一元二次方程20道例题
大课间跑步音乐-高考倒计时
2023年2月15日发(作者：整形美容价)一元二次方程练习题
题号一、填空题二、选择题三、多项选择四、简答题五、计算题总分
得分
一、填空题
（每空5分，共30分）
1、关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=．
2、已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
3、已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是
4、已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是
5、若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=．
6、一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则=．
二、选择题
（每空5分，共35分）
7、下列选项中一元二次方程的是（）
A．x=2y﹣3B．2（x+1）=3C．2x2+x﹣4D．5x2+3x﹣4=0
8、一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）
A．x1=0，x2=﹣2B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=﹣2D．x1=0，x2=2
9、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则
原铁皮的边长为（）
A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm
10、某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打
折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（）
A．8%B．18%C．20%D．25%
11、如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面
积为510平方米，则道路的宽为（）
A．1米B．2米C．3米D．4米
12、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的斜边长为().
A.B.3C.D.13
13、要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，
则x满足的关系式为（）
A．x（x+1）=15B．x（x﹣1）=15C．x（x+1）=15D．x（x﹣1）=15
14、由一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p、q等于（）
A.0B.1C.1或-2D.0或1
三、多项选择
（每空5分，共5分）
评卷人得分
评卷人得分
评卷人得分
15、方程的两根分别为，，且，则的取值范围
是．
四、简答题
（每题10分，共110分）
16、试求实数（≠1），使得方程的两根都是正整数.
17、已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．
18、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发几秒后，点
P、A的距离是点P、C距离的倍？
19、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出
1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据
销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利
1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返
利）
20、某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，
平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利
为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？
21、一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足
球被踢出后经过的时间．
（1）解方程，并说明其根的实际意义；
（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？
22、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2014年底拥有家庭轿车64辆，
2016年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
（1）若该小区2014年底到2016年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2017年底家庭轿车将达到
多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/
个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车
位多少个？
23、某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价
1元，月销售量就减少10千克.
(1)写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式.
(2)当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润.
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
评卷人得分
24、.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且SⅠ=SⅡ)的钢盒子,在钢片的四个角上分别截去两个相同的正方形
与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高x.
25、如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：在第6个图中，黑色瓷砖有__________块，白色瓷砖有__________块；
（2）某商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．且
该商铺按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，
贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算总费用为15180元．请问两种瓷砖各需要买多少块？
26、已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于的方程的两个实数根．
（1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根
（2）当为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
五、计算题
（每题5分，共35分）
27、用恰当的方法解下列方程：
28、解方程：
29、x2﹣7x﹣18=0．
30、2x2+12x﹣6=0
31、解方程：．
评卷人得分
参考答案
一、填空题
1、﹣2．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将
x=0代入方程式即得．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
2、k＜3．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：∴a=1，b=﹣2，c=k，方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4k＞0，
∴k＜3．
故填：k＜3．
3、8cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长，则l•2π•6=60π，然后利用勾股定理计算圆
锥的高．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得l•2π•6=60π，
解得l=10，
所以圆锥的高==8（cm）．
故答案为8．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长．也考查了勾股定理．
4、4．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】先根据判别式的意义确定a≤2，再根据根与系数的关系得到m+n=2a，然后利用a的取值范围确定m+n的最大
值．
【解答】解：根据题意得△=4a2﹣4（a2+a﹣2）≥0，解得a≤2，
因为m+n=2a，
所以m+n≤4，
所以m+n的最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也
考查了一元二次方程根的判别式．
5、16．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β和αβ，且α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可．
【解答】解：
∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，
∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=4+12=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，把α2+β2化成（α+β）2﹣2αβ是解题的关键．
6、﹣．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣m，x1•x2=2m，继而求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣m，x1•x2=2m，
∴==﹣．
二、选择题
7、D【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）
二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件
者为正确答案．
【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；
B、是一元一次方程，故此选项错误；
C、不是方程，故此选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化
简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8、D【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选D．
9、D【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根
据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据
题意列方程得，
（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，
解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；
答：正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：D．
10、C【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为200（1﹣x）元，第二次降价后的售价为200（1﹣
x）（1﹣x）元，根据第二降价后的售价为128元建立方程求出其解即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得
200（1﹣x）2=128，
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为20%．
故选C．
【点评】本题考查了列一元二次方程解降低率的问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率的数量
关系建立方程是关键，检验根是否符合题意是容易忘记的过程．
11、C【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+33x﹣x2=20×33﹣510，解方程即可求解．解
题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍．
【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+33x﹣x2=20×33﹣510
整理得x2﹣53x+150=0
解得x=50（舍去）或x=3
所以道路宽为3米．
故选C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
12、C
13、B【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=15．
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间
的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
14、C
三、多项选择
15、．
四、简答题
16、解：因式分解得：,………….5分
所以或.………….7分
因为,
所以，，………….9分
因为两根都是正整数，所以，.………….12分
17、解：（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根，
∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1≥0，
∴m≤；
（2）当x1
2-x2
2=0时，即（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1-x2=0或x1-x2=0
当x1+x2=0，依据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-（2m-1）
∴-（2m-1）=0，
∴m=
又∵由（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根时的取值范围是m≤，
∴m=不成立，故m无解；
当时x1-x2=0，x1=x2，方程有两个相等的实数根，
∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1=0，
∴m=
综上所述，当x1-x2=0时，m=。
18、【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的倍，分别表示出PA、PC的长度，然后根据题意
列出方程，求解方程．
【解答】解：设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍，
则PA=x，PC==，
由题意得，x=×，
整理得到：（x﹣9）（x﹣3）=0，
解得：x1=9（不合题意，舍去），x2=3，
答：点P出发3秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的倍．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程
求解．
19、【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均
降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2，即可得出答案；
（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论
得出即可．
【解答】解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价
均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×（3﹣1）=26.8，
故答案为：26.8；
（2）设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），
当0≤x≤10，
根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，
整理，得x2+14x﹣120=0，
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，
当x＞10时，
根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，
整理，得x2+19x﹣120=0，
解这个方程，得x1=﹣24（不合题意，舍去），x2=5，
因为5＜10，所以x2=5舍去．
答：需要售出6部汽车．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系并进行分段讨论是解题关键．
20、【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据题意分别表示出每盆植入的花苗株数，再表示出每株的盈利进而得出等式求出答案．
【解答】解：设每盆花在植苗4株的基础上再多植x株，
由题意得：（4+x）（5﹣0.5x）=24，
解得：x1=2，x2=4，
因为要尽可能地减少成本，所以x2=4应舍去，
即x=2，则x+4=6，
答：每盆花植花苗6株时，每盆花的盈利为24元．
21、解：（1）
x(-4.9x+19.6)=0,
∴x1=0,x2=4
x1=0表示足球离开地面的时间
x2=4表示足球落地的时间
（2）
当时，最大值
经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是．
22、（1）125（2）21
23、解：(1)由题意得
即；
………………3分
（2）由（1）得
∴当月销售单价为每千克70元时，月销售利润最大,最大利润为9000元
…………………………6分
(3)当时，由（1）得
整理得解之得x1=60，x2=80
又由销售成本不超过10000元得
解之得故x1=60应舍去，则x=80
销售单价应定为每千克80元.………………………………9分
24、x=10cm
25、【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的
代数式表示为n（n+1），然后将n=6代入计算即可；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据总费用为15180元为等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；
当n=3时，黑色瓷砖有块，用白瓷砖12块；
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），
当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；
故答案为：28，42；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：
100n（n+1）+50×4（n+1）+15（n+1）（n+2）=15180，
化简得：m2+3n﹣130=0，
解得n1=10，n2=﹣13（不合题意，舍去），
白色瓷砖块数为n（n+1）=110，
黑色瓷砖块数为4（n+1）=44．
答：白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．
26、（1）解：
-
∵无论m取何值
∴无论取何值方程总有两个实数根-（2）
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC即
∴m=1代入方程得∴
∴
即菱形的边长为
（3）将AB=2代入方程解得m=-
将带入方程
解得（或用根与系数的关系求得）
即BC=
∴周长为5
五、计算题
27、x=2+,x=2-
28、
29、x2﹣7x﹣18=0，
（x﹣9）（x+2）=0，
x﹣9=0，x+2=0，
x1=9，x2=﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
30、2x2+12x﹣6=0，
b2﹣4ac=122﹣4×2×（﹣6）=192，
x=，
x1=﹣3+2，x2=﹣3﹣2；
31、解法一：这里．
，
．
即．
所以，方程的解为．
解法二：配方，得．
即或．
所以，方程的解为．