求法向量

求法向量

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2023年2月15日发(作者：树池)

法向量的快速求法

在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，

有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能

够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的

一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面

介绍一种快速求平面的法向量方法。

新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方

程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。

结论：向量a＝(x

1

，y

1

，z

1

)，b＝(x

2

，y

2

，z

2

)是平面内的两个不共线向

量，则向量n＝(y

1

z

2

－y

2

z

1

，－(x

1

z

2

－

x

2

z

1

)，x

1

y

2

－x

2

y

1

)是平面的一个法

向量.

如果用二阶行列式表示，则

n＝(11

22

yz

yz

，－11

22

xz

xz

，11

22

xy

xy

)，这

更便于记忆和计算.

结论证明（用矩阵与变换知识可以

证明，此处略去），但你可以验证n一

定满足

草稿纸上演算过程

求x时，a、b的横坐标就不参与运

算，

求y时，a、b的纵坐标就不参与运

算，

a＝(1，2，3)，

求z时，a、b的竖坐标就不参与运

算，

a＝(1，2，3)，

∴n＝(－3，6，－3)，化简即得.

0

0

ma

mb



•





•







111

222

0

0

xxyyzz

xxyyzz











；

而且∵a、b不共线，∴n一定不是0.

怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.

例、向量a＝(1，2，3)，b＝(4，5，6)是平面内的两个不共线向量，求平面

的法向量

解：设平面的法向量为n＝(x，y，z)，

则

0

0

na

nb



•





•







230

4560

xyz

xyz











令z＝1，得n＝(1，－2，1).

注意：

①一定按上述格式书写，否则易被扣分.

②n的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.

而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标

轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。

向量a＝(x

1

，y

1

，0)，b＝(x

2

，y

2

，z

2

)是平面内的两个不共线向量，设

平面的法向量为n，先由0na，直接设

),,(

11n

zxyn或),,(

11n

zxyn；再通过

0nb，可得等式0

22112

zzyxyx

n

或0

22112

zzyxyx

n

，从而求得

n

z，再根据需

要将法向量n化简。

例、向量a＝(1，2，3)，b＝(4，5，0)是平面内的两个不共线向量，求平面

的法向量。

解：∵向量b中含有一个0，

∴设

),4,5(zn

或

),4,5(zn

，由0na

得

034215z

或03)4(215z

求得

1z

或

1z

。

设

)1,4,5(n

或

)1,4,5(n

此方法有一定局限性，当平面中的两个向量坐标中都找不到0的时候，此方法

就难以用上。