质心坐标公式
-电压表的使用方法
2023年2月15日发(作者：逆序数怎么算)考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析
来源：文都网校
在考研数学一和数学二的考试大纲中，要求考生掌握一些定积分在物理方面
的应用，包括会用定积分计算变力做功、引力、压力、质心和形心等，另外，对
于数学一的考生，还要求会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些物理量，包括：
计算物体的质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等，其中关于细棒和
平面薄片、立体的质心和形心的计算，在一般高等数学教材和复习资料上都有相
应的介绍，但对于曲线的质心和形心的计算，一般资料上都没有或很少介绍，有
些同学对此感到有些困惑，为了帮助同学们了解这一点，下面文都网校的蔡老师
对曲线的质心和形心的计算方法做些介绍，供大家参考。
一、曲线质心和形心的计算方法
1）平面曲线质心和形心计算公式：
①设平面曲线L的线密度为
(,)xy，则L的质心(,)xy为：
(,)(,)
,
(,)(,)
LL
LL
xxydsyxyds
xy
xydsxyds
；
若密度
(,)xy为常数，则得曲线形心坐标为
,LL
LL
xdsyds
xy
dsds
。
②以参数方程形式表示的平面曲线的质心和形心计算公式：
若曲线L的参数方程为
()
()
()
xxt
t
yyt
，则
2222
2222
()[(),()]()()()[(),()]()()
,
[(),()]()()[(),()]()()
xtxtytxtytdtytxtytxtytdt
xy
xtytxtytdtxtytxtytdt
。
若密度
(,)xy为常数，则得曲线形心坐标为
2222
2222
()()()()()()
,
()()()()
xtxtytdtytxtytdt
xy
xtytdtxtytdt
。
2）空间曲线质心和形心计算公式：
①设空间曲线的线密度为(,,)xyz，则的质心(,,)xyz为：
(,,)(,,)(,,)
,,
(,,)(,,)(,,)
xxyzdsyxyzdszxyzds
xyz
xyzdsxyzdsxyzds
；
若密度
(,,)xyz为常数，则得曲线形心坐标为
,,
xdsydszds
xyz
dsdsds
。
②以参数方程形式表示的空间曲线的质心和形心计算公式：
若曲线的参数方程为
()
()()
()
xxt
yytt
zzt
，则
222
222
()[(),(),()]()()()
[(),(),()]()()()
xtxtytztxtytztdt
x
xtytztxtytztdt
，
222
222
()[(),(),()]()()()
[(),(),()]()()()
ytxtytztxtytztdt
y
xtytztxtytztdt
222
222
()[(),(),()]()()()
[(),(),()]()()()
ztxtytztxtytztdt
z
xtytztxtytztdt
。
若密度
(,,)xyz为常数，则得曲线形心坐标为
222222
222222
()()()()()()()()
,
()()()()()()
xtxtytztdtytxtytztdt
xy
xtytztdtxtytztdt
，
222
222
()()()()
()()()
ztxtytztdt
z
xtytztdt
。
二、典型例题分析
例1.求半径为a、中心角为
2的均匀圆弧（线密度
(,)1xy
）的质心。
解：取坐标系如图所示
由对称性知0y，由L的参数方程
cos
()
sin
xat
t
yat
得
22
22
()()()cos
sin
()()
xtxtytdtatadt
a
x
xtytdtadt
，故质心坐标为
sin
(0,)
a
。
例2.摆线的一拱
(sin)
:(02)
(1cos)
xatt
Lt
yat
的形心是（）
(A)
4
(,)
3
aa(B)
2
(,)
3
aa(C)
5
(,)
4
aa(D)
7
(,)
4
aa
解：4个选项中的横坐标都相同，所以只需求纵坐标y即可：
22
22
00
22
22
00
()()()(1cos)21cos
()()21cos
ytxtytdtatatdt
y
xtytdtatdt
22
3
00
2
0
1
8
(1cos)2sin22sin
4
3
22
23
42
2sin
2
tt
a
atdtadt
a
t
dt
，故选(A)。
例3.已知螺旋线的一圈的方程为
cos,sin,xatyatzbt
（
02t
）
（
,0ab
），螺旋线上任一点
(,,)Pxyz
处的线密度等于该点到原点距离的平方，
求曲线的质心。
解：由题意知222222222(,,)cossinxyzxyzatatbt，
22222()()()dsxtytztdtabdt
，质心坐标为：
22
22222222222
00
22
22222222222
00
cos(cossin)cos()
(cossin)()
atatatbtabdtatabtdt
x
atatbtabdtabtdt
22
222
232
46
8
34
2
3
abab
ab
ab
，同理可得
2
22222222
222
0
2
222
22222222
232
0
sin(cossin)
46
8
34
(cossin)
2
3
atatatbtabdt
abab
y
ab
atatbtabdt
ab
，
2
22222222
2222222
0
2
222
22222222
232
0
(cossin)
2(2)3(2)
8
34
(cossin)
2
3
btatatbtabdt
babbab
z
ab
atatbtabdt
ab
，故质心坐标为
22222
222222222
663(2)
(,,)
343434
ababbab
ababab
。
从上面的介绍和例题可以看到，曲线的形心就是均匀分布的曲线的质心，形
心是质心的一种特殊情况，这一点与细棒和平面薄片及立体的形心是相同的；曲
线质心和形心坐标的计算常常通过曲线的参数方程化为定积分来计算；最后说明
一点，曲线质心和形心可能在曲线上，也可能不在曲线上，如圆的形心在圆心，
而圆心是不在圆上的。
关键词：考研数学质心形心曲线的质心曲线的形心
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