二次函数求根公式

二次函数求根公式

-天原杯

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初三数学知识点总结：二次函数知识点总结

明天小编为大家精心预备了一篇有关初三数学知识点

总结：二次函数知识点总结的相关内容，以供大家阅读！

1二次函数及其图像

二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二

次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a

不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

普通的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

普通式

y=axbxc(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b

顶点式

y=a(xm)2k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2k(a0,a、h、

k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置

特征和图像的启齿方向与函数y=ax2的图像相反，有时标题

会指出让你用配方法把普通式化成顶点式;

交点式

y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，

0)的抛物线];

重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决议函数的启齿方向，

a0时，启齿方向向上，a0时，启齿方向向下。a的相对值还

可以决议启齿大小,a的相对值越大启齿就越小,a的相对值

越小启齿就越大。

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牛顿插值公式(三点求函数解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/

((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由

此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的左边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

假设所画图形准确无误，那么二次函数将是由普通式平移失

掉的。

留意：草图要有1自身图像，旁边注明函数。

2画出对称轴，并注明X=什么

3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的

性质

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线独一的交点为抛物线的顶点P。

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特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

顶点

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上;当-4ac=0时，P在x轴上。

启齿

3.二次项系数a决议抛物线的启齿方向和大小。

当a0时，抛物线向上启齿;当a0时，抛物线向下启齿。

|a|越大，那么抛物线的启齿越小。

决议对称轴位置的要素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决议对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;由于假定对称轴

在左边那么对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于

0，所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。由于对称轴在

左边那么对称轴要大于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于

0，所以a、b要异号

可复杂记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab0)，对称

轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

理想上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的

该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可经

过对二次函数求导失掉。

决议抛物线与y轴交点的要素

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5.常数项c决议抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

抛物线与x轴交点个数

6.抛物线与x轴交点个数

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数

(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b在

{x|x-b/2a}上是减函数，在

{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的启齿向上;函数的值域是

{y|y4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，

解析式变形为y=ax^2c(a0)

特殊值的方式

7.特殊值的方式

①当x=1时y=abc

②当x=-1时y=a-bc

③当x=2时y=4a2bc

④当x=-2时y=4a-2bc

二次函数的性质

8.定义域：R

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值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的状况，a小于0的

状况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

正无量);②[t，正无量)

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2bxc[普通式]

⑴a0

⑵a0，那么抛物线启齿朝上;a0，那么抛物线启齿朝下;

⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷=b^2-4ac,

gt;0，图象与x轴交于两点：

([-b-]/2a，0)和([-b]/2a，0);

=0，图象与x轴交于一点：

(-b/2a，0);

lt;0，图象与x轴无交点;

②y=a(x-h)^2k[顶点式]

此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)

对称轴X=(X1X2)/2当a0且X≧(X1X2)/2时，Y随X的增

大而增大，当a0且X≦(X1X2)/2时Y随X

的增大而减小

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此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即

可求出解析式(普通与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐

标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。

26.2用函数观念看一元二次方程

1.假设抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么事

先，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，

有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的

三种状况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等

的实数根。

26.3实践效果与二次函数

在日常生活、消费和科研中，求使资料最省、时间最少、效

率最初等效果，有些可归结为求二次函数的最大值或最小

值。

明天的内容就引见这里了。