话为假,知b话为真.这

与b话为假矛盾.那么假设c没有撒谎不成立;则c必定是在撒谎.）

让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉

反证法的步骤。

接着给出问题：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的

作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？

经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补

充。

四、反证法的基本步骤：

（1）、反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真。

（2）、归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推

理，得出矛盾结果。

（3）、存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.

让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。

五、在此基础上又开始应用反证法证明数学问题：

思考：应用反证法的情形：

⑴直接证明困难;

⑵需分成很多类进行讨论．

⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；

⑷结论为“唯一”类命题；

反证法的思维方法：正难则反反设是反证法的基础，为了正确地作

出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.

例如：

六、练习题1、一个三角形中不能有两个角是直角。

练习题2、两直线平行，同位角相等。

通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方

法。

七、我对设计的反思和分析：

(1).教学通过丰富的实例展开，这一方面可以使学生体会反证法思想

与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习反

证法的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想

离自己很近，反证法很有用。

(2).在宽松愉快的环境中学生完成了学习任务，学生的主体地位得到

了体现，主动性得到了充分发挥，学生的学习热情空前高涨，就连

平时不爱说话的学生也敢于站起来回答问题了。所有的学生都动起

来了，每个人都学有所得。诱思探究教学对大面积提高教学质量的

巨大作用，更加坚信学生的潜力无穷，要给予学生充分的信任，相

信他们解决问题的能力。

(3).在组织讨论时应给足够的时间给学生，不仅仅是为了讨论而讨论，

学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识，哪怕是

很肤浅的认识。

(4).抓住重点，突破难点。反证法的重点是能写出结论的反面，同时

也是难点。如“写出线段ab,cd互相平分的反面”，线段ab,cd互相

平分具体指：“ab平分cd且cd平分ab”.他的反面应包括以下三种

情况：（1）ab平分cd但cd不平分ab；（2）cd平分ab但ab不

平分cd；（3）ab不平分cd且cd不平分ab.统称为“ab，cd不互

相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即ab，cd互相不平分。

在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的

对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求

证”即已知：梯形abcd中，ac，bd是对角线；求证：ac，bd不能

互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着

不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不

应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。

范文五：【摘要】反证法在高中立体几何问题中有一定的运用，运

用的好可为我们在证明立体几何问题时多了一条有效途径，常能起

到化繁为简，出奇制胜的效果。本文就反证法在立体几何中的证明

问题上做一些介绍，让读者感受到它的应用的巧妙。

【关键词】反证法;举例

【中国分类法】：o123.2

反证法是间接证法的一种，它以排中律为依据，不直接证明“a是b”，

而是从反面证明“a不是b”不对，实际上就是证明命题的逆否命题成

立，从而肯定“a是b”是对的。即当命题由“题设结论”不易着手时，

而改证它的逆否命题：“否定的结论否定的题设”成立就行。实际上

是用

本科公里

前此定理=>结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自

相矛盾。

本题题设

否定结论

这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推

理有问题，也就只能归咎于否定结论的假设出现了问题，因此否定

结论不成立是错误的，那么只有原命题成立。这种证明方法叫做反

证法。它在证明许多基本命题时特别有用。

用反证法证明的一般过程是：

否定结论=>a=>b=>c;

与本科公理，

与前此定理不相容，

而c不合理，即与本题题设冲突，

与临时假定违背，

自相矛盾。

因此结论不能否定，

故结论成立。

反证法由于否定结论情况不同，又可分为归谬法和穷举法。

1.适用反证法证明常见的立体几何类型题：

（1)对初始建立的定理，一个新的理论体系的建立，是一个渐进过程，

起始定理由于本科前此定理不具备，证明依据甚少，多用反证法证

明。如直线和平面平行的判定定理，是线面关系中的第一个定理，

只能用反证法证明。

对条件较弱的命题，多用反证法证明，因为我们如果作出与题设相

反的假设，就等于增加了条件。

（2）对求证的结论是以否定的形式出现的命题。

（3）证明某一图形的唯一性命题。

（4）证明存在性问题的命题。

（5）对证明的结论是线线、线面、面面的位置关系的命题，此类题

目中不易或不能从题设入手的，不妨考虑用反证法。

2.应用反证法应该注意的问题

（1）防漏：如果原命题的否定不只是一个，那么必须把各个都驳倒，

才能肯定原来的命题成立，这就是穷举法。对这种情况，应防止漏

掉其中一个方面。

（2）应用反证法时，为便于推理需要辅之以图形，这时图形应当是

真实图形的歪曲，证题过程对图形也应适应。

3.应用举例

例1求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条

也和这个平面相交。

说明：此题用了穷举法，不要遗漏其中的一个方面。

说明：本题还有其它很多直接证法，但用反证法比较容易。

例3垂直于同一条直线的两个平面平行.

在交线l上取一点p,连结pa,pa

图3

通过以上说明，反证法不但为我们在证明立体几何证明题中开辟了

一条新途径，同时也发展和培养了学生的空间想象能力和解决问题

的能力。

故事一：

中散大夫嵇康对赵景真说：“你的眼睛黑白分明，有大将军白起那样

的风度。遗憾的是眼睛狭小了些。”

赵景真说：“一尺长的表尺就能审定浑天仪的度数，一寸长的竹管就

能测量出乐音的高低。何必在乎大不大呢？你只问见识怎么样就行

了。”

[解析]：嵇康说赵景真眼睛黑白分明，是表面的奉承话，他的真实意

图是说对方眼睛很小，讥讽对方视野狭窄、目光短浅。赵景真是聪

明人，听出了对方的弦外之音。但他如果直接反驳，说眼小的好处，

那就太直露了。赵景真于是用例证反驳法，用“表尺”“竹管”来回答

对方：大有大的盲区，小有小的精明，再另辟蹊径，提出对方应该

注意的是别人的见识如何，巧妙地回击了对方。

故事二：

蔡洪到洛阳后，洛阳人问他：“官府设置不久，众公卿征召人才，需

要在平民百姓中寻求才华出众的人才，在山林隐逸中寻访才德高深

之士。先生是南方人士，亡国逸民，有什么特殊的才能，敢来接受

这一选拔？”

蔡洪回答：“夜光之珠不一定都出自孟津一带的河谷之中，拱手的璧

玉不一定都从昆仑山开采出来。大禹出生在东夷，周文王出生在西

羌。圣贤出生地为什么非要在某个固定的地方呢？从前周武王打败

了殷纣王，把殷代的顽民迁移到洛邑，莫非诸位先生就是那些人的

后代吗？”

[解析]：洛阳人因为蔡洪是“南方人士，亡国逸民”，就认为他没有

“特殊的才能”。蔡洪举出实证——所有的夜光珠不都是产自孟津，

所有的美璧不都是产自昆仑山，进而由物由人：大禹生东夷，周文

王生西羌，釜底抽薪，从根本上驳倒对方的论据，阐明了地域不是

出产人才的唯一标准的观点。然后他又反唇相讥，讽刺说话者是败

者殷纣王的后代，以彼之道还制彼身，让人无法反驳。

例证反驳是在辩论中常用的方法，本文仅是抛砖引玉，希望广大读

者能够举一反三，在论辩中取得胜利。

[古例活用]

周日，陈歌把朋友马慧带回家去，可父母觉得马慧长有两颗虎牙，

认为不吉利，很反对两人交往。

送走马慧后，陈歌笑嘻嘻地反驳道：“妈，你太迷信了！刘二娘长有

虎牙，人家还是家庭兴旺吧！居委会的丁主任也是虎牙，人家人兴

财发呀！还有黄姑妈也是犬牙，却是女企业家，怎么会不吉利呢？

有虎牙才有魅力嘛！生龙活虎，虎头虎脑，这不都是赞颂老虎的。

妈，马慧人好心好工作好。您们要相信儿子看人的眼光。陈歌半当

真半调侃的话，说得父母又高兴起来，同意了两人继续做朋友。

[解析]：陈歌先用了例证反驳法，列举出生活圈中长有虎牙而家庭兴

旺的事例，驳倒了有虎牙不吉利的谬论，他再另辟蹊径，针锋相对，

后发制人，赢得了论辩的胜利。

[古例活用]

文竹随着一个旅游团到韩国旅游。但是韩国崔导游总是将他们领到

免税商店去，动员他们购物，文竹他们发现，这些商品，一点也不

便宜，所以大多数人都只看不买。

几次三番后，崔导很不高兴地对他们说：“你们如果真的喜爱韩国、

尊重韩国的话，就应多买韩国货回去送给朋友，如果只看不买，喜

爱韩国又何从说起呢？”

文竹立刻反驳道：“崔导，话不是这么说！我们国家领导人来访问，

学术团体来学术交流，运动员来友好比赛，难道不算是喜爱韩国吗？

我作为外国人，来到陌生的国度了解这个国家的历史，感受这个国

家的文化，体验这个国家的风俗人情，这才是喜爱吧！购物，只是

喜爱这个国家的商品，是浅层次的喜爱。我们是从深层次喜爱。再

说，如果你随时随地都怂恿我们购物，我们的朋友怎么敢再到韩国

来旅游呢？”

文竹的一席话，说得这位导游连连称是，再也不敢怂恿游客购物了。

[解析]：文竹先用例证反驳法，列举国家领导人的访问、学术交流等

事例，否定了只有多购物才是喜爱韩国这一谬论。然后，老树新花，

从新的角度灵活地解析学术交流、解韩国历史、认识韩国文化、体

验韩国风俗人情等才是深层次喜爱韩国的表现。从而使论证更有深

度，反驳也更有强度！

[古例活用]

汶川地震后，江油接收了不少来自北川、平武的灾民。两月后，余

震逐渐减弱，有些灾民想要回去重建家园。

一天上午，有个算命先生来到救灾帐篷前，煞有介事地说：“根据我

的测算，最近还有一次比汶川地震更大的余震，发生地多半在原震

区范围内，请大家还是别急着回去，这是送死！”他的话立即引起灾

民的恐慌。

这时候，一位灾民出面说话了：“大家不要听信他的谣言！我从报上

看到，大地震之后，余震只会逐渐减弱。比如1933年日本北部三陆

发生里氏8.1级的大地震，1946年日本西部地区发生里氏8.0级地

震，1976年唐山发生了7.8级强烈地震，1999年台湾发生7.6级大

地震，都没有再发生超过初发时的大余震。世界历次大地震发生后，

都没有更大的余震出现。再说，如果这位先生能测算地震的话，为

什么汶川大地震前不预告呢？这时再来放马后炮真是自作聪明！”

这位灾民的话立即引起了大家的共鸣，算命先生灰溜溜地溜走了。

[解析]：这位灾民巧用例证反驳法釜底抽薪，例举出世界各次大地震

后都没更大余震发生的史实，直接驳倒了对方的谬论。然后再反讽

对方：“如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告

呢？”造谣者的嘴脸，昭然若揭！谣言也如气球一戳即破！

故事一：

中散大夫嵇康对赵景真说：“你的眼睛黑白分明，有大将军白起那样

的风度。遗憾的是眼睛狭小了些。”

赵景真说：“一尺长的表尺就能审定浑天仪的度数，一寸长的竹管就

能测量出乐音的高低。何必在乎大不大呢？你只问见识怎么样就行

了。”

[解析]：嵇康说赵景真眼睛黑白分明，是表面的奉承话，他的真实意

图是说对方眼睛很小，讥讽对方视野狭窄、目光短浅。赵景真是聪

明人，听出了对方的弦外之音。但他如果直接反驳，说眼小的好处，

那就太直露了。赵景真于是用例证反驳法，用“表尺”“竹管”来回答

对方：大有大的盲区，小有小的精明，再另辟蹊径，提出对方应该

注意的是别人的见识如何，巧妙地回击了对方。

故事二：

蔡洪到洛阳后，洛阳人问他：“官府设置不久，众公卿征召人才，需

要在平民百姓中寻求才华出众的人才，在山林隐逸中寻访才德高深

之士。先生是南方人士，亡国逸民，有什么特殊的才能，敢来接受

这一选拔？”

蔡洪回答：“夜光之珠不一定都出自孟津一带的河谷之中，拱手的璧

玉不一定都从昆仑山开采出来。大禹出生在东夷，周文王出生在西

羌。圣贤出生地为什么非要在某个固定的地方呢？从前周武王打败

了殷纣王，把殷代的顽民迁移到洛邑，莫非诸位先生就是那些人的

后代吗？”

[解析]：洛阳人因为蔡洪是“南方人士，亡国逸民”，就认为他没有

“特殊的才能”。蔡洪举出实证——所有的夜光珠不都是产自孟津，

所有的美璧不都是产自昆仑山，进而由物由人：大禹生东夷，周文

王生西羌，釜底抽薪，从根本上驳倒对方的论据，阐明了地域不是

出产人才的唯一标准的观点。然后他又反唇相讥，讽刺说话者是败

者殷纣王的后代，以彼之道还制彼身，让人无法反驳。

例证反驳是在辩论中常用的方法，本文仅是抛砖引玉，希望广大读

者能够举一反三，在论辩中取得胜利。

[古例活用]

周日，陈歌把朋友马慧带回家去，可父母觉得马慧长有两颗虎牙，

认为不吉利，很反对两人交往。

送走马慧后，陈歌笑嘻嘻地反驳道：“妈，你太迷信了！刘二娘长有

虎牙，人家还是家庭兴旺吧！居委会的丁主任也是虎牙，人家人兴

财发呀！还有黄姑妈也是犬牙，却是女企业家，怎么会不吉利呢？

有虎牙才有魅力嘛！生龙活虎，虎头虎脑，这不都是赞颂老虎的。

妈，马慧人好心好工作好。您们要相信儿子看人的眼光。陈歌半当

真半调侃的话，说得父母又高兴起来，同意了两人继续做朋友。

[解析]：陈歌先用了例证反驳法，列举出生活圈中长有虎牙而家庭兴

旺的事例，驳倒了有虎牙不吉利的谬论，他再另辟蹊径，针锋相对，

后发制人，赢得了论辩的胜利。

[古例活用]

文竹随着一个旅游团到韩国旅游。但是韩国崔导游总是将他们领到

免税商店去，动员他们购物，文竹他们发现，这些商品，一点也不

便宜，所以大多数人都只看不买。

几次三番后，崔导很不高兴地对他们说：“你们如果真的喜爱韩国、

尊重韩国的话，就应多买韩国货回去送给朋友，如果只看不买，喜

爱韩国又何从说起呢？”

文竹立刻反驳道：“崔导，话不是这么说！我们国家领导人来访问，

学术团体来学术交流，运动员来友好比赛，难道不算是喜爱韩国吗？

我作为外国人，来到陌生的国度了解这个国家的历史，感受这个国

家的文化，体验这个国家的风俗人情，这才是喜爱吧！购物，只是

喜爱这个国家的商品，是浅层次的喜爱。我们是从深层次喜爱。再

说，如果你随时随地都怂恿我们购物，我们的朋友怎么敢再到韩国

来旅游呢？”

文竹的一席话，说得这位导游连连称是，再也不敢怂恿游客购物了。

[解析]：文竹先用例证反驳法，列举国家领导人的访问、学术交流等

事例，否定了只有多购物才是喜爱韩国这一谬论。然后，老树新花，

从新的角度灵活地解析学术交流、解韩国历史、认识韩国文化、体

验韩国风俗人情等才是深层次喜爱韩国的表现。从而使论证更有深

度，反驳也更有强度！

[古例活用]

汶川地震后，江油接收了不少来自北川、平武的灾民。两月后，余

震逐渐减弱，有些灾民想要回去重建家园。

一天上午，有个算命先生来到救灾帐篷前，煞有介事地说：“根据我

的测算，最近还有一次比汶川地震更大的余震，发生地多半在原震

区范围内，请大家还是别急着回去，这是送死！”他的话立即引起灾

民的恐慌。

这时候，一位灾民出面说话了：“大家不要听信他的谣言！我从报上

看到，大地震之后，余震只会逐渐减弱。比如1933年日本北部三陆

发生里氏8.1级的大地震，1946年日本西部地区发生里氏8.0级地

震，1976年唐山发生了7.8级强烈地震，1999年台湾发生7.6级大

地震，都没有再发生超过初发时的大余震。世界历次大地震发生后，

都没有更大的余震出现。再说，如果这位先生能测算地震的话，为

什么汶川大地震前不预告呢？这时再来放马后炮真是自作聪明！”

这位灾民的话立即引起了大家的共鸣，算命先生灰溜溜地溜走了。

[解析]：这位灾民巧用例证反驳法釜底抽薪，例举出世界各次大地震

后都没更大余震发生的史实，直接驳倒了对方的谬论。然后再反讽

对方：“如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告

呢？”造谣者的嘴脸，昭然若揭！谣言也如气球一戳即破！

吾吾摘自互联网

范文七：（对比论证）

坚忍是种心性，掌握好它，泥泞凄迷也会变得平坦光明。屈服于它，

没有了适应周遭环境的能力，就失去了发展了可能；不去直视面临

的困难，所有的振奋努力都滞留在曾经，像个懦夫，裹足逡巡，甚

至随波逐流，全身而退，只能自暴软弱。正如李嘉诚所言：“人生自

有其沉浮，每个人都应该忍耐自己的那一份悲哀，读懂坚忍。”抽象

派艺术大师杰克逊波洛克一帆风顺时是高产画家，为世人称道，而

身处摇摇欲坠寒冷结冰的乡下小舍的那段时期，他依然完成了包括

名作《有麻烦的王后》在内的11幅油画和水粉作品。

“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”别议

在我们的日常生活中，广为流传着这样一句话：“三

个臭皮匠，顶个诸葛亮。”很多人把这句话奉为真理。然而我却怀疑：

这真是一条真理吗？

每一个事物都有它适用的条件和范围。这句话用在

体力劳动中，是无可非议的。别说是三个“皮匠”顶一个“诸葛亮”，

就是一个“皮匠”顶三个“诸葛亮”，也不足为怪。谁不知道诸葛亮是

一个文弱书生呢？

如果在脑力劳动中，那情况就大不相同了。脑力劳

动，需要的是渊博的知识、丰富的实践经验和机智灵活的头脑。诸

葛亮之所以能够“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就因为他具备了

上述条件。而对于从事体力劳动的“皮匠”师傅来说，他需要掌握的

只是怎样修鞋、补鞋；他每天研究的只是怎样能更熟练地制革、做

鞋，怎样提高工作效率。假如让“皮匠”师傅去指挥千军万马，与曹

操抗衡，与司马懿斗智，恐怕只会被杀得落花流水、片甲不留吧。

由此看来，做好一件事重要的并不是人的数量，而

是人的质量。特别是在科学技术高速发展的今天，我们的祖国迫切

需要像诸葛亮那样可以“运筹帷幄”“决胜千里”的人；像诸葛亮那样

具有丰富知识、掌握先进科学技术的人；像诸葛亮那样高质量的人！

（张颖）

〔简评〕

本文非常明显地运用了“正反对照”，比较说理之法：“皮匠”做体力

活是正，叫“诸葛亮”去做体力活便是反；“诸葛亮”指挥千军万马是

正，让“皮匠”去指挥千军万马

便是反。这样鲜明的对比，使作者的论点鲜明地立了起来：“做好一

件事重要的并不是人的数量，而是人的质量。”

（程先国）

范文八：美学教授的孙子问爷爷：“爷爷，你为什么说一切假的都是

丑的？”

爷爷说：“那当然，难道你还能举出相反的例子？”

“能！”孙子爬到爷爷身上，得意地说，你看看你自己，装上假牙后

又年轻又精神，拿掉假牙，你的嘴巴又空又瘪，那才丑呢！这还不

是相反的例子吗？”

谁赢了

邻居中有几个麻将迷，没事便扎堆到一起玩麻将。

昨天我在巷子里碰到麻坛宿将小徐，我问：“怎么样？这阵子谁赢得

多？”

小徐搔搔额顶，无奈地苦笑着说：“都让阿三赢了！”

我很纳闷，继续问道：“阿三天天在巷子口早晨卖烧饼羊肉汤，晚上

摆烧烤摊儿，整天起早贪黑，还有精神头打麻将？我听说阿三从不

打麻将啊？”

小徐说：“阿三是不打麻将，可我们几个麻友有协定，谁赢了谁请客

吃烧烤、喝羊汤。所以，只要我们一打麻将，就会有人请客，今天

这个请，明天那个请，后来我们大家一核算，玩了半天谁也没赢，

都让搞烧烤、卖羊肉汤的阿三赢去了！”

范文九：数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明

的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法.

认识反证法

王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路

边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原

地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙

伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运

用了怎样的推理方法？

他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长

在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬

法）.

1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不

成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从

而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reductionto

absurdity）.

2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是

错误的，故原命题成立.

3.反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.

注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、

定理、公理、事实矛盾等；

4.一个反证法的范例

证明：素数有无穷多个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(euclidof

alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享

有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1此时，

令n=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是n的因子，

那么有两个可能：或者n有另外的素数真因子，或者n本身就是一

个素数，但是显然有n＞ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假

设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧和反证法的特点！

反证法的应用

类型一.用反证法证明否定性命题

例1设a,b,c,d∈r,且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1

所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc

即a2+b2+c2+d2+ab-cd+bc=0

（a+b）2+（c+d）2+（a-b）2+（b+c）2=0

所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾，

故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

类型二.用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题

例2若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+■,b=y2-2z+■,c=z2-2x+■

求证：a，b，c中至少有一个大于0

证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0，则a+b+c≤0

而a+b+c=（x2-2y+■）+（y2-2z+■）+（z2-2x+■）

这与a+b+c≤0矛盾，因此abc中至少有一个大于0

类型三.用反证法证明唯一性问题

例3用反证法证明：过已知直线a外一点a只有一条直线b与已知

直线a平行

证明：假设过点a还有一条直线c与已知直线a平行.由于a‖b,c‖a，

所以b‖c,这与b∩c=a矛盾，所以假设错误，故原命题成立.

类型四.用反证法证明直接证明有困难的问题

例4证明：■是无理数

证明：假设■不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整

数m，n，使得■=■（任意一个有理数都可以写成形如■（m,n互质，

m∈z,n∈n））

从而m■n，因此m2=2n2，所以m为偶数.于是可设m=2k

（k∈n）,从而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数.这与m，

n互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而■是无理数。

注解：（1）反证法证明的第一步是否定结论

常见数学用语的正面叙述及其否定形式

（2）如何推理论证，找出矛盾

所谓“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、

公理、事实矛盾等；

（3）反证法适用的题型：

1.否定性问题；

2.存在唯一性问题；

3.“至多”或“至少”问题；

4.结论的反面比原结论更具体，更容易研究和掌握的题目；

5.原命题直接证明有困难时；

练习：（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，

求证■，■，■不成等差数列

（2）已知x>0，y>0,且x+y>2求证：■，■至少有一个小于2

范文十：1.实数a,b,c不全为0等价于()

a.a,b,c全不为0

b.a,b,c中最多只有一个为0

c.a,b,c中只有一个不为0

d.a,b,c中至少有一个不为0

答案:d

22.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax+bx+c=0有有理根,

那么a,b,c中存在偶数”时,

否定结论应为()

a.a,b,c都是偶数

b.a,b,c都不是偶数

c.a,b,c中至多一个是偶数

d.至多有两个偶数

解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为

“a,b,c都不是偶数”.选b.

答案:b

3.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=(n=1,2,??),试证“数列{xn}对任意的正整

数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为()

a.对任意的正整数n,有xn=xn+1

b.存在正整数n,使xn=xn+1

c.存在正整数n,使xn≥xn+1

d.存在正整数n,使xn≤xn+1

解析:全称命题的否定是特称命题.

答案:d

4.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()

a.a,b,c都是正数

b.a,b,c都大于1

c.a,b,c都小于2

d.a,b,c至少有一个不小于

解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+c

答案:d

5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四

位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖

了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人是对的,则获奖的歌手是

()

a.甲b.乙c.丙d.丁

解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是假的,同理可推知乙、丙、

丁是否获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.

答案:c

6.用反证法证明如果a>b,那么,假设的内容应是.

答案:

7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,??,a7是1,2,??,7的一个排列,

求证:乘积p=(a1-1)(a2-

2)??(a7-7)为偶数.

证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,??,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之

和为奇数,故有奇数===0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.

解析:据题目要求及解题步骤,

因为a1-1,a2-2,??,a7-7均为奇数,

所以(a1-1)+(a2-2)+??+(a7-7)也为奇数.

即(a1+a2+??+a7)-(1+2+??+7)为奇数.

又因为a1,a2,??,a7是1,2,??,7的一个排列,

所以a1+a2+??+a7=1+2+??+7,故上式为0.

所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+??+(a7-7)

=(a1+a2+??+a7)-(1+2+??+7)=0.

答案:(a1-1)+(a2-2)+??+(a7-7)(a1+a2+??+a7)-(1+2+??+7)

8.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数

列.证明:假设成等差数列,则=2,

2即a+c+2=4b,而b=ac,即b=,

所以a+c+2=4,

2所以()=0,即.

从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,

故不成等差数列.

9.已知f(x)是r上的增函数,a,b∈r.证明:

(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);

(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.

证明:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,

又f(x)是r上的增函数,

所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),

由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).

(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,

因为f(x)是r上的增函数,

所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),

所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),

这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,

所以假设不正确,所以原命题成立.

b组

a.充分不必要条件

b.必要不充分条件

c.充要条件

d.既不充分也不必要条件

答案:c

2.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常

数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为()

a.0b.1

c.2d.无穷多

解析:假设两个数列中的第n项相同,则由an=bn,得an+2=bn+1,即

(a-b)n=-1.

∵a>b,∴a-b>0.

*又n∈n,∴(a-b)n>0.

这与(a-b)n=-1

∴两个数列中没有序号与数均相同的项.

答案:a

2223.若下列两个方程x+(a-1)x+a=0,x+2ax-2a=0中至少有一个方程

有实根,则实数a的取值范围

是.

解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有

解得{a|-2

所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.

答案:{a|a≤-2或a≥-1}

4.

如图所示,已知△abc为锐角三角形,直线sa⊥平面abc,ah⊥平面

sbc.求证:h不可能是△sbc的垂心.

证明:假设h是△sbc的垂心,

连接bh,则bh⊥sc.

∵ah⊥平面sbc,∴ah⊥sc

,

而bh∩ah=h,

∴sc⊥平面abh.∴sc⊥ab.

又sa⊥平面abc,∴ab⊥sa.

又sa与sc相交于点s,

∴ab⊥平面sac.

这与△abc是锐角三角形相矛盾.

∴h不可能是△sbc的垂心.

5.已知a,b,c都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有

一个不大于.

证明:假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.

∵a,b,c都是小于1的正数,

∴,

从而.

但是

≤

=,与上式矛盾.

∴假设不成立,即原命题成立.

226.已知直线ax-y=1与曲线x-2y=1相交于p,q两点,是否存在实数

a,使得以pq为直径的圆经过坐

标原点o?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:不存在.

理由如下:假设存在实数a,使得以pq为直径的圆经过坐标原点o,则

op⊥oq.

设p(x1,y1),q(x2,y2),

22由题意得(1-2a)x+4ax-3=0,

2即a=-2,这是不可能的.所以假设不成立.

故不存在实数a,使得以pq为直径的圆经过坐标原点o.