洛必达法则怎么用
-军训作文800字
2023年2月15日发(作者：消防救援场地)1/1
一．L’Hospital法则（洛必达法则）
法则1设函数
fx()
和
gx()
在点a的某个去心邻域
oUa,d()
内有定义，且满足：
(1)
lim
x®a
fx()=0
及
lim
x®a
gx()=0
；
(2)
fx()
和
gx()
在
oUa,d()
内可导，且
¢
gx()¹0
；
(3)
lim
x®a
¢
fx()
¢
gx()=A
（A为常数，或为∞）
则有
lim
xa
fx
gx=
lim
x®a
¢
fx()
¢
gx()=A
。
法则2设函数
fx()
和
gx()
在点a的某个去心邻域
oUa,d()
内有定义，且满足：
(1)
lim
xa
gx
；
(2)
fx()
和
gx()
在
oUa,d()
内可导,且
¢
gx()¹0
；
(3)
lim
x®a
¢
fx()
¢
gx()=A
（A为常数，或为∞）
则有
lim
xa
fx
gx=
lim
x®a
¢
fx()
¢
gx()=A
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，
x®+a
，
x®-a
洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理
0
0
，
，
0
，
1
，
0
，
00
，
型。
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3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足
0
0
，
，
0
，
1
，
0，
00
，
型
定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，
这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0
型：
lim
x®0+
xlnx
=
lim
x®0+
lnx
1
x
(化为
型)
=
lim
x®0+
1
x
1
lnx
(化为
0
0
型，但无法求解)
¥-¥
型：
lim
x®
p
2
tanx-secx()
=
lim
x®
p
2
sinx-1
cosx
=
lim
x®
p
2
cosx
-sinx
=0(通分后化为
0
0
型)
1
型：
lim
x®0
cosx()1
x2
=
elim
x®0
lncosx
x2=
elim
x®0
-sinx
cosx×2x=
e-
1
2(化为
0
0
型)
0
型：
lim
x®+¥
xsin
1
x
=
elim
x®+¥
sin
1
x
×lnx
=
elim
x®+¥
lnx
x
=
elim
x®+¥
1
x
=1(化为
型)
00
型：
lim
x®0+
xsinx
=
elim
x®0
+
lnx
cscxe
lim
x®0
+
1
x-cscxcotx()
=
elim
x®0
+
-
sinx
x
×tanx
=1(化为
型)
变形举例:
lim
x®-¥
x
1+x2
=
lim
x®-¥
-
1
1+
1
x2
=-1(不变形求导无法求出)
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二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数
2()1xfxexax
。
（1）若
0a
，求
()fx
的单调区间；
（2）若当
0x
时
()0fx
，求
a
的取值范围
原解：（1）
0a
时，
()1xfxex
，
'()1xfxe
.
当
(,0)x
时，
'()0fx
；当
(0,)x
时，
'()0fx
.故
()fx
在
(,0)
单调减，在
(0,)
单调增
（II）
'()12xfxeax
由（I）知
1xex
，当且仅当
0x
时等号成立.故
'()2(12)fxxaxax
，
从而当
120a
，即
1
2
a
时，
'()0(0)fxx
，而
(0)0f
，
于是当
0x
时，
()0fx
.
由
1(0)xexx
可得
1(0)xexx
.从而当
1
2
a
时，
'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea
，
故当
(0,ln2)xa
时，
'()0fx
，而
(0)0f
，于是当
(0,ln2)xa
时，
()0fx
.
综合得
a
的取值范围为
1
,
2
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当
0x
时，
()0fx
，对任意实数a,均在
()0fx
；
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当
0x
时，
()0fx
等价于
2
1xx
a
e
x
令
2
1xx
gx
e
x
(x>0),则
3
22
()
xxxx
gx
ee
x
，
令
220xxhxxxxee
，
则
1xxhxxee
，
0xhxxe
，
知
hx
在
0,
上为增函数，
00hxh
；
知
hx
在
0,
上为增函数，
00hxh
；
0gx
，g(x)在
0,
上为增函数。
由洛必达法则知，
2
000
1
1
222
limlimlimxxx
xxx
x
x
eee
x
，
故
1
2
a
综上，知a的取值范围为
1
,
2
。