圆内接三角形性质
-苏州园区规划
2023年2月15日发(作者：湖北干部在线学习)三角形内切圆的性质及应用
来看这样一道几何题.
题1如图1所示，ABC△的内切圆⊙I与三边分别切于点FED、、，直线DICIBI、、
分别与EF交于点KNM、、，直线BN与CM交于点P，直线AK与BC交于点G，过点I
且垂直于PG的直线与过点P垂直于PB的直线交于点Q.证明：直线BI平分PQ.
【分析】
此题表面上复杂，但经过一番抽丝剥茧，
最终可以归纳成数个结论的嵌套，实质上难度不大.但
是，这些结论在解题中却有着广泛的应用，更是可以成
为某些问题的突破口.下面依次分析.
我们看到，本题图形复杂，一些点的位置难以看清.
接下来将重新描述它们的位置，以期起到简化问题的效
果.
结论1点I为BCP△的垂心.
证明首先，我们知道四边形BINF内接于
圆，这是导角容易得到的.
因此，°90=∠=∠BNIBFI.
同理，°90=∠IMC，故点I为垂心，证毕.
结论2点G为边BC中点.
证明延长DK交内切圆于S，过点S作其切线与三角形两边相交.
我们考虑圆外切四边形BCXY.根据牛顿定理，点K为CYBX、的交点.
而又BCXY//，可知G为边BC中点，这一点不难通过比例线段得到.证毕.
于是，我们可以将点A和内切圆删除，这并不影响原题的结论.这样一来，原题的图形
也就得到了极大的简化.之后的步骤并不复杂.对于正式的证明本文从略，由于它并不是重
点.
题1的价值在于它引出了结论1和结论2，尤其是前者，在解题中应用广泛.一般来说，
对于涉及内切圆两切点连线的问题，结论1就提供了很好的思路.作出题1中的BCP△作
为辅助线，并寻找相似三角线和四点共圆等往往能奏效.
性质1的等价形式有时也被使用.
推论在图1中，延长CM交AB于点R，则MRCM=.
下面给出了一些具体的例子以体现上述结论的应用.
例1如图2，在ABC△中，ACAB>，内切圆⊙I于边ABCABC、、分别相切于
点FED、、，M是边BC的中点，BCAH⊥于点H，BAC∠的平分线AI分别于直线
DFDE、交于点LK、.证明：KHLM、、、四点共圆.
【分析】
根据推论，自然联想到延长CH与对边相交.这样一来就不难处理了.
证明我们不难知道CLNL=，因此，有BNML//.
这样一来可知ABCLMC∠=∠.
另一方面，由于CDCE=，再结合AK平分BAC∠，
可知LMCABCAKE∠=∠=∠.
这样就证明了原题.
例2如图3，M为BC中点，AM与EF交于点N.
两条角平分线分别与EF交于点YX、.
证明：NX
NY
AC
AB
=.
【分析】根据提供的思路，我们仍然作出图中所示的辅助线.利用垂心的性质，可发现
一组角平分线，恰能将所求比例的左边转化到一个三角形的两边.进而，只需证明其与原三
B
A
E
C
G
F
D
K
MN
Q
I
P
X
Y
S
图1
L
B
E
C
A
F
D
K
M
N
I
H
图2
图3
角形相似即可.
证明通过两组四点共圆，可分别证明
IYDIBD∠=∠；
XYCXBC∠=∠.
因此，ABCXYD∠=∠.
由此可知ABCDYX△△∽.
故
DX
DY
AC
AB
=.
另一方面，根据垂心的基本性质，又不难有
YDNXDN∠=∠.
因此，
NX
NY
DX
DY
=.
原题得证.
例3如图4，设⊙I与ABC△两边相切，过I作BC的垂线，交⊙I于、
分别交BC于点GH、.又分别连接AHAG、得到点NM、.证明：BCMN//.
【分析】
这图形本身作为内切圆的推广，自然可以使用内切圆的性质加以证明.这之前，
首先要做的工作是使⊙I成为内切圆.为了达成我们的目的，作出如图所示的辅助线.这样
一来，上述结论便有了用武之地.另一方面，我们已经知道BCMN//的充要条件是AF为
FMN△的中线，这由塞瓦定理不难说明.因此，只需构造一条与BC平行的直线.APQ△
的中位线是一个很好的选择.这之后的处理虽稍有技巧性，也并不难想到.
证明过F作BCPQ//.延长QIPI、与直
线DFEF、分别交于点RL、.
不难证明LR是APQ△中位线.这一点，只
须分别延长ALAR、与PQ相交，结合推论即可
得知.
因此，四边形ARFL为平行四边形.
故LR被AF平分.
结合BCRL//，可知HG被AF平分.
因此，HGMN//.
原题得证.
例4如图5，在锐角ABC△中，ACAB>，I是其内心，D是I在边BC上的射影.
BC边上的高AH和CIBI、分别交于点QP、.设O为IPQ△的外心，延长AO交BC
于点△的外接圆与BC交于两点LN、.
证明：CN
BN
CD
BD
=.
【分析】
原题结论即证明一组调和点列.
根据调和点列的定义，自然联想到构造完全
四边形.而结论1中的含垂心的三角形就是
一个不错的选择.仔细分析图形，可以挖掘到
两个关键的性质：一是一组相似三角形，二
是OIAI⊥.这之后处理的思路便自然了.
证明显然OIAI⊥.
因此，AI为⊙O切线.
取PQ中点T.
则TOIA、、、四点共圆.
图4
B
A
E
C
D
L
G
F
MN
PQ
R
I
H
C
M
N
I
X
Y
K
M
O
P
Q
R
I
T
H
S
L
N
图5
K
A
A
C
F
B
B
D
E
D
由此，再结合四边形AILN内接于圆，可知ITOINLIAL∠=∠=∠.
过CB、分别作BICI、的垂线，垂足为SR、.
不难证明ABCDYX△△∽，故KMCITP∠=∠.
但又有°90=∠+∠ITPITO，因此°90=∠+∠KMCINL，KMIN⊥.
因此，I为KMN△的垂心.
这里要说明一个经典结论：在圆内接四边形中，圆心、对角线交点、两对边所在直线
交点计4点，构成一垂心组.这里略去证明而仅承认它的正确性.
这表明，点N位于直线RS上.
因此，点对CB、被ND、调和分割，也即
CN
BN
CD
BD
=.
证毕.
例5如图6，点I为ABC△的内心，-A旁切圆分别切ABBC、边于点FD、，过A
且垂直于BC的直线交FD于V.证明：⊙
()BI与⊙
()
AFV相切.
【分析】一般来说，处理两圆相
切问题的基本思路是：先在定圆上找
出切点，挖掘切点的性质，并作出切
线，再证明此直线和三角形外接圆相
切.这里两点值得注意：一是切点既然
已经在两个圆上，那么它很可能是某
个完全四边形的密克尔点；二则是最
后一步的处理手法常是利用弦切角定
理.根据这一基本思路，再结合之前提
供的结论，可以解决本题.
证明重新定义V为PQ与DF的交点.
分别对完全四边形FBAVDH与AHVPQC应用
梅涅劳斯定理，有
1=
VA
HV
DH
BD
FB
AF
；
1=
PC
HP
VH
AV
QA
CQ
.
而注意到CEBD=；CPCQ=，代入上式中，可知
IP
DI
IQ
FI
PH
DH
AQ
AF
aa===，
这里使用了
a
AFIAQI△△∽这一结论.
也即有
PH
IP
DH
DI
a=.
又由DIID
a
//，得知BCAH⊥.
因此，根据同一原理，开头提出的定义与原题目中定义相一致.
过B作AIBT⊥交⊙
()BI于点T，并延长之交AC于点M，则熟知DE过点T.
因此，VTDT⊥，VHTD、、、四点共圆，另一方面，又有HIBA、、、四点共圆，
因此T为完全四边形FBAVDH的密克尔点，于是T也在⊙
()AFV上.
过T作⊙
()BI的切线TL，则只须证TL也与⊙
()
AFV相切即可，而这又与下式等价：
BACTAFLTB∠
2
1
=∠=∠.
..
..
A
M
P
Q
I
T
H
L
a
I
B
C
D
F
E
图6
但
()ABCBACTIBLTB∠+∠
2
1
=∠=∠，只须证ABCBTF∠
2
1
=∠即可.
由FDTB、、、四点共圆，我们有
ABCIBCBDFBTF∠
2
1
=∠=∠=∠.
证毕.
在解题中，发现并灵活应用一些结论对解题是有很大帮助的.但有必要说明，并不是一
切与内切圆有关的问题都适用此方法，应根据问题的实际情况加以判别.