对数求导法
-民主化
2023年2月15日发(作者：生物分布)
[
收稿日期
]
２０１８Ｇ０３Ｇ１８
;
[
修改日期
]
２０１８Ｇ０５Ｇ０４
[
基金项目
]
河南工学院博士科研启动经费
(
KY１７２８
)
[
作者简介
]
张清叶
(
１９７８－
),
女
,
博士
,
副教授
,
从事高等数学的教学与研究
:
z
qy
＠hait．edu．cn
第３４卷第４期大 学 数 学Vol．３４
,
№．４
２０１８年８月COLLEGEMATHEMATICSAu
g
．２０１８
对数求导法探析
张清叶
(
河南工学院基础部
,
河南新乡
４５３００３
)
[
摘
要
]
针对现行教材在介绍对数求导法时的缺陷
,
遵循问题发现
、
问题解决
、
例题验证的逻辑路线对对
数求导法进行了探讨
,
给出了具体的方法步骤．
[
关键词
]
对数求导法
;
绝对值函数
;
导数的定义
[
中图分类号
]
O１３
[
文献标识码
]
C
[
文章编号
]
１６７２Ｇ１４５４
(
２０１８
)
０４Ｇ００８９Ｇ０５
１ 引 言
微积分作为高等数学的精髓
,
求导
(
微分
)
占据了很大篇幅．对给定函数求导数
,
除了可以利用定义计
算增量比的极限外
,
还有四则运算法则
、
反函数求导法则和复合函数求导法则等．然而
,
当一个函数是由
乘
、
除
、
乘方
、
开方运算构成时
,
直接计算其导数往往比较困难．此时如果对该函数取对数
,
便可化乘除为加
减
,
化乘方
、
开方为对数函数前的某个系数
,
极大地简化运算．现行教材大多对该方法进行了介绍
,
并将其
称为对数求导法
,
即对给定的函数先取自然对数再进行求导的方法．遗憾的是
,
在介绍对数求导法时
,
教材
只注意到了对数函数的性质却忽略了对数函数有意义的条件
,
使得细心的同学在学习该知识点时心存疑
虑
,
有些老师甚至直接跟学生说不要考虑自变量的取值范围
,
直接取自然对数即可
,
这极大地损害了数学
的严密性．事实上
,
对于给定的函数
,
其可导与否与其正负没有关系
,
函数值为负时丝毫不影响其可导性
;
但对数函数的定义域必须大于零．故在利用对数求导法时如何处理函数值为零和负值时的导数问题是一
个值得探讨的问题．鉴于此
,
本文将从问题发现
、
问题解决
、
例题验证三个方面展开论述．
２ 问题发现
图１ 引例１函数的图形
引例１[
１
] 求y＝
(x
－
１)(x
－
２)
(x
－
３)(x
－
４)的导数．
分析 函数的定义域为(－
∞,
１
]
∪
[
２
,
３
)
∪
(
４
,＋
∞),
其图形如图１所示．
现行教材跟题解大都忽略自变量的取值范围
,
直接
在函数两边同取自然对数
,
此时默认函数的定义域为(
４
,＋
∞),
缩小了函数的实际定义域
,
与实际不符
,
很
难令人信服
;
文献
[２
]
在介绍本例时
,
对自变量增加了限
制条件
(x
＞
４),
能够自圆其说
;
文献
[
１
]
在介绍本例
时
,
注意到了对数函数有意义的条件
,
对自变量分三个区间
(－
∞,
１
),(
２
,
３
),(
４
,＋
∞)
进行了讨论
,
而对于x
＝
１和２时的情况并未提及．事实上
,
该题的正确解法应为
:
引例１解析 分四步来求函数的导数
:(
i
)
当x
＞
４时
,
等式两边同取自然对数
,
得
ln
y＝
１
２
ln
(x
－
１)＋
ln(x
－
２)－
ln(x
－
３)－
ln(x
－
４)
[]
．
上式两边同时对x求导
,
得
y
′
y
＝１
２
１
x
－
１
＋１
x
－
２
－１
x
－
３
－１
x
－
４
æ
èç
ö
ø÷．
整理
,
得
y
′
＝１
２
(x
－
１)(x
－
２)
(x
－
３)(x
－
４)
１
x
－
１
＋１
x
－
２
－１
x
－
３
－１
x
－
４
æ
èç
ö
ø÷;(
∗
)
(
ii
)
当
２
＜
x
＜
３时
,
对
y＝
(x
－
１)(x
－
２)
(
３
－
x
)(
４
－
x
)
两边同取自然对数
,
然后等式两边同时对x求导并整理得
(∗
)
式
;
(
iii
)
当x
＜
１时
,
对
y＝
(
１
－
x
)(
２
－
x
)
(
３
－
x
)(
４
－
x
)
两边同取自然对数
,
然后等式两边同时对x求导并整理得
(∗
)
式
;
(
iv
)
对于函数的两个零点x
＝
１和x
＝
２,
记y＝f(x),
利用导数的定义有
limx
→
１
－
f(x)－f(
１
)
x
－
１
＝
lim
x
→
１
－
(
１
－
x
)(
２
－
x
)
(
３
－
x
)(
４
－
x
)