强度刚度
-送礼文案
2023年2月15日发(作者：求是云学堂)3.构件的强度和刚度
50
第3章构件的强度和刚度
学习目标
理解各种基本变形的应力概念和分布规律；
掌握虎克定律及材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义；
掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；
掌握弯曲刚度的基本计算方法；
了解应力集中和交变应力的概念及材料在交变应力作用下的破坏特点。
3．1分布内力与应力、变形与应变的概念
3．1．1分布内力与应力
杆件受力作用时截面上处处有内力。由于假定了材料是均匀、连续的，所以内力在个截
面上是连续分布的，称为分布内力。用截面法所求得的内力是分布内力的合力，它并不能说
明截面上任一点处内力的强弱。为了度量截面上任一点处内力的强弱程度，在此引入应力这
一重要概念。
截面上一点的内力，称为该点的应力。与截面相垂直的应力称为正应力，用表示；截
面相切的应力称为切应力，也称剪应力，用表示。在国际单位制中，应力的基本单位是N
／m2，即Pa。工程中常用单位为MPa，GPa，它们的换算为：
lMPa=106Pa=1N／mm2
1GPa=103MPa=103N／mm2
3．1．2应变
在外力的作用下，构件的几何形状和尺寸的改变统称为变形。一般讲，构件内各点的变形是
3.构件的强度和刚度
51
不均匀的，某点上的变形程度，称为应变。
围绕构件内K点取一微小的正六面单元体，如图3—1(a)所示，设其沿x轴方向的棱边
长为x，变形后的边长为x+u，如图3—1(b)所示，u称为x的线变形。
当x趋于无穷小时，比值=u／x表示一点处微小长度的相对变形量，称为这一点
的线应变或正应变，用表示。
一点处微小单元体的直角的改变量[图3—1(c)]，称为这一点的切应变，用表示。
线应变和切应变是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。
图3—1正应变和切应变
3．2轴向拉伸与压缩的应力应变及虎克定律
3．2．1拉伸与压缩时横截面上的应力
拉压杆，如图3—2(a)(b)所示，横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉
压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。试验表明，拉压杆横截面上的
内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面。因此，拉压杆横截面上各点只产生正应力．且
正应力沿截面均匀分布，如图3—2(c)(d)所示。设拉压杆横截面面积为A，轴力为F
N
，则横
截面上各点的正应力为
=NF
A
(3-1)
正应力的符号规定与轴力相同。即拉应力为正，压应力为负。
例3—1如图3—3所示圆截面杆，直径d=40mm，拉力F=60kN，试求1—1，2—2截面上
的正应力。
解(1)计算两截面上的轴力
F
Nl
=F
N2
=60kN
(2)计算两截面上的应力
3.构件的强度和刚度
52
图3—2拉伸与压缩时横截面上的应力
图3—3圆截面杆
1—1截面的面积为A
1
≈
2
44
dd
d
=
22(40)(40)
44
mmmm
=856mm2
2—2截面的面积为A
2
=2
4
d
=2(40)
4
mm
=l256mm2
1—1截面上的正应力为
1
=1
1
NF
A
=
3
2
6010
856
N
mm
=70．1MPa
2—2截面上的正应力为
2
=2
2
NF
A
=
3
2
6010
1256
N
mm
=47．7Mpa
3．2．2拉压杆的变形和应变
杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变。杆件沿轴线方向的伸长(或
缩短)量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。
设圆截面等直杆原长为l，截面面积为A，在轴向外力F作用下，杆长由l变为l
1
，则杆
件的轴向变形为l=l
1
l。杆件拉伸时，l为正；压缩时，l为负。
l为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸
的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。对于轴力为常量的等截面直
杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为=l／l。杆件拉伸时，为正；杆
件压缩时，为负值。
3.构件的强度和刚度
53
3．2．3虎克定律
实验研究指出：在一定范围内，杆件的绝对变形l与所施加的外力F及杆件长度l成正
比，而与杆件的横截面面积A成反比。
引入与杆件材料有关的比例系数E，上式可写为
l=
Fl
EA
(3—2)
这一比例关系，称为虎克定律。其中F是轴向力，即F
N
。
比例系数E称为材料的拉压弹性模量，它表示材料抵抗拉(压)变形的能力，弹性模量愈
大，变形愈小，E的数值与材料有关。常用工程材料的E值，可查阅相关机械设计手册。
从公式(3—2)还可以看出，分母EA愈大，杆件变形l愈小，所以EA称为杆件的抗拉(压)
刚度，它表示杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力。
将=
l
l
代人l=NFl
EA
，可得虎克定律的另一表达式
=E(3—3)
公式表明，在一定范围以内，杆件横截面上的正应力与纵向线应变成正比。
例3—2求图3—4(a)所示杆的轴向变形l、最大正应力
max
及最大线应变
max
。已知：
A
1
=2A
2
=100mm2，E=200GPa，l
1
=l
2
=400mm，F=10kN。
解：(1)作轴力图
根据杆所受外力，可作出杆的轴力图，如图3—4(b)所示。
图3—4
(2)计算杆的轴向变形l
由轴力图和杆的结构图可知，应先分别计算AB段的变形l
1
，和BC段变形l
2
，再求杆的
总变形。
3.构件的强度和刚度
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AB段：l
1
=11
1
NFl
EA
=3
32
1010400
20010100
Nmm
MPamm
=0.2mm(伸长)
BC段：l
2
=22
2
NFl
EA
=
3
32
1010400
2001050
Nmm
MPamm
=0．4mm(缩短)
杆的总变形：
l=l
1
+l
2
=0.2mm0．4mm=0．2mm(缩短)
(3)计算杆的最大正应力
max
由轴力图和杆的结构图可知，杆的最大正应力发生在BC段，为
max
=2
2
NF
A
=
3
2
1010
50
N
mm
=200MPa(压)
(4)计算杆的最大线应变
max
由=
E
可知，最大线应变与最大正应力相对应，故
max
也出现在BC段上的各点，为
max
=max
E
=
3
200
20010
MPa
MPa
=0.001(压)
3．3材料在拉伸、压缩时的力学性能
材料的力学性能是指材料在受力和变形过程中所具有的特性指标。它是材料的固有特
性，可以通过实验获得。上一节介绍的材料弹性模量E，就是材料重要的力学性能指标。
3．3．1材料拉伸时的力学性能
拉伸试验一般在常温、静载荷条件下进行，试验时采用标准试件。圆截面的标准试件，
如图3—5所示。
图3—5圆截面拉伸试件
试件两端是夹持部分，中间工作长度和直径的关系为l=l0d或l=5d。
试件装到试验机上后，缓慢增加拉力F，试件在标距l长度内产生变形l，将对应的和l
绘成F一l曲线，称为拉伸图。一般在试验机上能自动绘出。
3.构件的强度和刚度
55
1．低碳钢的拉伸试验
低碳钢是工程上广泛使用的材料，在此以低碳钢Q235为例研究其拉伸时的力学性能。
图3—6是低碳钢的拉伸图。由于试验l与试件长度l和横截面积A有关，因此，即使
同一材料当试件尺寸不同时，拉伸图也不相同。为消除试件尺寸的影响，将纵坐标F除以试
件的横截面积A得到盯=F／A，横坐标l除以试件的长度l得到=
l／l,即可绘出—
关系曲线，称为应力一应变图，如图3—7所示。该图表示从加载开始到破坏为止应力与应
变的对应关系。
图3—6低碳钢的拉伸图图3—7低碳钢拉伸—图
通过试验，对照—关系曲线，可以看出低碳钢的拉伸试验分为4个阶段。
(1)弹性阶段
在图3—7所示应力一应变图的OA’段内，如果卸去外力，试件的变形将全部消失，说
明在此阶段材料只产生弹性变形，所以OA’段称为弹性阶段。弹性阶段的最高点A’所对
应的应力，是材料只发生弹性变形的最大应力，称为材料的弹性极限，用
e
表不。
在弹性阶段内的OA段，—关系曲线为一直线，说明在此阶段内与成正比，即符
合虎克定律，=E。直线最高点A所对应的应力，是正应力与正应变成正比的最大应力，
称为材料的比例极限，用
p
表示。直线OA的斜率，数值上等于材料的弹性模量E。
弹性极限
e
和比例极限
p
的物理意义并不相同，但两者数值相近，例如，低碳钢Q235
的
e
和
p
都约为200MPa。因此，实际应用中对两者通常不作严格区分，即认为在弹性阶
段范围内材料服从虎克定律。
(2)屈服阶段
在应力超过弹性极限
e
后的—关系曲线上，出现一段近似水平的小锯齿形曲线BC。
此时，说明的应力有波动但几乎未增加，材料却发生很大的变形。此时，材料失去抵抗变形
的能力，这种现象称为材料的屈服，BC段也被称为屈服阶段。在屈服阶段除第一次下降的
最小应力外的最低应力称为屈服极限，用
s
表示。低碳钢Q235的
s
约为235Mpa。
工程上一般不允许材料发生塑性变形，因此，屈服极限是材料的重要强度指标。
(3)强化阶段
屈服阶段过后，—关系曲线又成为上升的曲线，此时材料恢复抵抗变形的能力，这
3.构件的强度和刚度
56
种现象称为材料的强化，CD段称为强化阶段。强化阶段的最高点D所对应的应力是材料所
能承受的最大应力，称为强度极限，用
b
表示。低碳钢Q235的
b
约为380MPa。
强化阶段，应变随应力增加而显著增大，此时的变形主要是塑性变形。
(4)缩颈阶段
应力达到强度极限
b
时，试件在内部不均匀或有缺陷的薄弱处会出现局部收缩，称为
缩颈现象，即图示DE段，最后导致试件断裂。
试件断裂后，其弹性变形随着载荷的消失而恢复，剩余塑性变形。断裂的两段试件总l
1
。
减去原来的长度l，再除以原长l的百分比，称为材料的伸长率，用表示，即
=1ll
l
100％
伸长率大的材料，在轧制或冷压加工成型时不易断裂，并能承受较大的冲击载荷。工程
中按伸长率的大小将材料分为两类，
5％的材料，如结构钢、铝材等，称为塑性材料，
低碳钢Q235的伸长率约为25％～30％，是典型的塑性材料；<5％的材料，如铸铁、工
具钢、陶瓷等，称为脆性材料。
试件试验前截面面积为4，断裂后断口最小横截
面的面积为A
1
，则
=1AA
A
×100％
其中，称为断面收缩率。
低碳钢Q235的断面收缩率约为60％。
2．铸铁的拉伸试验
铸铁拉伸时的—关系曲线，如图3—8所示。图
中没有明显的直线，也没有屈服和缩颈现象，试件是
突然断裂的。铸铁断后伸长率约为0.5％～0.6％，是
典型的脆性材料。衡量脆性材料强度的唯一指标是强
度极限
b
。。图3—8铸铁拉伸—图
3．3．2材料压缩时的力学性能
为避免试件被压弯，金属材料的压缩试件应为短圆柱形，圆柱的高度一般为直径的2.5～
3.5倍。
1．低碳钢的压缩试验
如图3—9所示，实线部分是低碳钢压缩时的—关系曲线，虚线是低碳钢拉伸时的
—关系曲线。由图可见，在屈服阶段以前，压缩与拉伸的曲线基本相同，说明低碳钢压
缩与拉伸时的弹性模量E，比例极限
p
，弹性极限
e
和屈服极限
s
是相同的，只是超过屈
3.构件的强度和刚度
57
服极限
s
后，由于试件被压扁，横截面积不断增大，抗压能力不断提高，试件只会压扁而不
会断裂，因此，无法得到低碳钢的抗压强度极限
b
。
2．铸铁的压缩试验
如图3—10所示，实线部分是铸铁压缩时的—关系曲线，虚线是铸铁拉伸时的—
关系曲线。由图可见，铸铁拉伸和压缩的—关系曲线中均没有明显的直线部分，材料近
似服从虎克定律。铸铁压缩也没有屈服极限，但铸铁压缩时的强度极限是拉伸时的4～5倍，
所以铸铁常用于承受压力的构件。
铸铁在压缩时，有明显的变形，试件略呈鼓形。破坏时，端面与轴线大致成50左右。
图3—9低碳钢压缩—图图3—10铸铁压缩—图
工程材料在拉伸和压缩时的力学性能可查阅相关机械设计手册。表3—l列出了几种常
用的工程材料在拉伸和压缩时的力学性能和应用，仅供参考。
表3—1常用工程材料在拉伸和压缩时的力学性能(常温、静载)
材料名称屈服极限强度极限塑性指标应用举例
或牌号s/MPab/MPa/%/%
A3钢（Q235）
23539224
一般零件，如拉杆、螺钉、
轴等
A5钢（Q275）
274
490~608
20
35号钢
3135292045
机器零件
45号钢
3535971640
灰口铸铁
拉147~372
压640~1300
<1
轴承盖、基座、泵体、壳
体等
球墨铸铁
294~412392~5881.5~10
轧辊、，曲轴、凸轮轴、齿轮、
活塞、阀门、底座等
3.构件的强度和刚度
58
3．4安全系数和许用应力
3．4．1极限应力和工作应力
工程上把材料丧失正常工作能力的应力，称为极限应力或危险应力，以0表示。因此，
当塑性材料达到屈服极限s时，或脆性材料达到强度极限b时，材料将产生较大的塑性变
形或断裂。所以，对于塑性材料，0=s；对于脆性材料，0=b。
构件工作时，由载荷引起的应力称为工作应力。杆件受轴向拉伸或压缩时，要保证构件
能够安全工作，其横截面上的工作应力<0。
3．4．2安全系数和许用应力
从生产的经济性考虑问题，为了充分利用材料的强度，理想的情况是最好使构件的工作
应力接近于材料的危险应力。但是由于载荷的大小往往估计不准确；构件的材料不可能绝对
均匀，不能保证它和标准试件的机械性能完全相同，这样，构件的实际工作条件比理想情况
要偏于不安全的一面。
从确保安全考虑问题，构件材料应有适当的强度储备。特别是那些一旦破坏会造成停产、
人身或设备事故等严重后果的重要构件，更应该有较大的强度储备。为此，可把危险应力0。
除以大于l的系数n，作为材料的许用应力。许用应力以[]表示，即，
[]=0
n
（3—4）
式中：n——安全系数。
塑性材料的许用应力[]=s
sn
；脆性材料的许用应力[]=b
bn
。n
s
，n
b
性材料的屈服极限
s和脆性材料的强度极限b规定的安全系数。
正确地选取安全系数是工程中一件非常重要的事。如果安全系数n
s
(或n
b
)偏大，则许用
应力[]低，构件过于安全，但用料过多，会增加设备的质量和体积；如果安全系数偏小，
则许用应力[]高，用料少，但构件过于危险。所以，安全系数的确定，是合理解决安全与
经济之间矛盾的关键。．
各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。
3.构件的强度和刚度
59
3．5轴向拉伸与压缩的强度计算
杆件中最大应力所在的横截面称为危险截面。为了保证构件具有足够的强度，必须使危
险截面的应力不超过材料的许用应力，即：
max
=
N
A
[](3—5)
式中：N——危险截面的内力，N，拉压时内力N即为轴力F
N
；
A——危险截面的截面积，mm2；
max
——危险截面处的应力，MPa。
此式称为拉伸或压缩时的强度条件公式。利用强度条件，可以解决强度校核、设计截面
尺寸、计算许用载荷3类强度计算问题。
例3—3空心混凝土柱，如图3—11所示，受轴向压力P=300kN。已知a=125mm，d=75
mm，材料的许用压应力[]=30MPa，试校核此柱子的抗压强度。
解：A=22
1
4
ad=22
1
(125)(75)
4
mmmm=1l209mm2
=3
2
30010
11209
N
mm
=26．76MPa
因为<[]，所以此柱子的抗压强度足够。
图3—11图3—12
例3—4气动夹具，如图3—12(a)所示，已知：汽缸内径D=140mm，缸内气压P=0．6MPa，
活塞杆材料为20号钢，[]=80MPa，试设计活塞杆的直径。
解：活塞杆左端承受活塞上的气体压力，右端承受工件的阻力，所以活塞杆为轴向拉伸
构件，如图7—12(b)所示。拉力F可由气体压力及活塞面积求得。设活塞杆横截面面积远小
于活塞面积，在计算气体压力作用面的面积时，前者可略去不计。故有
3.构件的强度和刚度
60
20.6(140)92309.23
44
FPMPammNkN
活塞杆的轴力为F=9.23kN
活塞杆的横截面面积为A=
2
4[]
dF
=
39.2310
80
N
MPa
=115mm2
由此求出d
12．1mm，可取活塞杆的直径为14mm。
例3—5图3—13(a)所示为一个钢木结构的起吊架，其中AB为木杆，其截面面积为A
AB
=104
mm2，许用压应力[]
AB
=7MPa；BC为钢杆，其截面面积为A
BC
=600mm。，许用应力
[]
BC
=160MPa，试求B处可承受的最大许可载荷Q。
图3—13
解：(1)受力分析
用截面法画受力图，如图3—13(b)所示，由平衡条件可求得各杆轴力N
AB
和N
BC
与载
荷Q的关系
∑yF=0即N
BC
sin300Q=0
得N
BC
=
sin30o
Q
=2Q
∑xF=0即N
AB
cos30o
BCN=0
得N
AB
=cos30o
BCN=2Q·
3
3
2
Q
(2)求最大许可载荷
由强度条件公式(3—5)可知，木杆的许可轴力为
ABABABNA即32310107QmmMPa
得Q40415N=40．4kN
钢杆的许可轴力为
BCBCBCNA即22600160QmmMPa
3.构件的强度和刚度
61
得Q48000N=48kN
为保证结构安全，B处可吊起的许可载荷Q应取40．4kN，48kN中的较小值。
即Q
max
=40．4Kn
3．6剪切和挤压的实用计算
3．6．1剪切的实用计算
以铆钉联接为例，为了对其进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。应用截面
法，用一假想的平面将铆钉沿剪切面切开，取其下部作为研究对象，如图2—9(c)所示。为
了保持下段铆钉的平衡，截面上必有内力存在，这个与截面相切的内力即为剪力F
Q
。
根据平衡条件，可求得剪力F
Q
的大小为F
Q
=F。
与剪力相对应的应力称为剪应力。由于剪应力在剪切面上的分布情况比较复杂，要从理
论上进行计算往往很困难，有时甚至是不可能的，因此，工程上通常采用实用计算法，即假
设剪应力均匀地分布在剪切面上，于是，剪应力的计算式可写为
QF
A
(3—6)
式中：A——剪切面面积。
为了保证铆钉联接安全可靠地工作，要求作用于剪切面上的剪应力不超过材料的许用剪
应力，因此，剪切强度条件为
QF
A
(3—7)
式中：[]——材料的许用剪应力。
许用剪应力的大小等于材料的剪切极限应力除以安全系数。剪切极限应力是根据剪切试
验中测得的破坏时的剪力，按平均值计算得到的极限应力；安全系数是根据实践经验并针对
具体情况确定的。
剪切许用应力可从有关手册中查得，也可按下列近似经验公式确定
塑性材料[]=(0．6～0．8)[]
脆性材料[]=(0．8～1)[]
式中：[]——材料的许用拉应力。
和轴向拉伸或压缩一样，应用剪切强度条件也可解决工程上剪切变形的三类强度问题。
3.构件的强度和刚度
62
3．6．2挤压的实用计算
仍以铆钉联接为例，铆钉与被联接的钢板在一个半圆柱面上互相接触，产生挤压作用。
通常把两个接触面间的压力称为挤压力，以符号‘表示。由挤压力引起的应力称为挤压应力，
以吒表示。由于挤压应力在挤压表面上的分布情况也比较复杂，因而和剪切一样，仍采用实
用计算法，即假定挤压应力在挤压计算面积上是均匀分布的，故挤压应力为
j
j
j
F
A
(3—8)
式中：A
j
——挤压的计算面积。
此面积需根据接触面的具体情况而定：若接触面为平面，则接触面面积即为挤压计算面
积；若接触面为半圆柱形，则以接触半圆柱面的直径投影面积作为挤压计算面积。为了保证
构件不受到挤压破坏，挤压的强度条件应为
j
jj
j
F
A
(3—9)
式中：[]——材料的许用挤压应力，可从有关设计手册中查得。
一般塑性材料[]=(1．5～2．5)[]
脆性材料[]=(0．9～1．5)[]
式中：[]——材料的许用拉应力。
应该注意，如果互相挤压的材料不同，则应按挤压许用应力较小的材料进行强度计算。
例3—6如上一章图2—10(a)所示的一拖车挂钩，用销钉联接。已知：挂钩部分的钢板厚
度t8mm，拖力F=15kN，销钉的材料为20号钢，其许用剪应力[]=40MPa，许用挤压
应力[j]=100MPa，钢板材料为Q235，许用挤压应力[j]=90MPa，试设计销钉的直径。
解：一般先按剪切强度条件设计销钉直径，然后按挤压强度条件进行校核。若挤压强度不够，
可增加挤压面面积，或按挤压强度条件重新设计销钉直径。
(1)按剪切强度条件计算
如图2—10(b)所示，销钉在m—m，n—n两个截面上同时承受剪切作用，首先计算剪切
面上的剪力F
Q
。应用截面法，用假想平面将销钉沿剪切面m—m，n—n切开，取中段为研
究对象，如图2—10(c)所示。
由平衡条件可求出剪力F
Q
=F／2=7．5kN
根据剪切强度条件
QF
A
3.构件的强度和刚度
63
得
QF
A
或
2
4
QdF
故
3447.510
15.45
40
QFN
dmm
MPa
取d=16mm
(2)校核挤压强度
由图2—10(c)可知，挤压力F
j
=F；
挤压计算面积A
j
=d×2t
代人挤压强度条件可得
31510
58.59
21628
j
jj
j
FFN
MPa
Adtmmmm
钢板
可见，销钉直径d=16mm能满足剪切和挤压强度的要求。
3．7圆轴扭转的应力、强度计算
3．7．1圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转时各横截面仅产生绕轴线的转动，各横截面之间距离保持不变，没有纵向变形，
因此横截面上无正应力，只有切应力存在，且与半径垂直。切应力与切应变成正比，而横截
面上距离圆心越远的点，剪切变形越大，所以各点切应力的大小与其到圆心的距离成正比，
最大切应力发生在圆轴表面，圆心处切应力为零。
根据静力平衡条件，导出横截面上任一点的切应力计算公式(公式推证从略)
P
P
T
I
(3—l0)
式中：P——横截面上任一点的切应力，Pa或MPa；
T——该横截面上的扭矩，N·m或kN·m，N·mm；
I
P
——横截面对圆心的极惯性矩，m4或mm4；
——横截面上任一点到圆心的距离，m或mm。
圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大，其数值为
max
P
TR
I
令W
P
=PI
R
(3—11)
3.构件的强度和刚度
64
则max
P
T
W
(3—12)
式中：max——抗扭截面系数，m4或mm4。既是圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数。
最大应力max；与横截面上的扭矩T成正比，与W
P
成反比。
工程中轴的横截面通常采用实心圆和空心圆两种形状，其极惯性矩I
P
。和抗扭截面系数
W
P
的计算公式见表3—2。
表3—2圆和圆环横截面的极惯性矩I
P
，和抗扭截面系数W
P
例3—7图3—14所示为空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN·m，
计算=15mm处A点的扭转切应力A，以及截面上的最大和最小扭转切应力。
图7—14
解：（1）空心轴的极惯性矩为
44
444
3.144020
(1)1()235600
323240
P
Dmmmm
Imm
mm
(2)计算切应力
6
4
11015
()63.67
235600
A
P
TNmmmm
MPa
Imm
6
max
4
11020
2
()84.89
235600P
D
T
Nmmmm
MPa
Imm
6
min
4
11010
2
()42.44
235600P
d
T
Nmmmm
MPa
Imm
3.构件的强度和刚度
65
3．7．2圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时，产生最大切应力的横截面称为危险截面，为保证轴的安全工作，要求轴内
最大切应力不大于材料的许用切应力。因此圆轴扭转时的强度条件为
max
max
p
T
W
(3—13)
式中：T
max
——危险截面的最大扭矩；
W
P
——危险截面的抗扭截面系数。
注意：对于阶梯轴，因为抗扭截面系数W
P
不是常量，最大工作应力不一定发生在最大
扭矩T
max
，所在的截面处，应该按照(T/W
P
)
max
来确定max。
圆轴扭转时的许用切应力[]应由扭转试验测定，也可以查找机械设计手册。在静载荷
作用下，许用切应力与拉伸许用应力[]的关系为
塑性材料[]=(0．5～0．6)[]
脆性材料[]=(0．8～1)[]
应用上述公式，可以解决强度校核、截面设计、确定许用载荷3类问题。
例3—8阶梯钢轴如图3—15(a)所示，已知材料的许用切应力[]=80MPa，受外力偶矩为：
M
l
=10kN·m，M
2
=7kN·m，M
3
=3kN·m，AB段的直径d
1
=100mm,BC段的直径为d
2
=60mm，
试校核该轴的强度。
图3—15
3.构件的强度和刚度
66
解：(1)作扭矩图[图3—15(b)]
(2)强度校核
AB段：T
1
=10kN·m
33
1
63
1
3.14(100)
0.19610
1616
P
dmm
Wmm
6
1
max1
63
1
1010
()50.9
0.19610P
TNmm
MPa
Wmm
BC段：T
2
=M
3
=10kN·m
33
2
63
2
3.14(60)
0.04210
1616
P
dmm
Wmm
6
2
max2
63
2
310
()72
0.4210P
TNmm
MPa
Wmm
经过校核，该轴满足强度要求。
本例题同时表明，最大切应力发生在了扭矩较小的BC段的横截面上。
例3—9如图3—16所示，实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器联接传递扭矩，已知材料的
许用切应力[]=40MPa，传递的力偶矩T=0．8kN·m，空心轴内径与外径比10.5dD，
试计算实心轴的直径D和空心轴的外径D
1
。
图3—16
解：根据公式
max
max
p
T
W
得
(1)实心轴
3
16
P
DT
W
带人数据得D45．3mm，取D=46mm
(2)空心轴
3
4(1)
16
P
DT
W
带人数据得D
1
46．3mm，取D
1
=48mm
3.构件的强度和刚度
67
例3—10已知空心轴材料的许用切应力[]=100MPa，传递的力偶矩T=1．98kN·m，空
心轴外径D=76mm，壁厚2．5mm，求：①校核该轴的强度。②如改为实心轴，并保证相
同的强度，试设计实心轴的直径。
解：(1)校核强度，最大切应力在空心轴的外圆处
33
4443
(76)7622.5
(1)1()2.0510
161676
P
Dmmmmmm
Wmm
mm
6
max
43
1.9810
96.6
2.0510P
TNmm
MPa
Wmm
经过校核，该轴满足强度要求。
(2)保持强度不变，即实心轴与空心轴的最大切应力相等
maxmax'
'P
T
W
'PPWW
3
1
'
16
P
D
W
带人数据得D
1
=47．1mm，取D。
=48mm
在强度相同条件下，两轴的质量比(质量比等于体积比也等于横截面积比)为
22
2
1111
()4
0.32
4
GVADd
GVAD
空心轴的质量仅为实心轴的l／3，可见采用空心轴更为合理。
但要注意，过薄的圆筒受扭时筒壁可能发生褶皱，丧失承载能力，同时在加工空心轴时
会增加成本，所以不能在任何条件下都采用空心轴。
3．8弯曲的应力、强度和刚度计算
一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截
面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。如图7—17所示为车轴的计算简图，可知AB段的弯
矩M=Pa，剪力F
Q
=0，属纯弯曲；而CA和BD段为剪切弯曲。
3．8．1纯弯曲时梁横截面上的正应力
1．纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
如图7—18所示的矩形截面梁，在发生纯弯曲变形后，一边凹陷，一边凸出，凹边的纵向
纤维层缩短，凸边的纵向纤维层伸长。由于梁的变形是连续的，因此其问必有一层既不伸长
3.构件的强度和刚度
68
也不缩短的纤维，这一长度不变的纵向纤维层称
为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，
可以证明中性轴通过截面的形心。位于中性层
上、下两侧的纤维，一侧伸长另一侧缩短，引起
横截面绕中性轴的微小转动。纤维伸长，横截面
上对应各点受拉应力；纤维缩短，横截面上对应
各点受压应力。所以中性轴是横截面上拉应力区
域与压应力区域的分界线。正应力的分布规律如
图3—19所示。
图3—17纯弯曲和剪切弯曲
图3—18矩形截面梁纯弯曲变形图3—19矩形截面正应力分布
2．纯弯曲时横截面上正应力的计算公式
Z
My
I
式中：——横截面上任一点的弯曲正应力；
M——横截面上的弯矩；
y——欲求应力的点到中性轴的距离；
I
z
——横截面对中性轴z的惯性矩。
上述正应力的分布规律和计算公式是由纯弯曲梁计算所得，但经过验证，对于剪切弯曲
3.构件的强度和刚度
69
的细长梁(梁的跨度与截面高度比
l
h
5的梁)，在材料的弹性范围内，结论和公式依然适用。
3．横截面上最大的正应力
当y=y
max
时，弯曲正应力达到最大值，由公式(3—14)可得
max
max
z
My
I
(3—15)
max
zI
W
y
(3—16)
可得max
M
W
(3—17)
式中：W——抗弯截面系数，mm3。W是抵抗弯曲破坏能力的几何参数。
当截面的形状对称于中性轴时，如矩形、工字钢、圆形等，其上、下边缘距中性轴的距
离相等，即y
1
=y
2
=y
max
,如图3—20所示，因而最大拉应力max。与最大压应力max；相
等。当中性轴不是对称轴时，如T形截面(图3—21)，y
1
≠y
2
，所以最大拉应力和最大压应力
不相等，要分别计算。
图3—20对称截面的应力分布
图3—21非对称截面的应力分布
3.构件的强度和刚度
70
7．8．2简单截面的惯性矩和抗弯截面系数
轴惯性矩，和抗弯截面系数形是取决于截面形状、尺寸的物理量。截面的面积分布离中
性轴越远，截面的I和W越大。
常用的I和W计算公式见表7—3，其他常用型钢的，和形可查阅机械设计手册中的型
钢表。
表7—3常用的I和W计算公式
7．8．3梁的正应力强度计算
梁的正应力强度条件是：梁的最大弯曲正应力不得超过材料的许用应力，即
max(7—18)
最大正应力所在的截面称为危险截面，最大正应力所在的点称为危险点。
对于塑性材料，由于其抗拉强度与抗压强度相等，即
，其强度条件为
max
M
W
(7—19)
对于胞眭材料，由于其抗拉强度与抗压强度不相等，即
，其强度条件为
max
max
My
I
(7—20)
3.构件的强度和刚度
71
max
max
My
I
(7—21)
根据上述公式，可以完成梁的强度校核、截面设计、确定许用载荷三类问题的计算。
例3—11如图3—22(a)所示，T形截面对中性轴的，I
z
=3×105mm4，F
1
=3kN，F
2
=5.5kN，
AC=n=0.2m，BC=b=0.4m，材料的许用拉应力[]=70MPa，许用压应力[]=150MPa，
试按正应力强度条件校核梁的强度。
图3—22
解：(1)画计算简图[图3—22(b)]
(2)计算截面的弯矩并画弯矩图
M
A
=0
M
B
=F
l
(a+b)+F
2
b=3kN×(0.2m+0.4m)+5.5kN×0.4m=0.4kN·m
M
C
=F
l
a=3kN×0.2m=0.6kN·m
梁的弯矩图如图3—22(c)所示。由图可以得知，C截面的弯矩绝对值最大。
(3)校核梁的C截面强度
因为该截面弯矩为负值，所以中性轴以下截面为压应力，以上截面为拉应力。
上边缘的最大拉应力为
6
max
max
54
0.61030
60
310z
MyNmmmm
MPa
Imm
下边缘的最大压应力为
6
max
max
54
0.61060
120
310z
MyNmmmm
MPa
Imm
3.构件的强度和刚度
72
所以c截面的强度符合要求。
(4)校核梁的B截面强度
因为该截面弯矩为正值，所以中性轴以下截面为拉应力，以上截面为压应力。
上边缘的最大压应力为
6
max
max
54
0.41060
40
310z
MyNmmmm
MPa
Imm
下边缘的最大拉应力为
6
max
max
54
0.41060
80
310z
MyNmmmm
MPa
Imm
所以，B截面的强度不符合要求。B截面的下边缘处将先被破坏。
由此可见，当：①材料的许用拉应力和许用压应力不同，②中性轴不是对称轴，③弯矩
图上既有正弯矩也有负弯矩，3个条件同时存在时，既要计算最大正弯矩截面的强度，又要
计算最大负弯矩截面的强度。
3．8．4梁弯曲时的变形和刚度条件
1．挠度和转角
如图3—23所示的简支梁，弯曲变形时，横截面n—n位置，其形心从C点位移到C’点。
梁的横截面形心在与原来轴线垂直方向上的位移，称为该截面的挠度，用符号表示；横截
面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用符号表示。
图3—23简支粱的弯曲变形
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。在图
中所示的ox坐标系中，挠曲线的方程称为挠度方程，可以表示为
()x(3—22)
由于轴线是各截面形心的连线，所以，该方程中的x为变形前截面位置的横坐标，为
变形后该截面的挠度。
由于截面的转角等于挠度曲线在该截面的切线与x轴的夹角，在小变形的情况下，任
一截面的转角都可以表示为
3.构件的强度和刚度
73
tan'()
d
x
dx
(3—23)
所以，挠度和转角的数值可以由挠度方程及其一阶导数确定。采用图3—23所示的坐标
系时，向上的挠度为正，向下的挠度为负；逆时针的转角为正，顺时针的转角为负。
在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E与截面惯性矩I
z
的乘积EI
z
成反比，EI
z
越大，挠度和转角越小，所以EI
z
称为梁的抗弯刚度。在机械设计手册中可以查
到各种梁在简单载荷作用下的挠度方程，以及某些截面的挠度和转角计算公式。
2．梁的刚度条件
受几种载荷共同作用的梁，利用挠度方程表，先计算每一种载荷单独作用下的变形，
然后将它们进行代数和叠加，这种计算方法称为叠加法。一般在只有小变形和材料服从虎克
定律的前提下，才能使用叠加法计算梁的变形。
机械工程中有刚度要求的梁，有关设计标准和规范规定了许用挠度或许用转角的数值,
分别用[]和[]表示。其中许用挠度一般表示为梁的跨度l的倍数，如
一般传动轴[]=(0.0003～0.0005)l
安装齿轮或滑动轴承处[]=0.001rad
所以梁的刚度条件为
max
max
(7—24)
3．8．5提高梁弯曲强度和刚度的主要措施
1．提高梁弯曲强度的主要措施
在一般情况下，弯曲正应力是控制梁强度的主要因素。根据弯曲正应力强度条件可知，
梁的弯曲强度与横截面的形状和尺寸、最大弯矩和材料有关。因此，提高梁的强度可从以下
几个方面考虑：
(1)选择合理的截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有尽可
能大的抗弯截面系数W，截面
W
A
的比值越大，截面越经济合理。工程中常见截面的
W
A
比值
如表3—4所示。
表3—4常用工程材料截面W/A的比值
3.构件的强度和刚度
74
可见，矩形截面优于圆形截面，圆环截面又优于矩形截面，而最合理的为工字形和槽截
面。这一结论可以从正应力的分布规律来解释，弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，当离中
性轴最远各点处的正应力达到材料的许用应力时，中性轴附近各点处的正应力仍很小，该处
材料的作用未充分发挥。因此，在离中性轴较远处配置较多的材料可提高材料的利用率。
根据上述原则，对于抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用对称于中性轴的各种截
面，如矩形、工字形等截面。对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，宜采用中性轴偏于
受拉一侧的截面，如T形、形截面等，最理想的截面是使1max
2max
y
y
，如图3—21所示。
(2)合理地布置载荷和支座
合理地布置载荷和支座，可以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的强度。
如图3—24所示，将梁上的集中载荷分散为两处靠近支座的集中力，梁上的最大弯矩将
减小一半。
图3—24集中载荷分散为两处靠近支座的集中力
如图7—25所示的受均布载荷的简支梁，若将两个支座各向内侧适当移动0.2l，则其最
大弯矩将从0.125q2l。减小为0.025q2l。，仅为原来的1／5。
使集中力尽量靠近支座，也可以降低最大弯矩。如图3—26所示的铣床的齿轮轴，若让
齿轮紧靠左边轴承，而不是位于轴的中问位置，其最大弯矩为
5
36
Pl
，而不再是
4
Pl
,，从而使
最大弯矩降低了40％。因此，机械工程中的齿轮、带轮等都尽量靠近轴承处，以降低梁的
最大弯矩，提高梁的弯曲强度。．
(3)采用变截面梁
一般情况下，在梁的不同截面，弯矩值不同。等截面梁的尺寸由最大弯矩确定，因此，
除了危险截面的应力max达到材料的许用应力[]外，其他截面的正应力均小于许用应力，
材料未充分利用。因而从整体上看，等截面梁不合理，故机械中常采用变截面梁。如铸铁托
架，摇臂钻的横臂AB、鱼腹梁、阶梯轴等，它们的截面尺寸随弯矩大小而定，称为变截面
梁。若各截面的最大应力都达到许用值，则称为等强度梁，如图3—27所示。
应该指出，上述措施只是从弯曲强度的角度考虑的，工程实际中，还应结合工艺要求、
3.构件的强度和刚度
75
结构功能等因素，作全面考虑。
(a)(b)
图3—25受均布载荷的简支梁支座向内移动
图3—26集中力尽量靠近支座
2．提高梁弯曲刚度的主要措施
由机械设计手册查得梁的变形公式可知，梁的变形与载荷(m，P，q)成正比，与梁的
跨度f或z的高次幂成正比，与抗弯刚度肼成反比。因此，提高梁刚度的措施为：
(1)缩短梁的跨度或增加支座
缩短跨度是提高梁刚度极为有效的措施。在跨度不允许减小的情况下，可以增加中间支
座。如切削工件时，卡盘夹紧一端为固定端，在自由端加装尾架顶针，以降低挠度，使切削
工件符合要求。
3.构件的强度和刚度
76
(a)(b)(c)
图3—27变截面梁
(2)增大抗弯刚度肼
因为各种钢材的E值接近，所以选择惯性矩，较大的截面形状，是比较经济的措施，例如
采用圆环形、箱形、工字形等截面形状。
(3)改善加载方式
同强度问题一样，改善加载方式可以降低弯矩，减小梁的变形。另外，可适当调整载荷方
向，使两种载荷引起的变形能互相抵消一部分，从而达到减小变形的目的。
7．9交变应力与疲劳失效
7．9．1交变应力的概念
机器中的某些传动轴常常受到随时间作周期性变化的应力，这种应力称为交变应力。例
如，图3—28(a)所示的火车轮轴，受到载荷F
P
的作用，当轴转动时，其横截面上的弯曲正
应力会随时间作周期性的变化。如中间截面上的C点，每运动一周，其位置由1开始，经2，
3，4后又回到l[图3—28(b)]，其应力值变化为：maxminmax00。车轴不停地
转动，该点的应力就不断地如此反复，所以C点的弯曲正应力为交变应力。若以时间t为横
坐标，弯曲正应力为纵坐标，则C点的应力随时间的变化曲线如图3—28(c)所示。
7．9．2交变应力的循环特性
为了清楚地看出交变应力的变化规律，可将应力随时间的变化规律绘成图形，称为
t曲线。曲线上的最高点和最低点的纵坐标分别为最大应力max。与最小应力min，应
力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。
交变应力的变化特点用应力比，即最小应力min与最大应力max的比值——循环特来
3.构件的强度和刚度
77
表示，即
min
max
(3—25)
（a）（b）（c）
图7—28交变应力
7．9．3交变应力的种类
在工程中，把常见的交变应力分为对称循环和非对称循环两种。
对称循环是指minmax(即=1)的交变应力，例如上面
提到的火车轮轴C点的弯曲正应力，就是对称循环的交变应力，
如图3—28所示。
非对称循环是指minmax(即1)的交变应力。在非
对称循环中，若min0(即=0)时，称为脉动循环交变应力，
所示。例如一对齿轮的轮齿在相互啮合过程中所受到的载荷，图7—29脉动循环交变应力
由开始为零变到最大，而后又从最大变到脱离啮合时的零值，就是脉动循环交变应力。另外，
可以把静应力作为一种特殊的交变应力，其minmax，应力比=1。
7．9．4应力集中的概念
等截面直杆在轴向载荷的作用下，其横截面上的应力是均匀分布的。试验表明，在构件
尺寸突变的截面上，应力并不均匀。如图7—30所示，开有圆孔的直杆受到轴向拉伸时，在
圆孔附近应力急剧增加。这种因构件尺寸突变引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
试验结果进一步表明，截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度越严重。因此，在可能的
条件下，构件尽量要避免尖角、孔与槽的出现，例如在阶梯轴的轴肩处要使用圆弧过渡等。
在静载荷作用下，应力集中对不同材料的影响程度是不相同的。低碳钢等韧性材料，因
3.构件的强度和刚度
78
有屈服阶段存在，当局部的最大应力达到屈服点时，将发生塑性变形，应力值基本上不再增
加；载荷继续增加时，应力值限定在材料屈服点附近范围内，使截面的应力逐渐趋于均匀分
布。可见，材料的屈服具有缓和应力集中的作用。因此，韧性
材料在静载荷作用下可以不必考虑应力集中的影响。对于脆性
材料，由于没有屈服阶段，所以，当应力集中处的最大应力达
到抗拉强度时，该处材料便开始断裂，并很快导致整个构件破
坏，所以应力集中对于组织均匀的脆性材料影响较大，会大大
降低其承载能力。而对于组织不均匀的脆性材料，由于材料(如
灰铸铁等)本身就存在应力集中，所以用这种材料制成的构件对
应力集中并不敏感。
综上所述，研究构件静载荷下的承载能力时，一般不计应
力集中的影响。但当构件在交变应力和冲击载荷作用下，应力
集中对构件的强度将产生严重的影响，往往是导致构件破坏的
主要原因，必须予以重视。图7—30应力集中
7．9．5材料在交变应力作用下的破坏特点
构件在交变应力作用下发生的失效，称为疲劳失效。疲劳失效与静应力作用下的失效是
截然不同的，其特点是：
(1)强度低
失效时的应力低于材料的强度极限0rb，甚至低于屈服极限盯。。
(2)疲劳损伤、
疲劳裂纹需经应力多次重复后才会出现。
(3)脆性断裂
即使很好的塑性材料，也会在没有明显的塑性变形
的情况下突然发生脆性断裂。
(4)断口特征
疲劳失效的断口，通常呈现两个不同区域，即光滑
区和粗糙区，如图3—31所示。图7—31疲劳失效的断口特征
7．9．6疲劳失效的原因
疲劳失效的原因一般可通过疲劳失效的实际过程加以说明，这一过程可分为3个阶段：
形成疲劳裂纹源、疲劳裂纹扩展和脆性断裂。
3.构件的强度和刚度
79
1．形成疲劳裂纹源
由于材料内部存在缺陷或表面上有机械加工的刀痕等原因，使构件在某些局部的应力很
高，在交变应力长期反复作用下，在构件内应力最大处或材料有缺陷处将产生细微裂纹，即
形成疲劳裂纹源。
2．疲劳裂纹扩展
因裂纹尖端的严重应力集中，在交变应力作用下，裂纹从疲劳裂纹源逐渐扩展，在扩展
的过程中，裂纹两表面的材料时而压紧、时而分离，这样就形成了断口表面的光滑区。
3．脆性断裂
在疲劳裂纹逐渐扩展的过程中，构件的有效截面不断被削弱，当其有效截面不足以承受
载荷时，就会发生突然的脆性断裂。由于断裂前裂纹尖端存在应力集中，所以即使是塑性材
料也会发生脆性断裂。断口的粗糙区就是突然发生脆性断裂时形成的。
从以上的分析可知，疲劳裂纹源的形成和裂纹的扩展不易被发现，疲劳失效是在没有预
兆的情况下突然发生的，很容易造成严重事故。大部分机械零件的损坏都属于疲劳失效。
7．9．7提高构件疲劳极限的措施
在交变应力作用下，材料的强度与其静强度是不同的。为了确定交变应力下材料的极限
应力，一般应在疲劳试验机上进行疲劳试验。各种材料的疲劳极限值可从有关手册中查到。
为了提高构件的疲劳极限，可以采取以下几个方面的措施。
1．减缓应力集中
由于应力集中是影响构件疲劳的主要因素，所以，尽可能消除或减缓应力集中是提高构
件疲劳极限的重要措施。
在设计构件的形状和尺寸时，应尽量防止截面突然变化。当这种变化不可避免时，应采
用尽可能大的过渡圆角；有时由于结构上的需要，某些阶梯轴的截面突变处不允许制成过渡
圆角时，可在直径较大处开一个光滑的圆槽，即卸荷槽，同样可以达到减缓应力集中的目的，
如图3—32所示。
图7—32减缓应力集中
2．提高构件表面加工质量
构件表面的加工质量对疲劳极限也有很大的影响。这是因为构件在弯曲或扭转时，表面
层的应力最大，而构件表面的刀痕或损伤又容易引起应力集中，所以构件表面的加工质量越
粗糙，其疲劳极限就越低。因此，对疲劳强度要求较高的构件，要降低表面粗糙度，提高表
3.构件的强度和刚度
80
面加工质量。
由于疲劳裂纹大多产生于构件表面，因此，可以采用一些表面热处理或化学处理方法，
提高构件表层材料的强度，改善表层的应力状态，使表面产生残留压应力。例如，渗碳、渗
氮、液体碳氮共渗、高频淬火、表面滚压和喷丸等，都是提高构件疲劳极限的重要措施。
应该指出：高强度材料对应力集中更为敏感，因此，在构件的外形设计和表面加工工艺
方面要特别注意，不然，采用高强度材料就达不到提高疲劳极限的目的。
本章小结
1．应力与应变
应力：正应力用表示，切应力(剪应力)用表示。
应变：线应变(正应变)用表示，切应变用
表示。
2．虎克定律
△
Fl
l
EA
或E。E称为材料的拉压弹性模量，EA称为杆件的抗拉(压)刚度。
3．材料在拉伸和压缩时的力学性能
(1)低碳钢的拉伸试验过程
分为弹性、屈服、强化、缩颈4个阶段。
比例极限用P表示，弹性极限用e表示，屈服极限用s表示，强度极限用b表示，材料的伸长率
用
表示，断面收缩率用
表示。
≥5％的材料(如低碳钢Q235)称为塑性材料；
<5％的材料(如铸铁)
称为脆性材料。
(2)铸铁的拉伸试验过程
铸铁拉伸时没有屈服和缩颈现象，试件突然断裂。衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限。
(3)低碳钢的压缩试验
低碳钢压缩与拉伸时的弹性模量E、比例极限P、弹性极限e和屈服极限s是相同的，但无法得
到低碳钢的抗压强度极限b。
(4)铸铁的压缩试验
铸铁压缩时无屈服极限，强度极限吼是拉伸时的4~5倍，常用于承受压力的构件。
4．安全系数和许用应力
许用应力以[]表示，即[]=
0
n
。式中，n称为安全系数，0为极限应力。n
s
，n
b
分别。按塑性
材料的屈服极限s和脆性材料的强度极限b规定。
5．轴向拉伸与压缩的强度计算
强度条件为
max
N
A
3.构件的强度和刚度
81
6．剪切和挤压的实用计算
强度条件为
Q
A
j
jj
j
F
A
7．圆轴扭转的应力、强度计算
强度条件为max
max
p
T
W
8．弯曲的应力、强度和刚度计算
强度条件为max
刚度条件为maxmax
9．交变应力与疲劳失效
交变应力：随时间作周期性变化的应力。
应力集中：构件尺寸突变引起的局部应力急剧增大的现象。
疲劳失效：构件在交变应力作用下发生的失效，机械零件的损坏大多属于疲劳失效。
※※思考与练习※※
3—1塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时破坏形式有何区别?
3—2塑性材料和脆性材料在实际应用中的极限应力是如何规定的，为什么?
3—3简述极惯性矩I
z
和抗扭截面系数W
p
的含义及常用单位。
3—4简述轴惯性矩I和抗弯截面系数W的含义及常用单位。
3—5简述拉压弹性模量E和剪切弹性模量G的含义及常用单位。
3—6研究杆件强度和刚度问题的主要目的分别是什么?
3—7如图3—33所示，载荷F=130kN悬挂在两根杆上，AB是钢杆，横截面为圆形，直径d=30mm，
许用应力[1]=160MPa；BC杆是铝杆，横截面也为圆形，直径d=40mm，许用应力[+]=60MPa。已知
d=300，试校核该结构的强度。(0=30)
图3—33图3—34
3—8如图7-34所示，AB杆与AC杆铰接于A点，在A点悬吊重物F=10kN，两根杆材料相同，材料
3.构件的强度和刚度
82
的许用应力[]=100MPa，试设计两杆的直径。
3—9如图3—35所示的变截面杆AC，在A，B两处分别受到50kN和140kN的力的作用，材料E=200
GPa，试求：①画出轴力图，②求各段正应力，③求总变形量。
3—10如图3—36所示的销钉联接件，F=18kN，1=8mm，2=5mm，销钉直径d=16mm，许用切应
力[]=60MPa，许用挤压应力[j
]=200MPa，试校核销钉的剪切和挤压强度。
图
图3—35图3—36
3—1l如图3—37所示的传动轴，转速n=100r／min，直径d=80mm，[]=100MPa．试校核轴的强度。
3—12圆轴的直径d=60mm，转速n=200r／min，材料的[]=100MPa，试求轴所能传递的最大功率P。
图3—37图3—38
3—13如图3—38所示，简支梁的[]=170MPa，矩形截面h／b=1.5，求梁的横截面面积，若采用工字
钢，请选择型号，并比较两种截面的耗材。
3—14如图3—39所示，吊车梁跨度为8m，由32a工字钢制成，[]=100MPa，试校核梁的强度。
3—15如图7—40所示，简支梁受均布载荷作用，矩形截面b×h=120mm×180mm，[]=10MPa，l=5
m，试求梁允许的载荷集度。
图3—39图3—40