弹性的定义

弹性的定义

-我的楼兰歌词

2023年2月15日发(作者：比分数更重要)

边际与弹性

Preparedon22November2020

第六节边际与弹性

教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。

教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。

教学难点：需求弹性的计算

教学内容：

一、边际概念

在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数fx的导数fx



为函数

fx的边际函数．

在点

0

x处，当x改变x时，相应的函数=yfx的改变量为

)()(

00

xfxxfy．当1x个单位时，)()1(

00

xfxfy，如果单位

很小，则有

)()()1(

0

1

00

0

xfdyxfxfy

dx

xx









．

这说明函数)(

0

xf



近似地等于在

0

x处x增加一个单位时，函数

)(xf

的增量

y

．当x有一个单位改变时，函数

)(xf

近似改变了)(

0

xf



．

二、经济学中常见边际函数

1．边际成本

总成本函数

)(xC

的导数

)(xC



称为边际成本函数，简称边际成本．

边际成本的经济意义是，在一定产量x的基础上，再增加生产一个单位产品

时总成本增加的近似值．

在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．

例1：已知生产某产品x件的总成本为2)C(xxx.(元)，

(1)求边际成本)(xC



，并对)1000(C



的经济意义进行解释．

(2)产量为多少件时，平均成本最小

解：(1)边际成本xx002040)(C.



．

(1000)400.002100042C



．

它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；

(2)平均成本

x

xx

x001040

9000C

)(C.，

0010

9000

)(C

2

.



x

x，

令



)(Cx0，得

x

=3000(件)．由于

3

18000

C(3000)0

3000



，故当产量为3000件时平

均成本最小．

2．边际收入

总收入函数

)(xR

的导数

)(xR



称为边际收入函数，简称边际收入．

边际收入的经济意义是，销售量为x的基础上再多售出一个单位产品所增加

的收入的近似值．

例2：设产品的需求函数为

px5100

，其中p为价格，x为需求量．求边际

收入函数，及

70,50,20x

时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．

解：根据

px5100

得

5

100x

p





总收入函数

)100(

5

1

5

100

)(2xxx

x

pxxR





边际收入函数为

)2100(

5

1

)(xxR



即销售量为

20

个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单

位；当销售量为

50

个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为

70

个单位

时，再多销售一个单位产品，总收入将减少

8

个单位．

3．边际利润

总利润函数)(xL的导数)(xL



称为边际利润函数，简称边际利润．

边际利润的经济意义是，在销售量为x的基础上，再多销售一个单位产品所

增加的利润．

由于

)()()(xCxRxL

，所以LxRxCx



．即边际利润等于边际

收入与边际成本之差．

例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为

202.02100)(xxxC（元）与201.07)(xxxR（元）

求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利

润，并说明其经济意义．

解：总利润函数100501.0)()()(2xxxCxRxL

边际利润函数为

502.0)(



xxL

日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是

1)200(



L

（元），

0)250(



L

（元），

1)300(



L

（元）

其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可

增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在

日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．

二、弹性概念

弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对

另一个经济变量变化的灵敏程度．

例如，设有A和B两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变

量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研

究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济

量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一

时，因变量变动的百分数．

定义：设函数)(xfy在点

x

处可导．则函数的相对改变量

y

y



与自变量的相对改变量

x

x



之比，当0x时的极限：

)(

)(

lim

0

xf

xf

x

y

y

x

xx

yy

x















称为函数)(xfy在

点

x

处的弹性，记作

Ey

Ex

或

()Efx

Ex

，即

()

()

Eyx

fx

Exfx



．

由定义知，当%1



x

x

时，%

yEy

yEx



．可见，函数)(xfy的弹性具有下述意

义：函数)(xfy在点

0

x处的弹性

0

xx

Ey

Ex



表示在点

0

x处当x改变1%时，函数)(xfy

在)(

0

xf的水平上近似改变

0

%

xx

Ey

Ex



．

四、经济学中常见的弹性函数

1.需求价格弹性

设某商品的需求量为

Q

，价格为p，需求函数

()QQp

，则该商品需求对

价格的弹性（简称需求价格弹性）为：

d

pdQ

E

Qdp

．

评注：一般来说，需求函数是价格的单调减少函数，故需求价格弹性为负值，

有时为讨论方便，将其取绝对值，也称之为需求价格弹性，并记为，即

d

pdQ

E

Qdp

．

若

1

，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等，称为单

位弹性或单一弹性；

若

1

，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变

动对需求量的影响不大，称为缺乏弹性或低弹性；

若

1

，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变

动对需求量的影响较大，称为富于弹性或高弹性．

2.供给价格弹性

设某商品的供给量为W，价格为p，供给函数()WWp，则该商品供给对

价格的弹性（简称供给价格弹性）为：

s

pdW

E

Wdp



3．需求弹性与总收益的关系

总收益

()RpQp

，

所以()()()[1()]()[1]

()

p

RQppQpQpQpQp

Qp





评注：⑴若

1

，即需求变动的幅度小于价格变动的幅度．此时

0R





，说明

收益R单调增加，即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少；

⑵若

1

，即需求变动的幅度大于价格变动的幅度．此时0R



，说明收

益R单调减少，即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加；

⑶若

1

，即需求变动的幅度等于价格变动的幅度．此时0R



，总收益

保持不变，降低价格或提高价格对总收益都没有影响．

例4：:某商品需求函数为

2

10

P

Q

，求（1）当3P时的需求弹性；

(2)在3P时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少它将变化多少

解：(1)

1

220

10

2

EQPPP

Q

P

EPQP















．

当3P时的需求弹性为

3

3

17P

EQ

EP

18.0．

(2)总收益

2

10

2P

PPQR，总收益的价格弹性函数为

2

2(10)

(10)

20

10

2

ERdRPPP

P

P

EPdPRP

P









，

在3P时，总收益的价格弹性为

33

2(10)

0.82

20

PP

ERP

EPP









．

故在3P时，若价格上涨%1，需求仅减少

0

018.0，总收益将增加，总收益约增加

%82.0．