均值不等式公式
-谈心活动
2023年2月15日发(作者：幸与不幸)数列通项公式的常见求法
一、观察法：例1、求下列数列的一个通项公式。
①11，103，1005，10007
②3，33，333，3333
二、公式法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直
接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。
①形如，例1①已知数列中求通项公式。
②形如（为常数且），例2已知中且求此数列的通项公式。
例3、已知数列中，求通项公式。
三、前n项和法:若知数列的前n项和，则，；需要注意的是，对
于时的情况一定要检验，若当时，也满足的表达式，则两式可合并。
例4、已知数列的前项和，则数列的通项公式是
例5、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。
例6、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。
【练习】1、已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式
2、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。
3、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。
【答案】1、；2、；3、
四、递推公式法：1、若递推公式为型，其中且，数列是正
项数列；解此种类型数列，必须对等式两边同时取对数得，从而化为，
可知数列是首项为、公比为的等比数列。
例7、已知数列满足，，求
【练习】已知数列满足，求【答案】
2、若递推公式型，则只须将原递推公式化为，再以迭乘法求解即可。
例8、已知数列满足，求
3、若递推公式为型，则只须将原递推公式化为，再以迭加法求解即
可。
例9、已知数列满足，求
【练习】在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n＋1
＝a
n
＋ln(1＋)，则a
n
＝
。
4、若递推公式为（其中、为常数，）型，则需把原递推公式化为，其
中，可得数列是以为首项、以为公比的等比数列。
例10、已知数列满足，求
五、构造辅助数列解决数列求解通项例11、已
知数列（I）求证：数列是等差数列，并求
（II）令，求数列的前n项和
数列求和问题的基本类型
1、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
例1、已知是一个首项为，公比为的等比数列，求
例2、设，求的最大值.
二、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时
所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相
加，就可以得到n个
例3、求包含在正整数与之间的分母为3的所有不可约分数之和。
解：设满足条件的所有分数之和为，则
，
倒序得
两式相加，得
三、乘公比错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中、
分别是等差数列和等比数列。
例4、求和：
四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数
列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然
后分别求和，再将其合并即可.
例5、求数列的前项和
【练习】1、求数列的和。
【练习】2、求之和。
五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应
用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使
之能消去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如：
（1）（2）
（3）（4）
（5）
(6)
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）若
是公差为d的等差数列，则
；
（6）
；
（7）
（8）
。
例6、在数列中，，又，求数列的前n项的和。
【练习】1、求数列的前n项和。
【练习】2、数列{a
n
}中，a
1
＝8，a
4
＝2，且满足：a
n+2
－2a
n+1
＋a
n
＝
0（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存
在，求出m；若不存在，请说明理由．
均值不等式的运用条件和技巧
如果a，b是正数，那么≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1）注意“正数”
例1、求函数的值域.
练习:求函数y＝1－2x－的最值．
（2）注意“相等”
例2、求y＝＋(0＜x＜π)的最小值．
（3）注意“定值”例3、已知，且满足，则xy的最大值为
.
【练习】若。
【练习】若。
二、常用的处理方法和技巧
（1）拆项、添项为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作
适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目
的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则.
【练习】函数。
（2）裂项、：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分
母的含变量因子的次数大或相等时用此方法。
例3、设，求函数的最小值.
【练习】求函数的最小值.
【练习】函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是( )
A．[－，] B．[－，]C．[－，]D．
[－，]
【练习】函数的最小值是。
（3）凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或
同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数
例4、函数。
【练习】已知，且满足，则xy的最大值为.