高中均值不等式
-经典童话故事100篇
2023年2月15日发(作者：精益生产五大原则)均值不等式归纳总结
1.(1)若Rba∈,，则abba222≥+(2)若Rba∈,，则
2
22ba
ab
+
≤
（当且仅当
ba=时取“=”）
2.(1)若*,Rba∈，则
ab
ba
≥
+
2
(2)若*,Rba∈，则abba2≥+（当且仅当ba=
时取“=”）
(3)若*,Rba∈，则2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
≤
ba
ab
(当且仅当
ba=
时取“=”）
3.若
0x>
，则
1
2x
x
+≥(当且仅当1x=时取“=”）
若
0x<
，则
1
2x
x
+≤−(当且仅当1x=−时取“=”）
若
0x≠
，则111
22-2xxx
xxx
+≥+≥+≤即或
(当且仅当
ba=
时取“=”）
4.若0>ab，则
2≥+
a
b
b
a(当且仅当ba=时取“=”）
若
0ab≠
，则
22-2
ababab
bababa
+≥+≥+≤即或
(当且仅当ba=时取“=”）
5.若
Rba∈,
，则
2
)
2
(
22
2
baba+
≤
+
（当且仅当
ba=
时取“=”）
『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的
和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定
积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决
实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋
1
2x2
（2）y＝x＋
1
x
解：(1)y＝3x2＋
1
2x2
≥23x2·
1
2x2
＝6∴值域为[6，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋
1
x
≥2x·
1
x
＝2；
当x＜0时，y＝x＋
1
x
=－（－x－
1
x
）≤－2x·
1
x
=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例已知
5
4
x<，求函数1
42
45
yx
x
=−+
−
的最大值。
解：因
450x−<
，所以首先要“调整”符号，又
1
(42)
45
x
x
−
−
i
不是常数，所
以对
42x−
要进行拆、凑项，
5
,540
4
xx∵
，11
42543
4554
yxx
xx
⎛⎞
∴=−+=−−++
⎜⎟
−−
⎝⎠
231≤−+=
当且仅当
1
54
54
x
x
−=
−
，即
1x=
时，上式等号成立，故当
1x=
时，
max
1y=。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当时，求
(82)yxx=−
的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为
定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx+−=为定值，
故只需将(82)yxx=−凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，
(82)yxx=−
的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而
可利用均值不等式求最大值。
变式：设
2
3
0< 解：∵ 2 3 0<−x∴ 2 9 2 232 2)23(22)23(4 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ≤−⋅=−= xx xxxxy 当且仅当,232xx−=即 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈= 2 3 ,0 4 3 x时等号成立。 技巧三：分离 例3.求 2710 (1) 1 xx yx x ++ =>− + 的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的 项，再将其分离。 当,即时, 4 21)59 1 yx x ≥+×+= + （（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分 离求最值。 22(1)7(1+10544 =5 tttt yt ttt −+−++ ==++ ） 当,即t=时, 4 259yt t ≥×+=（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0) () A ymgxBAB gx =++>>，g(x)恒正 或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数() a fxx x =+ 的单调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x + = + 的值域。 解：令24(2)xtt+=≥，则2 2 5 4 x y x + = + 2 2 11 4(2) 4 xtt t x =++=+≥ + 因 1 0,1tt t >⋅=，但 1 t t =解得1t=±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故 5 2 y≥。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 ⎡⎞ +∞ ⎟ ⎢ ⎣⎠ 。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值. （1） 231 ,(0) xx yx x ++ =>（2） 1 2,3 3 yxx x =+> − (3) 1 2sin,(0,) sin yxx x π=+∈ 2．已知01x<<，求函数 (1)yxx=− 的最大值.；3． 2 0 3 x<<，求函数 (23)yxx=− 的最大值. 条件求最值 1.若实数满足 2=+ba ，则ba33+的最小值是. 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均 值定理求最小值， 解：ba33和都是正数，ba33+≥632332==⋅+baba 当ba33=时等号成立，由2=+ba及ba33=得1==ba即当1==ba时，ba33+的 最小值是6． 变式：若 44 loglog2xy+=，求 11 xy +的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0xy>>，且 19 1 xy +=，求xy+的最小值。 错解 ．． ： ∵0,0xy>> ，且 19 1 xy += ，∴() 199 2212xyxyxy xyxy ⎛⎞ +=++≥= ⎜⎟ ⎝⎠ 故 () min 12xy+=。 错因：解法中两次连用均值不等式，在 2xyxy+≥ 等号成立条件是 xy= ，在 199 2 xyxy +≥ 等号成立条件是 19 xy =即9yx=,取等号的条件的不一致，产生错误。因 此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。 正解： 19 0,0,1xy xy >>+=∵ ， () 199 1061016 yx xyxy xyxy ⎛⎞ ∴+=++=++≥+= ⎜⎟ ⎝⎠ 当且仅当 9yx xy =时，上式等号成立，又 19 1 xy +=，可得4,12xy==时，() min 16xy+=。 变式：（1）若+∈Ryx, 且 12=+yx ，求 yx 11 + 的最小值 (2)已知+∈Ryxba,,,且 1=+ y b x a ，求 yx+ 的最小值 技巧七 已知x，y为正实数，且x2＋ y2 2 ＝1，求x1＋y2的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ a2＋b2 2 。 同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为 1 2 ，x1＋y2＝x2· 1＋y2 2 ＝2x· 1 2 ＋ y2 2 下面将x， 1 2 ＋ y2 2 分别看成两个因式： x· 1 2 ＋ y2 2 ≤ x2＋( 1 2 ＋ y2 2 )2 2 ＝ x2＋ y2 2 ＋ 1 2 2 ＝ 3 4 即x1＋y2＝ 2·x 1 2 ＋ y2 2 ≤ 3 4 2 技巧八： 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 1 ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化 为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可 行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又 有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不 等式的途径进行。 法一：a＝ 30－2b b＋1 ，ab＝ 30－2b b＋1 ·b＝ －2b2＋30b b＋1 由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ －2t2＋34t－31 t ＝－2（t＋ 16 t ）＋34∵t＋ 16 t ≥ 2t· 16 t ＝8 ∴ab≤18∴y≥ 1 18 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥ 22ab 令u＝ ab 则u2＋2 2u－30≤0，－5 2 ≤u≤3 2 ∴ab≤32，ab≤18，∴y≥ 1 18 点评：①本题考查不等式 ab ba ≥ + 2 ）（+∈Rba,的应用、不等式的解法及运算能力； ②如何由已知不等式 230abab=++ ）（+∈Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到 abba与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥ + 2 ）（+∈Rba,，这样将已知条件转 换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围. 变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 ，本题 很简单 3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函 数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴W≤20＝25 变式:求函数15 2152() 22 yxxx=−+−<< 的最大值。 解析：注意到 21x− 与 52x− 的和为定值。 22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx=−+−=+−−≤+−+−= 又 0y> ，所以 022y<≤ 当且仅当 21x− = 52x− ，即 3 2 x=时取等号。故 max 22y=。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了 条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时 还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知 cba,, 为两两不相等的实数，求证： cabcabcba++>++222 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR+∈，且1abc++=。求证： 111 1118 abc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−≥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，又112 1 abcbc aaaa −+ −==≥ ，可由此变形入手。 解：∵a、b、cR+∈，1abc++=。∴ 112 1 abcbc aaaa −+ −==≥ 。同理 12 1 ac bb −≥ ， 12 1 ab cc −≥ 。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−≥= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ii 。当且仅当 1 3 abc===时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0xy>>且 19 1 xy +=，求使不等式xym+≥恒成立的实数 m 的取值范围。 解：令,0,0,xykxy+=>> 19 1 xy +=， 99 1. xyxy kxky ++ ∴+= 109 1 yx kkxky ∴++= 103 12 kk ∴−≥⋅。16k∴≥，(],16m∈−∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,lglg,1 ba RbaQbaPba + =+=⋅=>>，则RQP,,的大小关系 是. 分析：∵ 1>>ba ∴0lg,0lg>>ba 2 1 =Q（pbaba=⋅>+lglg)lglg Qabab ba R==> + =lg 2 1 lg) 2 lg(∴R>Q>P。