自然对数的底数

自然对数的底数

-宝玉挨打

自然对数的计算方法(总2页)

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自然对数的计算方法

作者：李治春指导老师：吴超云

摘要：本文介绍了自然对数的计算方法，包括自然对数底数e的由来、自然对

数的幂级数计算方法、自然对数的连分数计算方法以及它们的比较与实现。自

然对数的应用也相当广泛，它在数学、化学、物理等方面均有者重要的应用。

本文根据对它最基本的元素e研究开始，逐步对其计算方法进行深入的研究。

关键词：e幂级数连分数

1..引言

在这篇文章中，我们先从自然对数的底数e开始研究，了解它的背景，而

引出自然对数，分析自然对数的计算方法，了解什么是幂级数和连分数，进而

分析自然对数的幂级数计算方法和连分数计算方法，最后再比较它的计算方

法，掌握它们在数学、化学、物理等方面的应用。

2.了解自然对数的背景

了解自然对数底数e的相关内容

e是一个数的代表符号。在高中数学里，我们都学到过对数

（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，

叫做常用对数（commonlogarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数

e=……为底数的对数，称为自然对数（naturallogarithm）。在微积分发明之

前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随

着微积分诞生的。那麽是在怎样的状况下导致它出现的呢一个很可能的解释

是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利计息是怎麽回事，就是利息也可

以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，

可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚

至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计

息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理

论上来说），会发生什麽状况本利和会无限制地加大吗答案是不会，它的值会

稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候

还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极

限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来

的，而不是用严谨的证明得到的。e的影响力其实还不限於数学领域。大自然

中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程

式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，

松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算

利率或者双曲线面积八竿子打不着的问题，居然统统和e有关。

自然对数的由来与概念

例子：当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实

际上e就是通过这个极限而发现的。

它是个无限不循环小数。其值约等于...它用lna表示。a≠0。以e为

底数的对数通常用于㏑。e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数

的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫

“自然对数”。我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自

然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以

化成加法，即：log(a*b)=loga+logb但是能够这么做的前提是，我要有

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一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等

于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个

大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底

数最合适10吗或是2为了决定这个底数，他做了如下考虑：1.所有乘数/被乘

数都可以化到之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。2.那

么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间

的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好

看；）3.这个0-1间的底数不能太小，比如就太小了，这会导致很多数的对数

都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如做底数

时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像和这种相差不大的

数，如果用做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出

他们对数的差别。4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如就很好，

就更好了。总的来说就是1-1/X，X越大越好。在选了一个足够大的X（X

越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算（1-

1/X）^1=p1,（1-1/X）^2=p2,……那么对数表上就可以写上P1

的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很

大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了之间的区

间。5.最后他再调整了一下，用（1-1/X）^X作为底，这样P1的对数值就

是1/X，P2的对数值就是2/X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些

对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之

后，各个数的对数值基本在0-几之间。两个值之间最小的差为1/X。6.现在让

对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最

后他发现，X变大时，这个底数（1-1/X）^X趋近于一个值。这个值就是

1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第

一步不是把所有值放缩到之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后

的出来的结果就是e了---这个大数学家就是着名的欧拉(Euler)，自然对数

的名字e也就来源于欧拉的姓名。当然后来数学家对这个数做了无数研究，发

现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此

就叫它自然对数底了。

自然对数早期的应用

自然对数早期主要用在研究“自然律”和“螺线”上。螺线特别是对数螺

线的美学意义可以用指数的形式来表达：φkρ=αe其中，α和k为

常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或

由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心

是e，其值为……，是一个无限不循环数。“自然律”是e及由e经过一定变

换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：

(1+1/x)^x当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物

体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)^x

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从

两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=……，当X趋

向负无穷大时候，上式的结果也等于e=……）得来的共同形式，充分体现了宇

宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

编辑本段自然律的渊源及发展。e=……是“自然律”的一种量的表达。“自然

律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；

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（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数

螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目

前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数

学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数

螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的

性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

3.自然对数的幂级数计算方法

e的幂级数计算方法

我们首先来了解什么是幂级数。

定理1如果函数f（x）在