双曲线的准线方程
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2023年2月15日发(作者：关于离婚)高中数学
双曲线的标准方程及其几何性质
一、双曲线的标准方程及其几何性质.
1．双曲线的定义：平面内与两定点F
1
、F
2
的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F
1
F
2
｜)
的点的轨迹叫双曲线。两定点F
1
、F
2
是焦点，两焦点间的距离｜F
1
F
2
｜是焦距，用2c表
示，常数用2
a
表示。
(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2
a
时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.
(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2
a
时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.
(3)若2
a
=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.
(4)若2
a
＞2c时，动点的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：
2
2
a
x
-
2
2
b
y
=1(a＞0,b＞0)表示焦点在x轴上的双曲线；
2
2
a
y
-
2
2
b
x
=1(a＞0,b＞0)表示焦点在y轴上的双曲线.
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上.
3.双曲线的简单几何性质：
标准方程
22
22
1
xy
ab
（0,0ab）
22
22
1
yx
ab
（0,0ab）
图象
,,abc关系222abc
范围
||,xayR||,yaxR
顶点
(,0)a(0,)a
对称性
关于,xy轴成轴对称、关于原点成中心对称
渐近线
b
yx
a
a
y
b
离心率
(1)
c
e
a
焦点
(,0)Fc(0,)Fc
等轴双曲线：x2-y2＝a2(a≠
0),它的渐近线方程为y＝
±
x,离心率e＝
2
.
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的
个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y(或
x
)得到关于变量
x
(或y)的一元二次方程，考虑该一元
二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双
曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点．
（2）若得到关于
x
(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平
行于双曲线的一条渐近线．
高中数学
(3)直线l被双曲线截得的弦长2
21
2))(1(xxkAB或2
21
2
))(
1
1(yy
k
，其中k
是直线l的斜率，),(
11
yx，),(
22
yx是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且
21
2
21
2
21
4)()(xxxxxx，
21
xx，
21
xx可由韦达定理整体给出．
二、例题选讲
例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距
离为2，则双曲线方程为()
A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝2D．x2－y2＝
1
2
解析：由题意，设双曲线方程为
x2
a2
－
y2
a2
＝1(a>0)，则c＝2a，渐近线y＝x，
∴
|2a|
2
＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点
)2,3(P
，离心率
2
5
e．
(2)
1
F、
2
F是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
60
21
PFF，312
21
FPF
S．
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在
x
轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下．
如双曲线的实轴在
x
轴上，设1
2
2
2
2
b
y
a
x
为所求．由
2
5
e，得
4
5
2
2
a
c
．①
由点
)2,3(P
在双曲线上，得1
29
22
ba
．②，又222cba，由①、②得12a，
4
1
2b．③
若双曲线的实轴在y轴上，设1
2
2
2
2
b
y
a
x
为所求．同理有
4
5
2
2
a
c
，1
92
22
ba
，
222cba．解之，得
2
17
2b（不合，舍去）．
∴双曲线的实轴只能在
x
轴上，所求双曲线方程为
1422yx．
(2)设双曲线方程为1
2
2
2
2
b
y
a
x
，因cFF2
21
，而2
a
c
e，由双曲线的定义，得
高中数学
caPFPF2
21
．由余弦，得
2121
2
2
2
1
2cos2)2(PFFPFPFPFPFc
)60cos1(2)(
21
2
21
PFPFPFPF，
∴
21
224PFPFcc．又31260sin
2
1
21
21
PFPFS
FPF
，∴48
21
PFPF．
∴4832c，162c，得42a，122b．∴所求双曲线的方程为1
124
22
yx
．
三、巩固测试题
1．到两定点0,3
1
F、0,3
2
F的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（D）
A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线
2．方程
1
11
22
k
y
k
x
表示双曲线，则k的取值范围是（D）
A．
11k
B．
0k
C．
0k
D．
1k
或
1k
3．双曲线
1
4122
2
2
2
m
y
m
x
的焦距是（C）
A．4B．22C．8D．与m有关
4．若
ak0
，双曲线
1
2
2
2
2
kb
y
ka
x
与双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
有（D）
A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点
5．过双曲线1
916
22
yx
左焦点F
1
的弦AB长为6，则
2
ABF（F
2
为右焦点）的周长是（A）
A．28B．22C．14D．12
6．双曲线
x2
4
－
y2
12
＝1的焦点到渐近线的距离为()
A．23B．2C.3D．1
解析：双曲线
x2
4
－
y2
12
＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝3x或y＝－3x.
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝
|43＋0|
3＋1
＝23.
7．以椭圆1
58
22
yx
的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（）A
A．1
53
22
yx
B．1
35
22
yx
C．1
813
22
yx
D．1
513
22
yx
8．过点P(4,4)且与双曲线
x2
16
－
y2
9
＝1只有一个交点的直线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．
高中数学
9．经过两点
)3,72(),26,7(BA
的双曲线的方程为（）C
A．1
2575
22
yx
B．1
2575
22
xy
C．1
7525
22
yx
D．1
7525
22
xy
10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（）
A．
22
1
412
xy
B．
22
1
124
xy
C．
22
1
106
xy
D．
22
1
610
xy
11．已知P是双曲线1
916
22
yx
上的一点，
21
,FF是双曲线的两个焦点，且120
21
PFF
则
21
FPF的面积为（）D
A．316B．39C．34D．33
12．双曲线222516400xy的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为
，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于．
13．直线1xy与双曲线
1
32
22
yx
相交于BA,两点，则AB=________12．64
14．过点)1,3(M且被点M平分的双曲线
1
4
2
2
y
x
的弦所在直线方程为。
13．
0543yx
15．双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则
m
。
双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为
2
21
4
x
y，
∴m=
1
4
。
16．已知双曲线的离心率e＝
5
2
，且与椭圆
x2
13
＋
y2
3
＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．
解：在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)，
∴c＝10，又e＝
c
a
＝
10
a
＝
5
2
，∴a2＝8，b2＝2.
高中数学
∴双曲线方程为
x2
8
－
y2
2
＝1.
17．已知
1
F、
2
F是双曲线1
4
2
2
y
x
的两个焦点，点P在双曲线上且满足90
21
PFF，
求
21
PFF的面积．
解：∵P为双曲线1
4
2
2
y
x
上的一个点且
1
F、
2
F为焦点．∴
42
21
aPFPF,522
21
cFF
∵90
21
PFF，∴在
21
FPFRt中，202
21
2
2
2
1
FFPFPF
∵162
21
2
2
2
1
2
21
PFPFPFPFPFPF，∴16220
21
PFPF，∴
2
21
PFPF
∴1
2
1
21
21
PFPFS
PFF
18．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
(3,0)F
,右顶点为
(2,0)D,设点
1
1,
2
A
.
（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=
3
,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为1
4
2
2
y
x
(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
2
1
0
x
得
x0=2x－1
y=
2
2
1
0
y
y0=2y－
2
1
由,点P在椭圆上,得1)
2
1
2(
4
)12(
2
2
y
x
,
∴线段PA中点M的轨迹方程是1)
4
1
(4)
2
1
(22yx.
19．已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交
高中数学
椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
2
21
9
x
y.联立方程组
2
21
9
2
x
y
yx
,消去y得,21036270xx.
设A(
11
,xy),B(
22
,xy),AB线段的中点为M(
00
,xy)那么:
12
18
5
xx,
0
x=12
9
25
xx
所以
0
y=
0
x+2=
1
5
.也就是说线段AB中点坐标为(-
9
5
,
1
5
).
20．求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为
3
38
的双曲线方程。
解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得:
22x-4y=
30xy
,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(
11
,xy),B(
22
,xy)，那么：
12
12
2
8
36
3
2412(36)0
xx
xx
那么：|AB|=222
1212
368(12)83
(1)[()4](11)(84)
333
kxxxx
解得:=4,所以，所求双曲线方程是：
2
21
4
x
y
21．中心在原点，焦点在
x
轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点
21
,FF，且
132||
21
FF，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3︰7。
（1）求这两条曲线的方程；
（2）若P为这两条曲线的一个交点，求
21
cosPFF的值。
21、解：（1）设椭圆的方程为1
2
1
2
2
1
2
b
y
a
x
，双曲线方程为1
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
，半焦距为
13c
，
由已知得：
2
3
,
6
7
7/3/
4
2
2
1
1
21
21
b
a
b
a
a
c
a
c
aa
，故两条曲线分别为：
1
3649
22
yx
及1
49
22
yx
（2）设
21
PFF，由余弦定理得：
高中数学
52||cos||||2||||2
2121
2
2
2
1
FFPFPFPFPF……①
由椭圆定义得：196||||2||||
21
2
2
2
1
PFPFPFPF……②
由双曲线定义得：36||||2||||
21
2
2
2
1
PFPFPFPF……③
②–①得：72)cos1(||||
21
PFPF，
①–③得：8)cos1(||||
21
PFPF
所以
5
4
cos9
cos1
cos1
。
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
无须自卑，不要自负，坚持自信。
用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）
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